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（总课时14）§2.4用因式分解法求解一元二次方程
一.选择题：
1．方程x2﹣3x＝0的解是（D）A.x＝3 B.x＝0 C.x＝1或x＝3 D.x＝3 或x＝0
2．若x＝4和是的解，则m的值为（ B ）
A.-5 B.5 C. D.无法确定
3．方程的根为（ D ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．若等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ B ）
A.16 B.18 C.16或18 D.21
5．已知：，则的值为( D )
A．-2或5 B．-2 C．4 D．5
二.填空题：6．若，则_4_．
7．一元二次方程的根为菱形的两条对角线长，则菱形的周长为_7_.
8．二次三项式有一个因式为(x-1)，则a=__1__
9．方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=_-1_；x2=
10．一个等腰三角形三边长分别是m，n，3，且m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则t的值为16或17_．
三.解答题：
11．用规定的方法解下列方程
(1)(2x-1)=4 (用直接开平方法) (2) (用因式分解法)
（1） （2）
(3) (用配方法) (4) (用求根公式法)
（3） （4）
12．已知：关于x的方程（1）求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根（2）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一根
解：（1）∵a=1，b=-（m+1），c=2m-3，∴△=（m-3）2+4＞0，
∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）把x=1代入方程可得1-（m+1）+2m-3=0，解得m=3，当m=3时，原方程为x2-4x+3=0
解得x1=1，x2=3，即方程的另一根为3；
13．用适当的方法解下列一元二次方程
(1) (2x-1)2=25 (2) 3x2-6x-1=0 (3) x2-4x-396=0 (4) (2-3x)+(3x-2)2=0
（1），；（2），；（3），；（4），x2=1
14．设a、b、c是△ABC的三条边,关于x的方程x2+2x+2c-a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为0.（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）若a,b为方程x2+mx-3m=0的两根，求m的值.
解：（1）∵方程x2+2x+2c-a=0有两个相等的实根，∴△=0，即△=(2)2-4×(2c-a)=0，
解得a+b=2c，∵方程3cx+2b=2a的根为0，∴2b=2a，a=b，∴2a=2c，a=c，∴a=b=c，
故△ABC为等边三角形.
（2）∵a、b相等，∴x2+mx-3m=0有两个相等的实根，∴△=0，即△=m2+4×1×3m=0，
即m1=0，m2=-12，.∵a、b为正数，∴m1=0(舍)，故m=-12.
四.提高题：15．阅读例题，解答下题．
范例：解方程：x2+∣x+1∣﹣1=0
解：(1)当x+1≥0，即x≥﹣1时，x2+x+1﹣1=0 x2 +x=0解得x1=0 ，x2=﹣1
(2)当x+1<0，即x<﹣1时，x2﹣(x+1)﹣1=0 x2﹣x﹣2=0解得x1=﹣1，x2=2
∵x<﹣1，∴x1 =﹣1，x2=2都舍去.综上所述，原方程的解是x1=0，x2=﹣1
依照上例解法，解方程：x2﹣2∣x－2∣－4=0
解(1)当x﹣2≥0，即x≥2时，x2 ﹣2（x﹣2）﹣4= 0x2 -2x = 0解得x 1 = 0，x2 = 2
∵ x ≥ 2，∴x 1 = 0 舍去
(2)当x﹣2<0，即x<2时，x2 + 2（x﹣2）﹣4=0x2+2x﹣8=0解得x1 =﹣4 ，x2 =2
∵x<2，∴x2 =2舍去.综上所述，原方程的解是x1=2，x2=﹣4.
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（总课时14）§2.4用因式分解法求解一元二次方程
【学习目标】能用因式分解法解一元二次方程；能灵活选择合适的方法解一元二次方程．
【学习重难点】会用三种方法（提取公因式法、公式法、十字相乘法）解一元二次方程．
【导学过程】
一.知识回顾：
1．若ab=0，则（ ）
A．a=0 B．b=0 C．a=0且b=0 D．a=0或b=0
2．将下列多项式进行因式分解：
（1）=________；（2）=______；（3）=________；（4）=______．
二.探究新知：
1．引入：对于方程，你有几种解法？请对下边小亮和小明的解法做出评价．
小亮：由方程得：，即x(x-3)=0；小明：方程 两边同时约去x，得：x=3．
于是x=0或x-3=0，
所以x1=0或x2=3．
2．试一试：请模仿小亮的方法解方程：2x2=4x
3．归纳总结：
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用上面的方法求解，这种方法称为因式分解法．
三.典例与练习：例1：解下列方程：（1）(x-1)(x-2)=0 （2）x(x+2)=3(x+2)
练习：1. 2. 3.
例2：用适当的方法解下列方程：
（1）（提取公因式） （2）（公式法） （3）（十字相乘）
练习：4.用因式分解法解下列方程：（1） （2）
四.课堂小结：1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：①将一元二次方程化为一边为零的形式，②把方程另一边分解因式得（mx+n）(px+q)=0;③令（mx+n）=0或(px+q)=0，④求出解；
2.解方程时应优先考虑用因式分解法.
五.分层过关：1．用适当的方法解下列方程：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7）
2.关于x的方程x2+px+q=0有两根为x1=-4或x2=3，则二次三项式x2+px+q=0可分解为（ ）
A．(x+3)(x-4) B．(x+4)(x-3) C．(x+3)(x+4) D．(x-4)(x-3)
3．若方程(3x+1)(x-2)=0，则3x+1的值为（ ）
A．7 B．2 C．0 D．7或0
4.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AE=EC=BE=a，
且a是方程x2+2x-3=0的根，则平行四边ABCD形的周长是_________．
5．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是( )
A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法
B. ①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法
C. ①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法
D. ①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法
思考题：我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．
认识新方程：像这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为，解得．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是．
运用以上经验，解下列方程：
（1） （2）
评价：____________________________________________.
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（总课时14）§2.4用因式分解法求解一元二次方程
一.选择题：
1．方程x2﹣3x＝0的解是（ ）A.x＝3 B.x＝0 C.x＝1或x＝3 D.x＝3 或x＝0
2．若x＝4和是的解，则m的值为（ ）
A.-5 B.5 C. D.无法确定
3．方程的根为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．若等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A.16 B.18 C.16或18 D.21
5．已知：，则的值为( )
A．-2或5 B．-2 C．4 D．5
二.填空题：6．若，则________．
7．一元二次方程的根为菱形的两条对角线长，则菱形的周长为______.
8．二次三项式有一个因式为，则a=_____
9．方程（x+1）2+x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
10．一个等腰三角形三边长分别是m，n，3，且m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则t的值为__________．
三.解答题：
11．用规定的方法解下列方程
(1)(2x-1)=4 (用直接开平方法) (2) (用因式分解法)
(3) (用配方法) (4) (用求根公式法)
12．已知：关于x的方程（1）求证：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根（2）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一根
13．用适当的方法解下列一元二次方程
(1) (2x-1)2=25 (2) 3x2-6x-1=0 (3) x2-4x-396=0 (4) (2-3x)+(3x-2)2=0
14．设a、b、c是△ABC的三条边,关于x的方程x2+2x+2c-a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为0.（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）若a,b为方程x2+mx-3m=0的两根，求m的值.
四.提高题：
15．阅读例题，解答下题．
范例：解方程：x2+∣x+1∣﹣1=0
解：(1)当x+1≥0，即x≥﹣1时，x2+x+1﹣1=0 x2 +x=0解得x1=0 ，x2=﹣1
(2)当x+1<0，即x<﹣1时，x2﹣(x+1)﹣1=0 x2﹣x﹣2=0解得x1=﹣1，x2=2
∵x<﹣1，∴x1 =﹣1，x2=2都舍去.综上所述，原方程的解是x1=0，x2=﹣1
依照上例解法，解方程：x2﹣2∣x－2∣－4=0
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（总课时14）§2.4用因式分解法求解一元二次方程
【学习目标】能用因式分解法解一元二次方程；能灵活选择合适的方法解一元二次方程．
【学习重难点】会用三种方法（提取公因式法、公式法、十字相乘法）解一元二次方程．
【导学过程】
一.知识回顾
1．若ab=0，则（ D ）
A．a=0 B．b=0 C．a=0且b=0 D．a=0或b=0
2．将下列多项式进行因式分解：
（1）=x(x-3)；（2）=(x-2)(x+2)；（3）=(x+5)2；（4）=(x-2)(x+5)．
二.探究新知
1．引入：对于方程，你有几种解法？请对下边小明和小亮的解法做出评价．
小亮：由方程得：，即x(x-3)=0；小明：方程两边同时约去x，得：x=3．
于是x=0或x-3=0，
所以x1=0或x2=3．
2．试一试：请模仿小亮的方法解方程：2x2=4x
解：①2x2-4x=0②x(2x-4)=0③x=0或2x-4=0④x1=0或x2=2
3．归纳总结：
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用上面的方法求解，这种方法称为因式分解法．
三、典例与练习：例1：解下列方程：（1）(x-1)(x-2)=0 （2）x(x+2)=3(x+2)
解：(1) x1=1或x2=2 (2) x1=3或x2=-2
练习：1. 2. 3.
解：(1) x1= 或x2= (2) x1=3或x2=9 (3) x1=0或x2=
例2：用适当的方法解下列方程：
（1）（提取公因式） （2）（公式法） （3）（十字相乘）
解：(1) x1=0或x2=- (2) x1=4或x2=-6 (3) x1=3或x2=2
练习：4.用因式分解法解下列方程：（1） （2）
解：(1) x1=-1或x2= (2) x1=1或x2=
四.课堂小结：1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：①将一元二次方程化为一边为零的形式，②把方程另一边分解因式得（mx+n）(px+q)=0;③令（mx+n）=0或(px+q)=0，④求出解；
2.解方程时应优先考虑用因式分解法.
五.分层过关：1．用适当的方法解下列方程：
（1） （2） （3） （4）
解：(1)x1=6或x2=-3 (2)x1=1或x2=3 (3)x1=-1或x2= (4)x1=5或x2=-2
（十字相乘法） （公式法） （十字相乘法） （十字相乘法）
（5） （6） （7）
解：(5)x1=0或x2=4 (6)x1=- 或x2=-7 (7)x1= 或x2=-
（提取公因式法） （公式法） （因式分解法）
2.关于x的方程x2+px+q=0有两根为x1=-4或x2=3，则二次三项式x2+px+q=0可分解为（ B ）
A．(x+3)(x-4) B．(x+4)(x-3) C．(x+3)(x+4) D．(x-4)(x-3)
3．若方程(3x+1)(x-2)=0，则3x+1的值为（ D ）
A．7 B．2 C．0 D．7或0
4.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AE=EC=BE=a，
且a是方程x2+2x-3=0的根，则平行四边ABCD形的周长是_4+2_．
5．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是( D )
A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法
B. ①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法
C. ①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法
D. ①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法
思考题：我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．
认识新方程：像这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为，解得．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是．
运用以上经验，解下列方程：
（2）
解：两边平方得：166x=x2 解： 两边平方得：4x-12=36+x2-12x
解得：x1=0,x2=166 解得：x1=12,x2=4 检验：x1=12是增根，舍去，
检验：x1=0,x2=166是方程的根. ∴x=4是方程的根.
评价：小明解法是错误的，不能两边同进约去x；∵x可能是0.
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