高中数学人教A版（2019）必修1 2.2二次函数与基本不等式章节综合测试卷(解析+答案)

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第二章第二节 基本不等式
一、选择题
1． 已知正实数m，n满足，则的最大值是（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2023高二下·成都期末）已知正实数，满足，则下列不等式中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023高一下·深圳月考）若，且，则下列不等式恒成立的是（　　）．
A． B． C． D．
4．（2023高一下·洮南期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引人对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数a，b满足，则下列结论正确的个数是（　　）
①
②
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023·广州模拟）已知正实数满足，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．9
6．（2023高一下·文山期中）已知不等式的解集为，且对于，不等式恒成立，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023高一下·湖南期中）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．
8．（2023·滁州模拟）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（　　）
A．6 B． C． D．
9．（2023·邯郸模拟）已知，，且，则的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．9
10．（2023·广西模拟）已知正实数满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2023·山东模拟）若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（　　）．
A．或 B．或
C． D．
12．（2023·菏泽模拟）设实数满足，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
13．（2023·忻州模拟）已知，则的最小值是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
14．（2022高一上·诸暨期末）已知， ，且，则（　　）
A．有最小值1 B．有最小值1
C．有最小值 D．有最小值
15．（2023高一下·信阳开学考）若，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2023高三上·吉安期末）已知实数，满足，，且，则的最大值为（　　）
A．10 B．8 C．4 D．2
17．（2023高一上·十堰期末）已知第一象限内的点在一次函数的图象上，则的最小值为（　　）
A．25 B．5 C．4 D．
18．（2022高一上·江苏月考）已知实数，且，则的最小值是（　　）
A．21 B．25 C．29 D．33
19．（2023高一上·宁波期末）已知，，则（　　）
A．的最大值为且的最大值为
B．的最大值为且的最小值为0
C．的最小值为且的最大值为
D．的最小值为且的最小值为0
20．（2023高一上·汕尾期末）若存在正实数，使得等式和不等式都成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
21．（2023高二上·咸阳期末）已知，，若，则的最大值为（　　）．
A． B． C． D．1
22．（2023高一上·武汉期末）已知，，且，则的最小值为（　　）
A． B． C．9 D．7
23．（2023高一上·宁波期末）已知，且，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
24．（2023高一上·张家口期末）若，，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
25．（2022高一上·葫芦岛月考）若，则的最小值为（　　）
A．16 B．8 C．20 D．12
二、多项选择题
26．已知且，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
27．（2023高三上·吉林开学考）下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若关于的不等式的解集为，则
D．若a>0，b>0，则“”是“”的必要不充分条件
28．（2023高二下·保山期末）下列结论错误的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，的最小值为
三、解答题
29．（2023高三上·牡丹江开学考）求下列最值：
（1）当时，求函数的最大值；
（2）设，求函数的最大值.
30． 在第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，冬奥会的举办为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇.
某冰雪装备器材生产企业生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算，若年产量于件低于100千件，则这x千件产品的成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品的成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算，我们假设该企业生产的产品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解： ，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质求解即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】为正实数，且，
，
，
因此A选项正确.
，
，
，
因此B选项正确.
，
，
，
当m=n+1时，取“=”号，m=1，n=0.
又因为，不能取“=”，
.
因此C选项正确.
，
故选：D.
【分析】本题主要结合，四个常见的基本不等式，，对四个选项分别进行分析，求得变量范围，同时要注意取值范围.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：当时， ，此时不成立，故A错误；
因为ab>0，当a<0，b<0时， 不成立，故B错误；
因为ab>0，所以，则 ，当且仅当a=b时，等号成立，则，故C正确；
因为ab>0，则 ，当且仅当ab=1时，等号成立，则 不恒成立，故D错误.
故选：C
【分析】利用特殊值法可判断AB，根据基本不等式的应用可判断CD.
4．【答案】D
【解析】【解答】 由，而，则，故 ① 正确；
由 可得 ，故 ② 正确；
由 得 ，得 ，故 ③正确；
， 故 ④ 正确.
故选：D.
【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐项进行判断，可得答案.
5．【答案】C
【解析】【解答】解： ，
又
当且仅当 ，即x=2，y=4取等.
故选：C.
【分析】化简已知式可得 ，因为 ，由基本不等式求解即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】由不等式的解集为，可知为方程的两个根，
故且，即，
则不等式变为，
由于，则上式可转化为在恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
故.
故答案为：B.
【分析】根据题意，可知为方程的两个根，利用根与系数的关系可得，不等式消元后可转化为在恒成立，利用基本不等式可求出m的取值范围.
7．【答案】C
【解析】【解答】由已知可得，，所以.
又，
所以.
当且仅当，即，时，等号成立.
所以，的最小值是.
故答案为：C.
【分析】由已知可推得，然后根据“1”的代换，利用基本不等式，即可得出最小值.
8．【答案】C
【解析】【解答】，
因为a，b，c均为正数，
所以有，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：C
【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.
9．【答案】C
【解析】【解答】依题意，
因为，所以，则
，
当且仅当，时，等号成立．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法得出 的最小值 。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：依题意，，
故，当且仅当时等号成立.
故答案为：A.
【分析】化简，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
11．【答案】A
【解析】【解答】因为正实数、满足，则，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因为不等式有解，则，即，
即，解得或.
故答案为：A.
【分析】由题意得，利用基本不等式可求得的最小值，可得出不等式，计算求解即可.
12．【答案】A
【解析】【解答】当时，，
当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值；
当时，.
当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值.
所以，的最小值为.
故答案为：A.
【分析】根据题意，当时，化简得到，利用基本不等式，求得最小值；当时，化简得到，结合基本不等式，求得最小值，即可求解.
13．【答案】D
【解析】【解答】因为，所以
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为12.
故答案为：D
【分析】利用配凑法结合基本不等式，可求出答案.
14．【答案】D
【解析】【解答】由，且可知，
而，则，则无最小值，A不符合题意；
设，且，
则，当且仅当，即时取等号，
这与题设矛盾，故最小值不为1，B不符合题意；
，由于函数在上递增，
故在上无最小值，即无最小值，C不符合题意；
，当且仅当时，即时取等号，D符合题意，
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质、均值不等式求最值的方法、反证法，进而找出正确的选项。
15．【答案】C
【解析】【解答】由，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故答案为：C.
【分析】根据题意化简，结合基本不等式，即可求解.
16．【答案】B
【解析】【解答】解：由，变形为，设，
∵，当且仅当时，取等号，即，
∴，∴，
即，，
∴，∴，
此时，，即，时，的最大值为8.
故选：B.
【分析】由变形为，设根据基本不等式可得，，求得，从而得得最大值.
17．【答案】B
【解析】【解答】由题意知，且，故，
从而，当且仅当时，等号成立.
故答案为：B
【分析】由已知条件可得，再利用“乘1法”与基本不等式的性质，可求出 的最小值 .
18．【答案】A
【解析】【解答】∵，等式恒成立，
∴，
由于，所以
∵，
当且仅当时，即时取等号．
∴，∴，故的最小值为21．
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出x-y的最小值。
19．【答案】C
【解析】【解答】利用，则，整理得，
当且仅当，即时取得等号，即的最小值为；
利用，，即，整理得，即，
当且仅当时取得等号，故的最大值为.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而找出正确的选项。
20．【答案】B
【解析】【解答】∵为正实数，则，
当且仅当，即时等号成立，
若存在正实数，使得不等式成立，则，解得或，
故实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集，即可得实数的取值范围.
21．【答案】A
22．【答案】A
【解析】【解答】因为，，且，
所以
当，时等号成立，
所以的最小值为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出 的最小值 。
23．【答案】B
【解析】【解答】因为，所以，令，则且
，代入中得：
当即时取“=”，
所以最小值为1.
故答案为：B
【分析】令，则且，，再利用基本不等式即可求出答案.
24．【答案】C
【解析】【解答】因为，，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立；
所以，即的最大值为，
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值.
25．【答案】A
【解析】【解答】由题意得，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为16，
故答案为：A
【分析】利用“乘1法”结合基本不等式可求出的最小值.
26．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：A、，， ，当且仅当时等号成立，A正确；
B、，， ，当且仅当，即时等号成立 ，B错误；
C、，，又 ，，当且仅当时等号成立 ，C正确；
D、，，，当且仅当时等号成立 ，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据基本不等式逐一判断选项.
27．【答案】B,C
【解析】【解答】解：对于A：例如，满足，但，即，故A错误；
对于B：若 ，可知：，
且在内单调递增，所以 ，故B正确；
对于C： 若关于的不等式的解集为，
可知为方程的两根，且，
则，解得，所以 ，故C正确；
对于D：因为 a>0，b>0，若“”，则，当且仅当时，等号成立，
若“”，例如，满足，但，
可知“”是“”的充分不必要条件，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】对于A：取特例，分析判断；对于B：由 可知，结合的单调性分析判断；对于C：分析可知为方程的两根，且，结合韦达定理运算求解；对于D：根据基本不等式结合充分、必要条件分析判断.
28．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：A、当c=0时，ac2=bc2=0，此时a、b的大小关系不确定，故A错误；
B、因为a＞b＞0，所以，即，故B错误；
C、由不等式的基本性质可得，C正确；
D、由基本不等式得：，
当且仅当，即x2+2=1时等号成立，此方程显然无解，取等号条件达不到，故D错误，
故答案为：ABD.
【分析】用特例法判断A选项，用作差法判断B选项，用不等式的基本性质判断C选项，用基本不等式中等号成立的条件判断D选项。
29．【答案】（1），则，
，
当，即时等号成立.
（2），
当，即时等号成立.
【解析】【分析】(1)根据题意可得 ， 结合基本不等式运算求解；
（2）根据题意可得 ， 结合基本不等式运算求解.
30．【答案】（1）解：当0＜x＜100时，，
当x≥100时，，
∴
（2）解：由(1)可知，
当0＜x＜100时，，当x=90时，L(x)取最大值950；
当x≥100时，
，当且仅当即x=105时取等.
综上，当年产量为105千件时，企业所获利润最大为1000万元.
【解析】【分析】(1)根据题意，利用利润公式，分别计算0＜x＜100，x≥100时的利润求解即可；
(2)利用二次函数、基本不等式分别计算0＜x＜100，x≥100时L(x)的最大值即可求解.
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