高中数学人教A版（2019）必修1 第二章第一节等式性质和不等式性质章节综合测试卷(解析+答案)

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第二章第一节 等式性质与不等式性质
一、选择题
1．已知，则下列说法中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
2．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023高一下·宝山期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·广州模拟）已知，则是的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023·吉林模拟）已知，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高一下·信阳开学考）设，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023高一上·青岛期末）若，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高一下·富锦月考）若，则下列不等式中成立的是（）
A． B． C． D．
9．（2022高一上·博罗期中）设，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2022高一上·凌源月考）设，，，，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
11．（2022高一上·洛阳期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
12．（2022高二上·金台期中）设，则与的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．与的取值有关
13．（2022高一上·武功期中）已知，，则（　　）
A． B． C． D．
14．（2022高二上·延安期中）已知，，，则（）
A． B． C． D．
15．（2022高三上·河南月考）已知，则和1的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．与m的取值有关
16．（2022高一上·浙江月考）已知，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
17．（2022高一上·连州月考）如果，，设，，那么（　　）
A． B．
C． D．与的大小关系和有关
18．（2022·浙江模拟）已知 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
19．（2022高一上·湖南月考）已知，，则ab的最小值为　 　，最大值为　 　．
20．（2021高一上·海安期末）已知b克盐水中含有 克盐，若给盐水加热，蒸发了 克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：　 　.
21．（2019高二上·中山月考）如果a>b，给出下列不等式：
① ；②a3>b3；③ ；④2ac2>2bc2；⑤ >1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是　 　．
22．（2019高一下·台州期末）已知突数 ，则 　 　 ， 　 　 (用>，<填空).
23．（2018高二上·福建期中）若 ，则下列不等式：①a＋b|b|；③ ；④b>a，正确的有　 　
24．（2018高二下·滦南期末）设 ， 则 与 的大小关系是　 　．
三、解答题
25．（2022高一上·金台期中）
（1）比较与的大小；
（2）简要小结你解答第（1）问所用的方法．
26．（2022高一上·黔东南期中）求解下列问题：
（1）已知，比较和的大小；
（2）已知，比较与的大小.
27．（2022高一上·嵩明期中）
（1）已知，，用作差法证明：；
（2）已知，都是正数，求证.
28．（2022高一上·东阳月考）已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围.
29．（2021高一上·湖北月考）
（1）若 ，比较 与 的大小；
（2）已知x，y，z是不全相等的正实数，求证： .
30．已知 ， ，求证： .
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、 ， 两边同时乘得，A正确；
B、 ，，，两边同时除得，B错误；
C、 ，两边同时除得，C正确；
D、 又 ，两边同时乘得，D错误.
故答案为：B.
【分析】根据不等式性质逐一判断选项.
2．【答案】B
【解析】【解答】解： 由 ，可得a>b-3，
由a>b-3不一定能推出a>b；
但由a>b，可推出a>b-3，
故“”是“a>b"的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】利用不等式的性质结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：由aab>0，A正确；
由a-b>0，则，B错误；
由a由a故选：A
【分析】利用不等式的性质，逐项判断作答.
4．【答案】C
【解析】【解答】若，则，
当时，则所以；
当时，则所以；
当时，则所以；
综上所述：是的充分条件；
若，
当时，则，即，所以，即；
当时，则符合题意，显然；
当时，则，即，所以，即；
当时，则不成立，不合题意；
综上所述：是的必要条件；
所以是的充分必要条件.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质结合充分必要条件分析判断.
5．【答案】D
【解析】【解答】A选项，，故，所以，
两边同乘以得，，A成立；
B选项，因为，所以，且，
由基本不等式得，B成立；
C选项，因为，所以，
故，所以，C成立；
D选项，不妨取，满足，此时，D不一定成立.
故答案为：D
【分析】 由不等式基本性质可判断A；利用基本不等式求出 ，可判断B；作差法比较出大小关系，可判断C；举出反例即可判断D.
6．【答案】D
【解析】【解答】当时，不能推出，
当时，不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D
【分析】由，得出充分性不成立，再由时，得到必要性不成立，即可求解.
7．【答案】B
【解析】【解答】因为，所以，A不符合题意；
因为，所以，则有，B符合题意；
因为，所以，又因为，所以，则，C不符合题意；
因为，所以，两边同时除以2可得：，D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据可得：，然后根据不等式的性质逐项进行检验即可求解.
8．【答案】B
【解析】【解答】解： ，则 ，所以选项A错误，选项B正确；
， ab-1的符号不能确定，所以大小不能确定，所以选项C错误；
，则 ，所以选项D错误.
故选：B
【分析】直接利用作差法比较每一个选项的式子的大小即得解.
9．【答案】A
【解析】【解答】因为
恒成立，
所以。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合作差比较大小的方法，进而结合不等式的基本性质，进而比较出M，N的大小。
10．【答案】B
【解析】【解答】因为，，
所以，
所以，又因为，所以，
故答案为：B.
【分析】 根据题意化简，利用条件判断出符号，从而得到A、B的大小关系.
11．【答案】D
【解析】【解答】对于A选项，由不等式的基本性质可得，A不符合题意；
对于B选项，由不等式的基本性质可得，B不符合题意；
对于C选项，，C不符合题意；
对于D选项，，则，D对.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解.
12．【答案】B
【解析】【解答】，
所以。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合平方数的性质，进而比较出m，n的大小。
13．【答案】D
【解析】【解答】由题意可得，则.
故答案为：D.
【分析】利用作差法比较大小可得答案.
14．【答案】B
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】 由分析法可得，，得，，再将a， b分子有理化进行比较即可判断a， b，即可得答案.
15．【答案】A
【解析】【解答】因为，所以，则．
故答案为：A
【分析】由题意，得到，即可得到答案.
16．【答案】B
【解析】【解答】设，
则，
所以解得
所以．
又
，
故答案为：B．
【分析】设，求得，得到，再结合不等式的性质，即可求解.
17．【答案】A
【解析】【解答】，因为，所以，
又，所以，所以，即，所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合作差法比较大小的方法，进而比较出M，N的大小。
18．【答案】B
【解析】【解答】解：当a=-4，b=-3时，
a+|a|=b+|b|=0，满足a+|a|≥b+|b|，但a当a>b时，①若a>b>0，则|a|>|b|，则a+|a|≥b+|b|，
②若0>a>b，则a+|a|=b+|b|= 0，则a+|a|≥b+|b|，
③若a>0>b，则则a+|a|>0，
b+|b|=0，则a+|a|≥b+|b|，则必要性成立，
故a+|a|≥b+|b|是a≥b的必要不充分条件，
故选：B
【分析】利用特殊值法可判断充分性，利用不等式的性质，分a>b>0，0>a>b，a>0>b三种情况可判断必要性，从而可得结论.
19．【答案】-6；-1
【解析】【解答】解：因为，所以，
又，
所以，所以，
所以ab的最小值为，最大值为.
故答案为：-6；-1.
【分析】根据不等式的基本性质，求得，即可求解.
20．【答案】
【解析】【解答】原来盐占盐水的比例为 ，给盐水加热，蒸发了 克水后，盐占盐水的比例为 ，则 。
【分析】将事实转化成数学语言表示出来即可。
21．【答案】②⑥
【解析】【解答】令 ， ，排除①， ，排除③选项， ，排除⑤.当 时，排除④.由于幂函数 为 上的递增函数，故 ，②是一定成立的.由于 ，故 .故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【分析】对 分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
22．【答案】<；<
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
，∴ ．
故答案为＜；＜．
【分析】用作差法比较大小．
23．【答案】①③
【解析】【解答】∵ ，∴b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
∴a+b＜ab，①正确；|a|＜|b|，②错误； ＞2，③正确；④错误；
故答案为：①③．
【分析】根据不等式的性质，逐一进行判断即可.
24．【答案】A≥B
【解析】【解答】解：由题意： ，
所以 .
【分析】利用放缩法对A式变形是本题解题的关键，也是难点。
25．【答案】（1）解：因为
，
因为，
所以，
又∵（当且仅当时等号成立），
∴，
即(当且仅当时等号成立）；
（2）解：作差法比较大小．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合作差法比较出 与的大小 。
（2）利用已知条件结合比较法，从而总结出（1）所用的方法。
26．【答案】（1）解：－．
所以；
（2）解：∵，∴，，
∴，
所以．
【解析】【分析】利用作差法比较大小即可.
27．【答案】（1）证明：
∵
，，
∴，
∴
即．
（2）证明：∵
∴，，，
∴，，
∴
当且仅当、、同时成立，即时，等号成立.
∴.
【解析】【分析】（1）作差后，通分化简成几个因式乘积的形式，判断符号，得出结论；
（2）分别求出、、的取值范围，两边同时相乘即可证明.
28．【答案】解：令4a-2b=x(a+b)+y(a-b)，
所以4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.
所以
解得
因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，
所以
所以-2≤4a-2b≤10.
【解析】【分析】令 ，得出方程组，求得，进而求得，结合不等式的基本性质，即可求解.
29．【答案】（1）由 ，又 ，则 ， ， ，
∴ ，即
（2） （当且仅当 等号成立）
（当且仅当 等号成立）
（当且仅当 等号成立）
∴ ，又x，y，z是不全相等的正实数，故等号取不到，
∴ .
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合作差比较大小的方法，从而比较出 与 的大小。
（2）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而证出不等式 成立。
30．【答案】 ，
因为 ， ，所以 ， ，
故 ，即证： .
【解析】【分析】利用已知条件结合作差法和不等式的基本性质，从而证出 成立。
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