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(总课时15）§2.5一元二次方程的根与系数的关系
【学习目标】了解一元二次方程的根与系数的关系．利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
【学习重难点】利用根与系数的关系解决简单问题．
【导学过程】
一.知识回顾：
1．一元二次方程的一般形式为:_____________．2．一元二次方程的求根公式为:_______________________．
3．如何判断一元二次方程的实数根的情况？____________ _____________________________
二.探究新知：
1．引入：完成下列表格
方程的根x1,x2 两根之和x1+x2 两根之积x1 x2
2．猜想：根据上述结论，请猜想方程两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？
答：________________________.
3．证明：请根据一元二次方程的求根公式证明：
如果方程有两个实数根x1,x2，那么
结论：（韦达定理）如果方程(a≠0)有两个实数根x1,x2，那么
三、典例与练习：
例1．先判断下列方程根的情况，如果有根再根据根与系数的关系，写出两根之和与两根之积．
（1） （2）
练习：1.根据根与系数的关系，求出下列方程的两根之和与两根之积
（1） （2）
例2.已知方程的一个根为3，求它的另一个根．
练习：2.已知方程的一个根为2，则它的另一个根是_________，的值为_________．
3.已知方程的一个根为2，则它的另一个根是_________，的值为_________．
4.已知方程的两个根分别是和3，则m的值为________，n的值为_________．
例3．已知x1,x2是一元二次方程的两个根，求下列式子的值
（1） （2）
练习：5．已知a,b是方程x2-7x+11=0的两个根，不解方程求①a2b+ab2=_____,②∣a-b∣=_______．
6．已知一元二次方程的两根为，则=_________________．
四.课堂小结：1.会用韦达定理解决简单的问题；
2.关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两实数根为，那么：；
3.以两数为根的一元二次方程是：x2-(x1+x2)x+=0.
五.分层过关：
1.若关于的方程有一个根为-1，则另一个根是（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-3
2.已知是关于的方程的两实数根，则的值是（ ）
A．19 B．25 C．31 D．30
3.已知是方程的两实数根，则的值是（ ）
A．-1 B．0 C． -2 D．3
4.是关于的方程的两实数根，且．则的值是（ ）
A．0.25 B．-0.25 C． 4 D．-1
5.已知三角形的两边长是方程的根，三角形的第三条边为9，则三角形的周长是_______．
6.已知关于x的方程的两实数根之积为负数，则实数m的取值范围是_____________．
7.根据根与系数的关系，求出下列方程的两根之和与两根之积
（1） （2）
8．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1,x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根x1,x2满足，求k的值．
思考题：已知x1,x2是关于的方程的两实数根．
（1）若，求m的值；
（2）已知等腰△的一边长7，若x1，x2恰好是△BC另外两边的长，求这个三角形的周长．
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(总课时15）§2.5一元二次方程的根与系数的关系
一.选择题：1．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ ）A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2
2．方程的两根为、，则等于（ ）A.-6 B.6 C.-3 D.3
3．如果关于的方程的两根分别为，，那么p、q的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（ ）A．B．C．D．
5．若关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k=0的一个根为1，则另一个根为（ ）
A.2 B.﹣1 C. D.
6．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）A． B． C． D．0
7．若a，b是方程的两根，则( )
A.2020 B.2019 C.2018 D.2016
二.填空题:8．已知方程x2-3x-1=0的两根是x1、x2，则x1-x1x2+x2=_______
9．数a、b满足等式a2=7-3a，b2=7-3b，则=________。
10．若x1,x2是方程x2+x 1=0的两个根,则x12+x22=____________.
11．设a、b是方程的两个根，c、d是方程的两个根，则的值为______.
12．设，是方程的两个实数根，则的值是________.
13．已知，是一元二次方程的两实数根，则代数式________．
三.解答题:14．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为-1，求它的另一个根及的m值
15．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．
16．已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2+2=0.（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；（2）若两实数根x1,x2满足(x1+1)(x2+1)=12，求m的值.
四.提高题:17．如图1，△ABC,△AED都是等腰直角三角形，∠ABC=∠AED=90°AE=a,AB=b,且a21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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(总课时15）§2.5一元二次方程的根与系数的关系
【学习目标】了解一元二次方程的根与系数的关系．利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
【学习重难点】利用根与系数的关系解决简单问题．
【导学过程】
一.知识回顾：
1．一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0,（a≠0）．2．一元二次方程的求根公式为:_______________________．
3．如何判断一元二次方程的实数根的情况？ >0（ =0）方程有两个不等（相等）实根， <0方程无实根.
二.探究新知：
1．引入：完成下列表格
方程的根x1,x2 两根之和x1+x2 两根之积x1 x2
x1=x2=1 x1+x2=2 x1 x2=1 2 1
x1=-2，x2=+2 x1+x2=2 x1 x2=--1 2 -1
x1=1，x2= x1+x2= x1 x2=
2．猜想：根据上述结论，请猜想方程两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？
答：
3．证明：请根据一元二次方程的求根公式证明：
如果方程有两个实数根x1,x2，那么
结论：（韦达定理）如果方程(a≠0)有两个实数根x1,x2，那么
三.典例与练习：
例1．先判断下列方程根的情况，如果有根再根据根与系数的关系，写出两根之和与两根之积．
（1） （2）
（1） =25>0方程有实根；x1+x2=-7，x1 x2=6. （2） =25>0方程有实根；x1+x2=1.5，x1 x2=-1
练习：1.根据根与系数的关系，求出下列方程的两根之和与两根之积
（1） （2）
（1）x1+x2=3 x1 x2=-1 （2）x1+x2=- x1 x2=
例2.已知方程 的一个根为3，求它的另一个根．
解：设另一个为x2,则3x2=-7∴x2=
练习：2.已知方程的一个根为2，则它的另一个根是_________，的值为__-7__．
3.已知方程的一个根为2，则它的另一个根是_________，的值为__-6__．
4.已知方程的两个根分别是和3，则m的值为-10 ，n的值为3 ．
例3．已知x1,x2是一元二次方程的两个根，求下列式子的值
（1） （2）
解：(1) =(x1+x2)2-2x1x2= (2) =
练习：5．已知a,b是方程x2-7x+11=0的两个根，不解方程求①a2b+ab2=_77_,②∣a-b∣=
6．已知一元二次方程的两根为m,n，则=_23．
四.课堂小结：1.会用韦达定理解决简单的问题；
2.关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两实数根为，那么：；
3.以两数为根的一元二次方程是：x2-(x1+x2)x+=0.
五.分层过关：
1.若关于的方程有一个根为-1，则另一个根是（ A ）
A．-2 B．2 C．4 D．-3
2.已知是关于的方程的两实数根，则的值是（ C ）
A．19 B．25 C．31 D．30
3.已知是方程的两实数根，则的值是（ C ）
A．-1 B．0 C． -2 D．3
4.是关于的方程的两实数根，且．则的值是（ A ）
A．0.25 B．-0.25 C． 4 D．-1
5.已知三角形的两边长是方程的根，三角形的第三条边为9，则三角形的周长是_21_．
6.已知关于x的方程的两实数根之积为负数，则实数m的取值范围是_m>1_．
7.根据根与系数的关系，求出下列方程的两根之和与两根之积
（1） （2）
解：(1) x1+x2= x1x2=- (2)x1+x2=-3 x1x2=-1
8．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1,x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根x1,x2满足，求k的值．
解：（1） =4k-3>0∴k> (2)∵-2k-1=-k2-1∴k1=0,k2=2
思考题：已知x1,x2是关于的方程的两实数根．
（1）若，求的值；
（2）已知等腰△的一边长7，若x1,x2恰好是△BC另外两边的长，求这个三角形的周长．
解：(1)∵ ≥0∴m≥2,(x1-1)(x2-1)=x1x2+1-(x1+x2)=m2+5+1+2m+2=28∴m1=6,m2=-4(舍去)∴m=6
设x1=7则m2-14m+40=0∴m1=10,m2=4;
当m=10时，x1+x2=22，x2=15不能构成三角形，舍去；
当m=4时，x1+x2=10，x2=3，三角形的周长是：7+7+3=17
设x1=x2，则m=2∴x1=x2=3,不能构成三角形，舍去.
∴三角形的周长是17.
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(总课时15）§2.5一元二次方程的根与系数的关系
一.选择题：
1．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ D ）
A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2
2．方程的两根为、，则等于（C）
A.-6 B.6 C.-3 D.3
3．如果关于的方程的两根分别为，，那么p、q的值是（ B）
A．， B．， C．， D．，
4．已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（A）A．B．C．D．
5．若关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k=0的一个根为1，则另一个根为（ C ）
A.2 B.﹣1 C. D.
6．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ A ）A． B． C． D．0
7．若a，b是方程的两根，则( C )
A.2020 B.2019 C.2018 D.2016
二.填空题:8．已知方程x2-3x-1=0的两根是x1、x2，则x1-x1x2+x2=_4_
9．数a、b满足等式a2=7-3a，b2=7-3b，则=2或_。
10．若x1,x2是方程x2+x 1=0的两个根,则x12+x22=__3___.
11．设a、b是方程的两个根，c、d是方程的两个根，则的值为_2772_.
12．设a、b是方程的两个实数根，则的值是_2018__.
13．已知，是一元二次方程的两实数根，则代数式__-6_．
三.解答题:14．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为-1，求它的另一个根及的m值．
解：设方程的另一根是x2．∵一元二次方程x2+mx+3=0的一个根为-1，
∴x=-1是原方程的解，∴1-m+3=0，解得m=4；
又由根与系数的关系可得，得-1×x2=3，
∴x2=-3，即原方程的另一根是-3．
15．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．
解：（1）由题知△＝b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）＞0，解得：m＞﹣2；
（2）根据根与系数的关系可得：x1+x2＝2（m+1），∵（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，
∴[2（m+1）]2﹣2（m+1）﹣12＝0，解得：m1＝1或m2＝﹣（舍去）∵m＞﹣2；∴m＝1．
16．已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2+2=0.（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；（2）若两实数根x1,x2满足(x1+1)(x2+1)=12，求m的值.
解：（1）∵关于x的方程x2 2（m＋1）x＋m2＋2＝0总有两个实数根，∴△＝[ 2（m＋1）]2 4（m2＋2）＝8m 4≥0，解得：m≥0.5．（2）∵x1、x2为方程x2 2（m＋1）x＋m2＋2＝0的两个根，∴x1＋x2＝2（m＋1），x1x2＝m2＋2．∵（x1＋1）（x2＋1）＝12，∴x1x2＋（x1＋x2）＋1＝12，∴m2＋2＋2（m＋1）＋1＝12，整理，得：m2＋2m 7＝0，解得：m1＝-1-2（不合题意，舍去），m2＝-1+2，∴m的值为-1+2.
四.提高题:17．如图1，△ABC,△AED都是等腰直角三角形，∠ABC=∠AED=90°AE=a,AB=b,且a又,或,又,∴;
②由根与系数的关系,由,解得,,整理得, ,解得,
∵a+b=m>0,∴m=1,当m=1时，方程为,这个方程有两个不相等的正根，∴m=1符合题意;
（2）过A,C,D分别向BE作垂线，垂足分别为H,M,N,∵∠AEH+∠DEN=90 ,∠AEH+∠HAE=90 ∴∠HAE=∠NED
易证△AHE≌△END,同理可证△AHB≌△BMC,则AH=MB=EN,MC=BH,DN=EH,
设AH=h,五边形ABCDE的面积为.
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