高中数学人教A版（2019）必修1 3.2函数的基本概念章节综合测试卷(解析+答案)

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第三章第二节 函数基本性质
一、选择题
1．（2022·柳州模拟）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高三上·牡丹江开学考）函数的单调递减区间为（　　）
A． B．
C．和 D．
3．（2023高一下·保山期末）已知为增函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023高二下·达州期末）是定义域为R的奇函数，，，则（　　）
A．3 B． C．6 D．0
5．（2023高一下·定远期末）函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二下·湖州期末） 已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·宁波期末） 已知函数的定义域为R，为奇函数，且对于任意，都有，则下列结论中一定成立的是（　　）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
8．（2023高一下·汕头期末）设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
9．我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（　　）
A．8088 B．4044 C． D．
10．（2022高三上·白山）已知符号函数，偶函数满足，当时，，则（　　）
A． B．
C． D．
11．（2022高三上·白山）已知函数，则不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2023高三下·吉林）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（　　）
A． B． C． D．
13．已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
14．（2023高二下·绍兴期末）已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则（　　）
A． B． C．0 D．
15．（2023高二下·金华期末）已知定义在上的三个函数，其中为偶函数，是奇函数，且在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，则（　　）
A．是奇函数，且在上单调递增
B．是偶函数，且在上单调递减
C．是奇函数，且在上单调递减
D．是偶函数，且在上单调递增
16．（2023高二下·工农月考）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（　　）
A． B．
C． D．
17．（2023高二下·工农月考）已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则（　　）
A． B． C． D．
18．（2023高一下·浙江期中）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对恒成立．则以下结论：①为偶函数；②；③；④其中正确的为（　　）
A．①②④ B．②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题
19．（2023高一下·黄浦期末）函数图像的对称中心的坐标为　 　．
20．（2023高三上·哈尔滨开学考）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是　 　。
21．（2023·上海市模拟）若函数 为偶函数， 且当 时， ， 则 　 　.
22．（2023高一下·衢州期末）已知为定义在R上的奇函数，为偶函数，且对任意的，，，都有，试写出符合上述条件的一个函数解析式　 　.
23．（2023·上虞模拟）已知函数为偶函数，且，则　 　.
24．（2023·黄山模拟）黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下：，定义在实数集上的函数满足，且函数的图象关于直线对称，，当时，，则　 　.
三、解答题
25．已知是定义在上的函数．
（1）判断函数的奇偶性和单调性，并说明理由；
（2）若，求实数的取值范围．
26．已知为上的偶函数，当时，．
（1）求出时的解析式，并作出的图象；
（2）根据图象，写出的单调区间，并写出的解集．
27． 已知的定义域为，对任意都有，当时，
（1）求；
（2）证明：在上是减函数；
（3）解不等式：.
28．（2022·柳州模拟）已知函数满足.
（1）求的解析式；
（2）若对、且，都有成立，求实数k的取值范围.
29．（2023高一下·番禺期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数及其图象的对称中心为．
（1）求c的值；
（2）判断在区间上的单调性并用定义法证明；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围．
30．（2023高二下·工农月考）函数对任意，，总有，当时，，且．
（1）证明是奇函数；
（2）证明在上是单调递增函数；
（3）若，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】 对于A， 是对称轴为y轴的二次函数，是偶函数，不符合题意；
对于B， 是幂函数，是奇函数但在R上是增函数，不符合题意；
对于C， 是反比例函数，是奇函数，但在其定义域上不是减函数，不符合题意；
对于D， 是正比例函数，既是奇函数又是减函数，符合题意.
故选： D.
【分析】根据题意，逐个判断各个选项中函数的奇偶性和单调性，可得答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：令，解得或，即 函数的 定义域为，
因为在定义域内单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则函数 在上单调递减，在上单调递增，
所以 函数的单调递减区间为.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，进而根据复合函数的定义域分析判断.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：由f(x)为增函数，可得，解得3≤a<4.
故答案为：D.
【分析】根据题意，由f(x)为增函数，可得关于a的不等式组，求解可得a的取值范围.
4．【答案】B
【解析】【解答】由周期T的性质可知，
，说明是周期函数，且周期T=4.
又因为是奇函数，
所以，
所以.
故选：B.
【分析】先利用函数的周期性，再利用函数的奇偶性
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由题得函数f(x) 为偶函数，在 单调递增，
则对任意的 ，不等式恒成立．
则不等式， 恒成立，
则 ， 恒成立，
得 ，得 ， 恒成立，
则 且 ，或 且 ， 恒成立，
即当 时， 且 ，或 且 ，
又当 ，有 ， ，
得 .
故选：C.
【分析】分析得到函数f(x)为偶函数，在单调递增，则对任意的 ，不等式恒成立，转化为 ， 恒成立，再转化为 ，得 ， 恒成立，再分两种情况，得到a的范围.
6．【答案】C
【解析】【解答】为奇函数，即且
又为偶函数，即
所以即所以是周期为4的周期函数.
所以
故答案为：C
【分析】先利用函数的奇偶性得出为周期函数，再利用赋值法求出利用周期性即可解得.
7．【答案】C
【解析】【解答】A选项，由已知函数的定义域为R，为奇函数，得，即，故A错误；
B选项，由已知，得，所以，即，则，故B错误；
C选项，由，得，可知函数的周期为T=2，再由与可得，即函数的图像关于对称。根据周期为T=2可得函数的图像关于对称，即，所以为偶函数，故C正确；
D选项，因为，并且函数的周期为T=2，所以，为偶函数，故D错误.
故答案为：C
【分析】结合基本初等函数的奇偶性、对称性和周期性进行证明.
8．【答案】D
【解析】【解答】令，
∵是定义在上的奇函数，
∴是定义在上的偶函数，
对任意的，满足：，
∴在上单调递增，
∴在上单调递减，
∵，
∴，
，
可得或者，
解得或者，
故选：D.
【分析】令，求出是定义在上的偶函数，求出，再求出解集.
9．【答案】C
【解析】【解答】由题意可得：
，
∵的奇函数，
∴，，
解得，
设，
则，
的对称中心为，
即，
原始，
故选：C.
【分析】的对称中心为，即，据此分析求出答案.
10．【答案】C
【解析】【解答】对A：令，则， 故A错误；
对B：因为，故B错误；
对C：因为，故C正确；
对D： 显然，
例如，则， ，故D错误；
故答案为：C.
【分析】对A：取特值，令，根据题意分析判断；对B：根据题意结合周期性分析判断；对C：根据题意结合周期性分析判断；对D：取特值，令，根据题意分析判断；.
11．【答案】B
【解析】【解答】因为的定义域为R，
且，所以函数为定义在上的奇函数，
当时，则，
因为在上单调递减，则在上单调增，
可得在上单调减，且函数为定义在上连续不断，
所以为定义在上的增函数，且，
则，即，
可得，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：B.
【分析】根据题意分析可得为定义在上的增函数，且为奇函数，进而根据函数性质解不等式.
12．【答案】B
【解析】【解答】因为f（x）-x是偶函数，f(x)+x2是奇函数，所以f（x）-x=f（-x）+x，-f(x)-x2=f（-x）+x2，
整理得：f（x）=x-x2，当x∈[0，1]时，g(x)=f(x)，当x∈（1，2），g(x)=2g(x-1)，
以此类推，当x∈（4，5），g（x）=16f（x-4），
因为要使g(x)≤3，
所以16（x-4-(x-4)2）≤3，
解得x≤或x大于等于，
故选B.
【分析】先用奇偶函数的性质列出式子，表达出f(x)，再用g（x）的分段函数表达出每段的函数表达，取函数值等于三时的x取值.
13．【答案】D
【解析】【解答】 若对任意的，，均有成立，
不妨设，则，
则，整理得，
令，可知在上递增，
又因为，
所以是定义在R上的奇函数，可得在上递增，
且 ，则，
可知：当，；当，；
当，；
对于不等式，等价于，即，
可得，解得
所以的解集为 .
故答案为：D.
【分析】构建，根据题意可得是定义在R上的奇函数，在上递增，根据对称性可得在上递增，由等价于，根据奇偶性和单调性解不等式即可.
14．【答案】B
【解析】【解答】 ， ，，函数 周期，
为奇函数，即， 函数关于对称，，
令，得，，，，
令，得，
，，
令，得，，
令，得，，
函数 周期，，，，，
.
，
故答案为：B
【分析】根据得周期，根据为奇函数得函数关于对称，由结合周期性和对称性求出 ，，，利用周期性得到，进而求解。
15．【答案】D
【解析】【解答】令M(x)=f(x)g(x) ，N(x)=g(x)h(x) ，
因为f(x)为偶函数， g(x)，h(x)是奇函数，
所以M(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-M(x) ，N(-x)=g(-x)h(-x)=g(x)h(x)=N(x)
即M(x)是奇函数， N(x)是偶函数，
因为g(x)，h(x)是奇函数，g(x)在R上单调递增， h(x)在R上单调递减，
所以当x∈（-∞，0） 时， g(x)单调递增， h(x)单调递减，且g(x)<0 、 h(x)>0 ，
任取x1，x2∈（-∞，0） ，设x1则g(x1)所以-g(x1)>-g(x2)>0
所以以-g(x1)h(x1)>-g(x2)h(x2)>0
所以N(x1)所以N(x)=g(x)h(x)在（-∞，0） 上单调递增，
因为不知道f(x)在（-∞，0）上的符号，所以M(x)=f(x)g(x)在（-∞，0）上的单调性无法判断，
故选：D
【分析】根据奇偶性和单调性的定义判断即可，其中两个函数相乘的单调性与这两个函数的单调性、符号有关.
16．【答案】D
【解析】【解答】解：因为时，，所以函数在单调递减，且，又因为为定义在的偶函数，则，可得或，即.
故答案为：D.
【分析】先根据已知条件，利用常数分离法确定函数在区间的单调性，结合以及函数为偶函数，将不等式转化为或即可求解.
17．【答案】D
【解析】【解答】解：因为满足，用代换，可得，又因为为上的奇函数，所以，即，所以函数是以6为周期的周期函数，，因为为奇函数，所以.
故答案为：D.
【分析】先根据题意推出，得到函数的周期，再根据周期得，最后根据函数为奇函数以及时函数的解析式为计算即可求解.
18．【答案】A
【解析】【解答】 为奇函数 ，， 关于对称，，
对恒成立 ， 关于对称，
， ① 正确；
由 关于对称得， ② 正确；
由关于对称得 ，由 关于对称得 ，， ③ 错误；
由得周期为， ， ④ 正确；
故答案为：A
【分析】分析题意得 关于和对称，进而分析各选项。
19．【答案】
【解析】【解答】解：因为，
它的图像是由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，
因为函数的图像对称中心的坐标为，所以函数图像的对称中心的坐标为．
故答案为：．
【分析】将函数解析式分离常数变形后，利用反比例函数的对称性，结合函数图象平移变换即可得答案．
20．【答案】[1，2]
【解析】【解答】解：由已知条件f（1）=0可得， 因为偶函数在上单调递减，所以
解得
故答案为：[1，2]
【分析】利用函数的单调性和奇偶性转化成，解不等式即可求解.
21．【答案】
【解析】【解答】当 时， ， 所以 ，
又因为f(x)为偶函数，所以 ．
故答案为： .
【分析】利用偶函数的定义即可求解.
22．【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】因为为R上的奇函数，所以又为偶函数即，由①②可得所以是周期为8的周期函数。
对任意的，，都有可以判断出在区间（0，2）上单调递减，不妨设
函数的最小正周期为函数在区间（0，2）上单调递减，所以A<0，不妨取-1，所以
（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据奇偶性可判断为周期函数，再结合单调性可利用正、余函数的性质即可得出.
23．【答案】2
【解析】【解答】由 为偶函数，得f(-2x+1)= f(2x+1)，即f(x)关于x=1对称，
则f(-x)=f(2+x)
由f(x)+ f(-x)=2，得函数关于(0，1)对称，
令x=0，得2f(0)=2，得f(0)=1，则f(x)+f(2+x)=2，
即f(x+2)+f(x+4)=2，
即f(x+2)+f(x+4)=f(x)+f(2+x)
得f(x +4)= f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，
令x=0，由f(-x)= f(2+x)，得f(0)= f(2)，即f(2)=1，
故f(2022) + f(2024)= f(505x4+2)+f(506x4)=f(2)+f(0)=1+1=2
故答案为：2.
【分析】根据函数奇偶性和对称性，判断函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可得答案.
24．【答案】
【解析】【解答】因为函数的图象关于直线对称，所以，
由得，所以，
所以为偶函数，
由得，代入得，
所以，所以，
所以，所以是以4为周期的函数，
由得，所以，即，
由得，所以，即，所以，所以，
，
故答案为：
【分析】由，推出为以4为周期的偶函数，据此求，计算求解即可.
25．【答案】（1）解：，，
所以函数是奇函数，
设，
则
，
因为，所以，，，，
所以，
则函数为单调递增函数；
（2）解：不等式，
化简为，
因为函数是定义在的增函数，
所以，解得：，
所以的取值范围为.
【解析】【分析】(1)求出 判断函数奇偶性，再利用定义法求单调性；
(2)首先将条件转化为，进而利用函数的单调性求解实数的取值范围．
26．【答案】（1）解：设，，
，
所以时，，
（2）解：由图象可知，函数的单调递增区间是和，
函数的单调递减区间是和；
不等式，等价于
或，由图象解得：或或，
所以不等式的解集为.
【解析】【分析】(1)设，根据偶函数性质求函数的解析式；
(2)根据函数的图象，写出函数的单调区间， 等价于和同号，再结合函数的图象，求解不等式.
27．【答案】（1）解：令x=y=0，代入f(x+y)=f(x)+f(y)-1可得f(0)=2f(0)-1，即f(0)=1，
令x=1，y=-1，代入f(x+y)=f(x)+f(y)-1可得f(0)=f(1)+f(-1)-1，∵f(1)=0，∴1=0+f(-1)-1，即f(-1)=2.
（2）证明：令x=x1，y=x2-x1，且x1代入f(x+y)=f(x)+f(y)-1可得f(x1+x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1)-1，即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1，
∵当x>0时，f(x)<1，
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1<0，
∴f(x2)∴f(x)在R上是减函数.
（3）解：令x=y=1，代入f(x+y)=f(x)+f(y)-1可得f(2)=2f(1)-1=-1，
令x=1，y=2，代入f(x+y)=f(x)+f(y)-1可得f(3)=f(1)+f(2)-1=-1-1=-2，
令x=y=2，代入f(x+y)=f(x)+f(y)-1可得f(4)=2f(2)-1=-3，
令x=2，y=3，代入f(x+y)=f(x)+f(y)-1可得f(5)=f(2)+f(3)-1=-1-2-1=-4，
f(2x2-3x-2)+2f(x)>4f(2x2-3x-2)+f(x)>4-f(x)=-(-4+f(x))=-(f(5)+f(x))，
即f(2x2-3x-2)+f(x)>-(f(5)+f(x))，
∴f(2x2-3x-2)+f(x)-1>-(f(5)+f(x))-1=-(f(5)+f(x)-1)-2，
即f(2x2-3x-2+x)>-f(x+5)-2，
即f(2x2-3x-2+x)+f(x+5)>-2，
∴f(2x2-3x-2+x)+f(x+5)-1>-3，
即f(2x2-3x-2+x+x+5)>-3，
即f(2x2-x+3)>-3=f(4)，
由(2)得f(x)在R上是减函数，
∴2x2-x+3<4，
解得：即不等式的解集为{x|【解析】【分析】(1)赋值法令x=y=0求解f(0)，令x=1，y=-1求解f(-1)；
(2)令x=x1，y=x2-x1，且x10时，f(x)<1，得f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1<0，即f(x2)(3)赋值法得到f(4)、f(5)，对原式变形，结合函数单调性，得到2x2-x+3<4，求解即可.
28．【答案】（1）解：由条件，可知函数的定义域为，
所以，，
可得，解得.
（2）解：对、，，都有，
不妨设，由，
则，可得，
也即可得函数在区间上递增；
对任意的恒成立，即，
当时，，故，解得.
因此，实数的取值范围是.
【解析】【分析】 (1)由 可得 ， 联立可求得 的解析式；
(2)原式可等价转化为 在区间上递增，再利用对任意的恒成立，得到关于 k的不等式，求解可得实数k的取值范围.
29．【答案】（1）解：由于的图象的对称中心为，
则，
即，
整理得，解得：，
故的对称中心为；
（2）解：函数在递增；
设，则，由于，所以，所以，故函数在递增；
（3）解：由已知，的值域为值域的子集，
由（2）知在，上递增，且，故的值域为，，
于是原问题转化为在，上的值域，，
当即时，在，递增，
注意到的图象恒过对称中心，
可知在，上亦单调递增，
故在，递增，又，，故，，所以
，，，且，解得，
当即时，在递减，在，递增，
又过对称中心，故在递增，在，递减，
故此时，，，，
欲使，，只需且，
解不等式得：，又，此时，
当即时，在，递减，在，上亦递减，
由对称性知在，上递减，于是，，
则，，，故，解得：，
综上：实数的取值范围是，．
【解析】【分析】 (1)根据函数的对称性得到关于的方程，解出即可求出函数的对称中心；
(2)利用函数单调性的定义即可判断函数的单调性；
(3)问题转化为在上的值域，通过讨论m的范围，得到关于m的不等式组，解出即可．
30．【答案】（1）令，则，解得，
令，则，即，即，
易知的定义域为，关于原点对称，所以函数是奇函数；
（2）任取，，且，则，
因为当时，，所以，
则，即，所以函数是上的增函数；
（3）由，得，，又由是奇函数得.
由，得，因为函数是上的增函数，
所以，解得，故实数的取值范围为．
【解析】【分析】（1）易知函数的定义域为，关于原点对称，根据已知条件，令，，结合奇函数的定义即可证明；
（2）任取，，且，由时，，根据单调性的定义即可证明；
（3）由题意，可得，，再由为奇函数可得，原不等式转化为，又函数在上为增函数，可得，求解即可得实数的取值范围.
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