高中数学人教A版（2019）必修1 3.1函数的概念及其表示章节综合测试卷(解析+答案)

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第三章第一节 函数概念及其表示
一、选择题
1．下列变量之间的关系是函数关系的是（　　）
A．已知二次函数 ，其中 ， 是已知常数，取 为自变量，因变量为这个函数对应方程的判别式
B．光照时间和果树亩产量
C．降雪量和交通事故的发生率
D．每亩施用肥料量和粮食亩产量
2．（2023高三上·牡丹江开学考）下列所给图象是函数图象的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023高二上·昆明开学考）下列各组函数是同一函数的是（　　）
A．与 B．与
C． D．与
4．下列函数中，表示同一个函数的是（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
5．（2023高二下·宁波期末） 函数的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022高一上·葫芦岛月考）函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023高一上·武汉期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高三上·哈尔滨开学考）“”是“函数的定义域为R”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2023高二下·工农月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023高三上·牡丹江开学考）已知函数，则该函数在上的值域是（　　）
A． B． C． D．
11．（2023·山西模拟）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
12．已知，，则的表达式是
A． B． C． D．
13．（2023高一上·襄阳期末）下列函数中，值域为的是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2023高一上·魏县期末）下列命题中，正确的有（　　）个
①对应：是映射，也是函数；
②若函数的定义域是（1，2），则函数的定义域为；
③幂函数与图像有且只有两个交点；
④当时，方程恒有两个实根.
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2023高一上·钦州期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（　　）
A． B．
C． D．
16．（2023高一上·闵行期末）设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（　　）
A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一
C．的最大值为3 D．的最小值为3
17．（2022高一上·武冈期中）已知函数，（），则它的值域为（　　）
A． B．（-3，0） C．（-1，0） D．（-2，0）
18．（2022高一上·重庆月考）已知函数，则函数的值域为（　　）
A． B． C． D．
19．（2022高一上·泗洪期中）已知，则的值域是（　　）
A． B． C． D．
20．（2022高一上·如东期中）函数的值域为（　　）
A． B． C． D．
21．（2022高一上·辽宁期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
22．（2022高一上·湖北月考）已知函数，若，则函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
23．（2022高一上·山西月考）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
24．（2022高一上·柳州月考）已知，则函数的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
25．（2023高一下·番禺期末）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（　　）
A． B． C． D．
26．（2023高三下·湘豫开学考）设函数的值域为，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、解答题
27．（2023·宣威模拟）设是定义在实数集上的函数，且对任意实数满足恒成立
（1）求，；
（2）求函数的解析式；
（3）若方程恰有两个实数根在）内，求实数的取值范围.
28．（2022高二上·云南月考）已知函数满足．
（1）求的解析式；
（2）设函数，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
29．（2022高一上·清远期中）已知二次函数关于直线对称，，且二次函数的图像经过点（1，2）.
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域.
30．（2022高三上·临沂期中）已知函数的图象过点，且满足.
（1）求的解析式；
（2）解关于的不等式.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】由函数关系和相关关系的定义可知，A中 ，因为 ， 是已知常数， 为自变量，所以给定一个 的值，就有唯一确定的 与之对应，所以 与 之间是一种确定的关系，是函数关系．B，C，D中两个变量之间的关系都是随机的、不确定的，所以不是函数关系．
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合变量间函数关系的判断方法，进而找出正确的选项。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：根据函数的定义可知：直线与函数图象至多有1个交点.
故①②错误，③④正确，即 函数图象的个数为 2.
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义一个x对于一个y，即直线与函数图象至多有1个交点，逐项分析判断.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：A、与对应关系不同，这两个函数不是同一个函数，A错误；
B、函数 的定义域是，值域是，函数的定义域是，值域是，这两个函数值域不同，不是同一个数，B错误；
C、函数 的定义域为，函数 的定义域是，定义域对应关系相同，这两个函数是同一个函数， C正确；
D、函数 的定义域是，函数的定义域是，这两个函数定义域不同，不是同一个数， D错误.
故答案为：C.
【分析】利用同一函数的定义逐一判断选项
4．【答案】D
【解析】【解答】解：对于 ， 的定义域为 ， 的定义域为 两函数的定义域不同，不是同一函数．
对于 ， 的定义域为 ， 的定义域为 ，两函数的对应关系不同，不是同一函数．
对于 ， 的定义域为 ， 的定义域为 ，两函数的定义域不同，不是同一函数．
对于 ， 的定义域为 ， 的定义域为 ，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故答案为：D
【分析】根据同一函数的定义，结合函数的定义域和对应法则，逐项判定，即可求解.
5．【答案】B
【解析】【解答】∵ ，
∴，
∴的定义域为。
故答案为：B
【分析】根据函数定义域的求法可解得.
6．【答案】B
【解析】【解答】由已知得，解得且，所以的定义域为.
故答案为：B
【分析】根据函数成立的条件求出函数的定义域.
7．【答案】D
【解析】【解答】设，则，
因为函数的定义域为，所以当时，有意义，
所以，故当且仅当时，函数有意义，
所以函数的定义域为，
由函数有意义可得，所以，
所以函数的定义域为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合换元法和定义域求解方法得出函数f(x)的定义域，再结合构造法和定义域求解方法，进而得出函数的定义域。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为R，所以恒成立，若a=0，则恒成立，符合题意.
若则解得综上由充要条件的定义可得”是“函数的定义域为R”的
充分不必要的条件.
故答案为：B
【分析】先根据函数的定义域为R求出a的取值范围，再利用充要条件的定义即可求解.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，使得函数有意义，只需满足
，解得或，所以函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的意义列出不等式组，求解不等式组即可.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：因为 ，可知在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以函数在上的值域是.
故答案为：A.
【分析】根据题意整理得，结合对勾函数单调性运算求解.
11．【答案】C
【解析】【解答】由题意可知
所以，，，而无解.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件求出，利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解.
12．【答案】B
【解析】【解答】解： ， ，
，
故答案为：B
【分析】根据题意，得到 ，进而求得函数 的表达式 .
13．【答案】C
【解析】【解答】由已知值域为，A不符合题意；
时，等号成立，所以的值域是，B不符合题意；
因为定义域为， ，函数值域为，C符合题意；
，，，所以，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别求出各个选项中函数的值域从而判断，可得答案.
14．【答案】C
【解析】【解答】对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；
对于②，若函数的定义域是（1，2），则 故函数的定义域为，故②对
对于③，幂函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减且图像过 ，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增且图像过 所以两个图像有且只有两个交点；故③对；
于④，当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个实根.故④错；
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合映射和函数的定义、函数的定义域求解方法、幂函数的图象求交点个数的方法、两函数的图象的交点的横坐标与方程的根的等价关系，进而找出真命题的个数。
15．【答案】B
【解析】【解答】，
所以，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以==，
又，，
所以的值域为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合高斯函数的定义，再结合函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出函数的值域。
16．【答案】D
【解析】【解答】对于A项，当时，显然，则.函数在上的值域为，在上的值域为，又函数在上的值域为，所以，，A项错误；
对于B项，当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，所以，B不符合题意；
对于C、D项，
①当时，函数，此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以；
②当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以；
③当时，.此时函数在上的值域为，在上的值域为.由已知可得，或.
当时，即，此时有；
当时，即，则，此时有.
综上所述，.
C项错误，D项正确.
故答案为：D.
【分析】当时，显然，结合已知条件求出b的值，可判断A；当时，函数，结合已知条件求出a的值，可判断B；当时，函数，结合已知条件可求出 ；当时，函数，结合已知条件可求出 ；当时，，结合已知条件可求出 的范围，可判断C，D.
17．【答案】D
【解析】【解答】由题意，函数
设，则，可得
故的值域为.
故答案为：D.
【分析】化简函数，利用换元法可求出的取值范围，即可求解出的值域.
18．【答案】B
【解析】【解答】，对称轴，
因为所以函数的值域为：。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合x的取值范围和二次函数的图象求值域的方法，进而得出函数的值域。
19．【答案】B
【解析】【解答】令，则，，
则，，
又的对称轴为，
则，
所以函数的值域为．
故答案为：B
【分析】 先利用换元法求得函数解析式，再由二次函数的性质即可求得 的值域 .
20．【答案】A
【解析】【解答】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为.
故答案为：A．
【分析】根据已知条件，结合换元法以及二次函数的性质，即可求出答案.
21．【答案】D
【解析】【解答】由题意，令，则为其值域的一个子集，
当时，，令，解得，故当时，；
当时，，该函数为开口向下的二次函数，则必定存在最大值，故不符合题意；
当时，，该函数为开口向上的二次函数，令，则，整理可得，即，解得或，此时符合题意.
综上所述，可得。
故答案为：D.
【分析】由题意，令，则为其值域的一个子集，再利用分类讨论的方法，再结合子集的定义、二次函数的开口方向、二次函数的对称性，进而判断出二次函数的单调性，从而得出二次函数的最值，进而得出函数f(x)的值域，从而得出实数a的取值范围。
22．【答案】A
【解析】【解答】由题意，，即.
故答案为：A
【分析】利用函数的定义，将g (x)看成整体，可以得到函数的解析式 .
23．【答案】C
【解析】【解答】因为的定义域为，所以恒成立，
当时，显然成立；
当时，有，解得；
综上可得实数m的取值范围为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域和方法和分式函数求定义域的方法，再结合交集的运算法则得出函数f(x)的定义域，再结合不等式恒成立问题求解方法，再结合分类讨论的方法和二次函数的开口方向和判别式法，进而结合并集的运算法则得出实数m的取值范围。
24．【答案】B
【解析】【解答】令由于，则，
所以，，得；
所以，函数的解析式为；
故答案为：B.
【分析】利用换元法，令从而化简可得，进而求出函数的解析式.
25．【答案】C
【解析】【解答】由题意可知：该函数的定义域为，
对D：令，解得，即的定义域为，故D错误；
且该函数的图象关于y轴对称，
对B：，所以为奇函数，故B错误；
且函数的最大值为1，
对A：，
所以当，即时，取到最大值2，故A错误；
故答案为：C.
【分析】利用排除法.对A：根据函数的最大值分析判断；对B：根据函数的奇偶性分析判断；对D：根据函数的定义域分析判断.
26．【答案】C
【解析】【解答】设，则，，
，
令，得；令，得或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，
设，则.令，得.
在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示，
联立消去得，
化简得.整理得，解得或或.
若数的值域为，由数形结合易知.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象求值域的方法，进而得出实数k的取值范围。
27．【答案】（1）解：令 得 ；
令 得 ，即 .
（2）解：令 ，得
即：
则：
（3）解：
令 ，则方程 在 内只有一个解，
并且 时， 代入方程有三个解，不符合题意.
设 是方程 的两根，令 ，则
(i)当 ，且在 内时，有 ，此时 ，满足要求.
(ii)当 或 时，有
即
综上： 或 .
【解析】【分析】（1） 令 得 ；令 ， 得 ；
（2） 令 ，得 ，得函数解析式 ；
（3） ， 令 ，则方程 在 内只有一个解，令 ，分和 或 讨论，求解即可.
28．【答案】（1）解：由，
得，
消去得，所以．
（2）解：由，得，即对任意恒成立，
令，，
当时，取得最大值86，
所以实数m的取值范围为．
【解析】【分析】 (1)由 与 联立，可求得 的解析式；
(2)依题意，问题转化为 对任意恒成立， 求得 在[-3， 3]上取得最大值可得m的取值范围.
29．【答案】（1）解：设
由题意可得
解得
故.
（2）解：由题可知函数的对称轴为
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
因为，，
所以函数在上的值域为.
【解析】【分析】（1）待定系数法设二次函数的解析式，根据题意联立方程组解出即可；
（2）利用二次函数的性质求二次函数在闭区间上的值域.
30．【答案】（1）解：∵的图象过点，即，∴，
又，∴图象的对称轴为，
∴，∴，
∴.
（2）解：不等式，可化为，
①当，即时，不等式恒成立，
所以不等式的解集为；
②当，即或时，
方程有两个根为，，
此时不等式的解集为；
综上：当时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为.
【解析】【分析】（1）利用点在函数上与二次函数的对称性即可得解；
（2）分类讨论与，结合二次函数的性质即可解得含参二次不等式.
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