高中数学人教A版（2019）必修1 第二章一元二次方程、函数和不等式章节综合测试卷(解析+答案)

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第二章综合卷 一元二次函数、方程和不等式
一、选择题
1．（2023高三上·广州月考）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2． 已知正实数m，n满足，则的最大值是（　　）
A．2 B． C． D．
3．（2023高一下·信阳开学考）若，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023高二下·深圳月考）已知，满足，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023高一上·成都开学考）“不等式在上恒成立”的充要条件是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高一下·湖南期中）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．
7．（2023高一上·成都开学考）已知，则的最小值为（　　）
A．9 B． C． D．1
8．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（　　）
A．或 B．
C． D．
9．（2023高一下·台州期末）我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边a，b，c，满足，，则该三角形面积S的最大值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2023高一下·洮南期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引人对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数a，b满足，则下列结论正确的个数是（　　）
①
②
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2023高一下·文山期中）已知不等式的解集为，且对于，不等式恒成立，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
12．（2023·湛江模拟）当，时，恒成立，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
13．（2023高三下·新乡开学考）已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
14．（2023高三下·嵊州月考）对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
15．（2023高一上·宁波期末）已知，，则（　　）
A．的最大值为且的最大值为
B．的最大值为且的最小值为0
C．的最小值为且的最大值为
D．的最小值为且的最小值为0
16．（2023高一上·汕尾期末）若存在正实数，使得等式和不等式都成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
17．（2023高一上·湖北期末）若不等式的解集为，则不等式解集为（　　）
A． B．
C． D．
18．（2023高一上·厦门期末）设实数满足，则函数的最大值是（　　）
A． B． C． D．
19．（2022高三上·湖北月考）若正数满足，则的最小值为（　　）
A．4 B． C．2 D．
20．（2022高一上·河南月考）已知为正实数，以下不等式成立的有（　　）
①；②；③；④
A．②④ B．②③ C．②③④ D．①④
21．（2022高一上·广丰月考）下列函数的最小值为2的是（　　）
A． B．
C． D．
22．（2022高三上·广州月考）若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（　　）
A． B． C． D．
23．（2022高一上·湖北月考）已知，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
二、多项选择题
24．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．的解集为
D．的解集为或
25．已知且，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
26．（2023高一上·成都开学考）已知关于的不等式，下列结论正确的是（　　）
A．当时，不等式的解集为
B．当时，不等式的解集为
C．不等式的解集恰好为，那么
D．不等式的解集恰好为，那么
三、解答题
27．解下列不等式：
（1）
（2）
28．已知命题：“，使得”为真命题．
（1）求实数m的取值的集合A；
（2）设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
29．
（1）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）若不等式在实数集R上恒成立，求m的范围.
30．（2023高二下·工农月考）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元)
（1）写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：令，解得，可得，
令，解得，可得，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次不等式求M，根据函数定义域求N，进而结合并集运算求解.
2．【答案】B
【解析】【解答】解： ，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质求解即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】由，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故答案为：C.
【分析】根据题意化简，结合基本不等式，即可求解.
4．【答案】A
【解析】【解答】因为，
由条件可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故选A.
【分析】利用条件消元只用一个量来表示，代入要求的式子通分转化成不等式的形式利用均值不等式即可求出.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：不等式在上恒成立”等价于，解得 ，
所以“不等式在上恒成立”的充要条件是.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次不等式的恒成立问题可得运算求解，并结合充要条件分析判断.
6．【答案】C
【解析】【解答】由已知可得，，所以.
又，
所以.
当且仅当，即，时，等号成立.
所以，的最小值是.
故答案为：C.
【分析】由已知可推得，然后根据“1”的代换，利用基本不等式，即可得出最小值.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即 的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】根据题意将两式相乘，结合基本不等式运算求解.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：命题“”为真命题，
当，即时，则恒成立，故符合题意；
当，即时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得命题“”为真命题，分和两种情况，结合一元二次不等式的恒成立问题运算求解.
9．【答案】B
【解析】【解答】由题意可得：，
因为，当且仅当时，等号成立，
可得，则，
所以，即该三角形面积S的最大值为.
故答案为：B.
【分析】根据题中公式结合基本不等式运算求解.
10．【答案】D
【解析】【解答】 由，而，则，故 ① 正确；
由 可得 ，故 ② 正确；
由 得 ，得 ，故 ③正确；
， 故 ④ 正确.
故选：D.
【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】B
【解析】【解答】由不等式的解集为，可知为方程的两个根，
故且，即，
则不等式变为，
由于，则上式可转化为在恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
故.
故答案为：B.
【分析】根据题意，可知为方程的两个根，利用根与系数的关系可得，不等式消元后可转化为在恒成立，利用基本不等式可求出m的取值范围.
12．【答案】A
【解析】【解答】当，时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．
所以，即．
故答案为：A.
【分析】，利用基本不等式进行计算即可得解.
13．【答案】C
【解析】【解答】因为当时，，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，当时，的最小值大于或等于6.
当时，在上单调递减，则.
由得；
当时，.
由得.
综合可得.
故答案为：C．
【分析】当时，结合基本不等式，求得；当时，的最小值大于或等于6，分和时，列出不等式组，进而求得 实数a的取值范围 .
14．【答案】D
【解析】【解答】由基本不等式，，故只需要即可，
即对于任意的，恒成立，等价于对任意的，，或.
当时，由于，原式可变形为，记，
根据对勾函数性质在上递减，在上递增，
于是在上递增，此时；
当时，由于，原式可变形为，记，
根据对勾函数性质在上递减，在上递增，于是在上递减，在上递增，
当，当，注意到，故当时，，故.
综上，.
故答案为：D
【分析】先将除了x以外的量a，t看成常量，运用基本不等式先求出左边表达式的最小值，然后利用分离参数，结合对勾函数性质求解，可得实数的取值范围 .
15．【答案】C
【解析】【解答】利用，则，整理得，
当且仅当，即时取得等号，即的最小值为；
利用，，即，整理得，即，
当且仅当时取得等号，故的最大值为.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而找出正确的选项。
16．【答案】B
【解析】【解答】∵为正实数，则，
当且仅当，即时等号成立，
若存在正实数，使得不等式成立，则，解得或，
故实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集，即可得实数的取值范围.
17．【答案】B
【解析】【解答】因为由不等式的解集为，
所以，方程的两根为1和3，
由根与系数的关系得，则，
所以不等式可化为，即，
所以且，解得或，
所以解集为。
故答案为：B．
【分析】由不等式的解集为结合一元二次不等式求解方法，所以，方程的两根为1和3，再利用根与系数的关系得出的值，所以不等式可化为，再结合分式不等式求解方法，进而得出的解集，从而得出不等式解集。
18．【答案】D
【解析】【解答】因为，所以，
所以
当且仅当时，等号成立，
故答案为：D.
【分析】，利用基本不等式可求出答案.
19．【答案】B
【解析】【解答】因为，
所以，
所以，
所以，
令，
则，
即，
解得，
即，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出 的最小值 。
20．【答案】C
【解析】【解答】只有时①成立；
（当且仅当时等号成立），②恒成立；
，当且仅当，时等号成立.
故在a，b均为正实数时恒成立，③恒成立；
令，则可以看成当时，函数的函数值恒大于
由函数图象可知④恒成立.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质、均值不等式求最值的方法、平方数的性质、绝对值的定义，进而找出不等式成立的选项。
21．【答案】C
【解析】【解答】对于A，当时，函数没有最小值，A不符合题意；
对于B，，因为，
根据对勾函数的性质可得，B不符合题意；
对于C，因为，，所以，当且仅当取等号，C符合题意；
对于D，，当且仅当取等号，又，故等号不成立，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式逐项进行判断，可得答案.
22．【答案】D
【解析】【解答】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.
所以，即实数a的最小值为.
故答案为：D.
【分析】分离参数可得，设，则，再设，可求出。再利用基本不等式可求出实数a的最小值.
23．【答案】B
【解析】【解答】因为，所以，
即，
当且仅当，即时，等号成立；
故的最大值为.
故答案为：B
【分析】利用均值不等式即可求出的最大值.
24．【答案】A,B,C
【解析】【解答】解：又题意知，，，，，
A、，，A正确；
B、，，， ，B正确；
C、，， 解为，C正确；
D、，，， 即，解得 ，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据一元二次不等式根与系数关系得，，，进而逐一分析 选项.
25．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：A、，， ，当且仅当时等号成立，A正确；
B、，， ，当且仅当，即时等号成立 ，B错误；
C、，，又 ，，当且仅当时等号成立 ，C正确；
D、，，，当且仅当时等号成立 ，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据基本不等式逐一判断选项.
26．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：对于A：若 有解，则有解，
可得，解得
因为，所以不等式无解，所以的解集为，故A正确；
对于B，若，则，即，
解得，所以不等式的解集为，故B错误；
作出函数的图象以及的图象，
由图可知，此时不等式的解集应由两部分组成，
对于C，D：因为不等式的解集恰为 ，
即可以转化为二次函数在上的取值是.
可得，解得或，
又因为的最小值为，
所以且，
当时，即，解得或，
且，所以或均不符合题意；
当时，即，解得或，
且，所以符合题意；
综上所述：，可得 ，故C错误，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】对A： 根据不等式结合运算求解；对B：根据题意可得，直接求解即可；对C、D：结合二次函数分析可知：或，且，进而分情况讨论即可.
27．【答案】（1）解：，，
所以，所以
则原不等式的解为
（2）解：由得由，
所以，所以
所以或，
则原不等式的解为：.
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解；
（2）根据分式不等式、一元二次不等式的解法求解；
28．【答案】（1）解：命题“，使得”为真命题，
所以，
即，
解之得或，
所以实数m的取值的集合或；
（2）解：不等式的解集为，
因为是的必要不充分条件，所以，
则或，
所以或，
故实数a的取值范围为．
【解析】【分析】（1）利用判别式求参数m的取值范围；
（2）由 是的必要不充分条件 ，推出，进而求出参数a的取值范围。
29．【答案】（1）解：因为的解集为，
所以与是方程的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
不等式，
即，整理得，解得.
即不等式的解集为.
（2）解：由题意可得，，即，整理得，
解得.
【解析】【分析】(1)根据题意可知：与是方程的两个实数根，利用韦达定理求的值，进而可得结果；
(2)根据恒成立问题结合二次不等式可得，运算求解即可.
30．【答案】（1）依题意，又，
∴．
（2）当时，，开口向上，对称轴为，
在上单调递减，在上单调递增，
在上的最大值为．
当时，，
当且仅当时，即时等号成立．
∵，∴当时，．
∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．
【解析】【分析】（1）根据题意，用销售额减去成本即可得该水果单株利润；
（2）当时，利用二次函数的性质即可求在上的最大值，当时，化简可得利用基本不等式求最值即可.
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