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(总课时18)第二章 一元二次方程 §2.7（复习课）
【复习目标】能够用多种方法求解一元二次方程，会用一元二次方程解决实际问题．
【复习重难点】能够用多种方法求解一元二次方程，会用一元二次方程解决实际问题．
【导学过程】
一.知识梳理：
二.典例与练习：
知识点1：一元二次方程的概念及方程解的意义
例1：下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
练习1：已知方程有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A． B． C． D．
知识点2：一元二次方程的解法（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．
例2：解下列方程：（1）2x(x-3)=0 （2）x2-2x-1=0 （3）2(x-5)(x-6)=(x-5)
知识点3：一元二次方程根的判别式：
一元二次方程的根的判别式 =b2-4ac，方程的根是由其系数确定的，而与未知数是x,y无关．
（1） =b2-4ac>0有两个不相等的实数根；（2） =b2-4ac=0有两个相等的实数根；
（3） =b2-4ac<0无实数根．
例3：已知一元二次方程，下列判断正确的是（ ）
A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定
练习2：关于的方程有实数根，则a满足（ ）
A． B． C． D．
知识点4：一元二次方程的应用：
解应用题要遵循“审—找—设—列—解—验—答”等方法步骤，检验两个根是不是都符合实际的具体要求．
例4：今要对一块长60米、宽40米的矩形荒地进行绿化和硬化，设计方案如图所示，已知矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，若使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的 ，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽是 米．
练习3：为落实素质教育要求，促进学生全面发展，深圳市某中学2017年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2019年投资达到18.59万元．
（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率___________.
（2）从2017年到2019年，该中学三年为新增电脑共投资___________万元.
练习4：某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为_________元？
三.课堂小结：1.定义：整式、一元、二次；
2.解法：灵活运用各种方法，通常是：直接开方法---因式分解法---公式法---配方法.
3.列方程解应用题：审：认真读题，找：找相等关系，设：设未知数为x（注意带单位），列：列出方程，解：解方程，验：检验根是否符合题意，答：作答要注意带单位
四.分层过关：1.方程x2+x=0的根是（ ）A．0 B．1 C．0，1 D．0，-1
2.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2-12x+20=0的一个实数根，则三角形的周长是（ ）A．24 B．24或16 C．16 D．22
3.关于x的一元二次方程x2-5x+P2-2P+5=0的一个根为1，则实数p的值为（ ）
A．4 B．0或2 C．1 D．-1
4.下列方程中，有两个不等实数根的是（ ）
A．x2=3x-8 B．x2+5x=-10 C．7x2-14x+7=0 D．x2-7x=-5x+3
5.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2018年投入3000万元，预计2020年投入5000万元，设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.从正方形纸片上截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原正方形纸片的面积是（ ）
A．68cm2 B．86cm2 C．64cm2 D．56cm2
7.某商品连续2次降价10%后的价格为a元，则该商品的原价为（ ）
A． B．1.12 a元 C． D．0.81a元
8.用配方法解方程x2-4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A．(x-2)2=2 B．(x+2)2=2 C．(x-2)2=-2 D．(x-2)2=6
9.若a☆b=a2-3a+b，x☆2=6，则x= ．
10.解下列方程：（1）（1）x2-14x+13=0 （2）3x2+3x-4=0
12.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已进入越来越多的普通家庭，成为居民消费新的增长点，据深圳市交通部门统计，2017年初全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2019年初，全市的汽车拥有量已达216万辆，求2017年初至2019年初深圳市汽车拥有量的年平均增长率为多少？
思考题：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，(1).若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？(2)若每件衬衫降价x元，商场每天盈利y元，写出y与x的函数关系式。
概念：①整式方程；②一元；③二次.
一元二次方
程的定义
一般形式：_______________.
直接开平方法
配方法
一元二次方程的解法
一一元二次方程
公式法
因式分解法
根的判别式：Δ=b2-4ac
根的判别式及
根与系数的关系
根与系数的关系
几何问题、数字问题
一元二次方程的应用
营销问题、平均变化率问题
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(总课时18)§2.7一元二次方程（复习课）
【复习目标】能够用多种方法求解一元二次方程，会用一元二次方程解决实际问题．
【复习重难点】能够用多种方法求解一元二次方程，会用一元二次方程解决实际问题．
【导学过程】
一.知识梳理：
二.典例与练习：
知识点1：一元二次方程的概念及方程解的意义
例1：下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ A ）
A． B． C． D．
练习1：已知方程有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是（ D ）
A．ab B． C．a+b D．a-b
知识点2：一元二次方程的解法:（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．
例2：解下列方程：（1）2x(x-3)=0 （2）x2-2x-1=0 （3）2(x-5)(x-6)=(x-5)
解： (1)x1=0,x2=3 (2)x=1士 (3)x1=5,x2=
知识点3：一元二次方程根的判别式：
一元二次方程的根的判别式 =b2-4ac，方程的根是由其系数确定的，而与未知数是x,y无关．
（1） =b2-4ac>0有两个不相等的实数根；（2） =b2-4ac=0有两个相等的实数根；
（3） =b2-4ac<0无实数根．
例3：已知一元二次方程，下列判断正确的是（ B ）
A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定
练习2：关于的方程有实数根，则a满足（ C ）
A． B． C． D．
知识点4：一元二次方程的应用：
解应用题要遵循“审—找—设—列—解—验—答”等方法步骤，检验两个根是不是都符合实际的具体要求．
例4：今要对一块长60米、宽40米的矩形荒地进行绿化和硬化，设计方案如图所示，已知矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，若使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的 ，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽是 10 米．
练习3：为落实素质教育要求，促进学生全面发展，深圳市某中学2017年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2019年投资达到18.59万元．
（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率_（30％）_.
（2）从2017年到2019年，该中学三年为新增电脑共投资_43.89_万元.
练习4：某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为_80元_元？
三.课堂小结：1.定义：整式、一元、二次；
2.解法：灵活运用各种方法，通常是：直接开方法---因式分解法---公式法---配方法.
3.列方程解应用题：审：认真读题，找：找相等关系，设：设未知数为x（注意带单位），列：列出方程，解：解方程，验：检验根是否符合题意，答：作答要注意带单位.
四.分层过关：1.方程x2+x=0的根是（ D ）A．0 B．1 C．0，1 D．0，-1
2.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2-12x+20=0的一个实数根，则三角形的周长是（A ）A．24 B．24或16 C．16 D．22
3.关于x的一元二次方程x2-5x+P2-2P+5=0的一个根为1，则实数p的值为（ C ）
A．4 B．0或2 C．1 D．-1
4.下列方程中，有两个不等实数根的是（ D ）
A．x2=3x-8 B．x2+5x=-10 C．7x2-14x+7=0 D．x2-7x=-5x+3
5.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2018年投入3000万元，预计2020年投入5000万元，设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ C ）
A. B. C. D.
6.从正方形纸片上截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原正方形纸片的面积是（ C ）
A．68cm2 B．86cm2 C．64cm2 D．56cm2
7.某商品连续2次降价10%后的价格为a元，则该商品的原价为（ C ）
A． B．1.12 a元 C． D．0.81a元
8.用配方法解方程x2-4x+2=0，下列配方正确的是（ A ）
A．(x-2)2=2 B．(x+2)2=2 C．(x-2)2=-2 D．(x-2)2=6
9.若a☆b=a2-3a+b，x☆2=6，则x= 4或-1 ．
10.解下列方程：（1）x2-14x+13=0 （2）3x2+3x-4=0
解： （1）x1=1,x2=13 (2)
11.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已进入越来越多的普通家庭，成为居民消费新的增长点，据深圳市交通部门统计，2017年初全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2019年初，全市的汽车拥有量已达216万辆，求2017年初至2019年初深圳市汽车拥有量的年平均增长率为多少？
解：设2017年初至2019年初深圳市汽车拥有量的年平均增长率为x,可列方程：150（1+x)2=216
解得：x1=0.2,x2= （舍去）答：2017年初至2019年初深圳市汽车拥有量的年平均增长率为20%.
思考题：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，(1).若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？(2)若每件衬衫降价x元，商场每天盈利y元，写出y与x的函数关系式。
解：(1)每件衬衫降价x元,可列方程：（40-x)(20+2x)=1200,解得：x1=20,x2=10,为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，∴x=20,答：每件衬衫应降价20元
（2）y=(40-x）（20+2x)=-2x2+60x+800
一一元二次方程
一元二次方
程的定义
概念：①整式方程；②一元；③二次.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根的判别式及
根与系数的关系
根的判别式：Δ=b2-4ac
根与系数的关系
一元二次方程的应用
营销问题、平均变化率问题
几何问题、数字问题
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(总课时18)§2.7一元二次方程（复习课）
一.选择题：1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y=1 B．x2+5=0 C． D．
2．将方程x2+4x+3=0配方后，原方程变形为( )
A.(x+2)2=1 B.(x+4)2=1 C.(x+2)2=-3 D.(x+2)2=-1
3．关于x的方程有两不相等实数根，则的取值范围是（ ）
A.k>0 B.k≥0 C.k>1 D.k≥1
4．方程（x﹣3）2=（x﹣3）的根为（ ）A.3 B.4 C.4或3 D.﹣4或3
5．小球以5m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，4s后小球停下来．小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）？（ ）A.1.1 B.1.2 C.1.3 D.1.4
二.填空题：6．关于x的一元二次方程ax2+c=0(a>0,c<0)的解是________.
7．方程x2-4=0的解为__________．
8．关于x的一元二次方程2x -3x+m-1=0有两个实数根，则m的取值范围是______.
9．在实数范围内分解因式：5y2-36=______；x4-4=______.
10．某工厂生产一种产品，第一季度共生产了364个．其中1月份生产了100个，若2、3月份的平均月增长率为x，则可列方程为_________
三.解答题:11．用适当的方法解方程：（1） （2）
12．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变.（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；
（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
13.已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
14.（2019春 香坊区）某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个50元销售，一个月能售出500个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，这款玩具的进价为每个40元，请回答以下问题：
（1）若月销售利润定为8000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？
（2）由于资金问题，在月销售成本不超过10000元、且没有库存积压的情况下，问销售单价至少定为多少元？
四.提高题：15.某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6000件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润与国内销售量的关系如下表：
销售量（千件）
单件利润（元）
若在国外销售，平均每件产品的利润与国外的销售数量的关系如下表：
销售量（千件）
单件利润（元） 100
（1）用的代数式表示为：= ；
（2）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润为60万元？
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(总课时18)§2.7一元二次方程（复习课）
一.选择题：1．下列方程是一元二次方程的是（ B ）
A．x+2y=1 B．x2+5=0 C． D．
2．将方程x2+4x+3=0配方后，原方程变形为( A )
A.(x+2)2=1 B.(x+4)2=1 C.(x+2)2=-3 D.(x+2)2=-1
3．关于x的方程有两不相等实数根，则的取值范围是（ D ）
A.k>0 B.k≥0 C.k>1 D.k≥1
4．方程（x﹣3）2=（x﹣3）的根为（ C ）A.3 B.4 C.4或3 D.﹣4或3
5．小球以5m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，4s后小球停下来．小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）？（ B ）A.1.1 B.1.2 C.1.3 D.1.4
二.填空题：6．关于x的一元二次方程ax2+c=0(a>0,c<0)的解是_x=_.
7．方程x2-4=0的解为_x=士2_．
8．关于x的一元二次方程2x -3x+m-1=0有两个实数根，则m的取值范围是.
9．在实数范围内分解因式：5y2-36=( y+6)( y-6)；x4-4=(x2+2)(x+ )(x- ).
10．某工厂生产一种产品，第一季度共生产了364个．其中1月份生产了100个，若2、3月份的平均月增长率为x，则可列方程为100+100(1+x)+100(1+x)2=364
三、解答题:11．用适当的方法解方程：（1） （2）
解：(1) (2)x1=3,x2=1
12．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变.（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；
（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？
解：(1)设四、五月平均增长率为x,可列方程：128(1+x)2=200解得：x1=0.25,x2=-2.25（舍去）答：四、五月平均增长率25%（2）设商品降价m元，则（40﹣m﹣25）（200+5m）＝2250解得m1＝5，m2＝﹣30（舍去）所以商品降价5元时，商场获利2250元．
13.已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
解：设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣2，x 1＝a﹣2，
解得：x＝﹣3，a＝﹣1，即a＝﹣1，方程的另一个根为﹣3．
14.某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个50元销售，一个月能售出500个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，这款玩具的进价为每个40元，请回答以下问题：
（1）若月销售利润定为8000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？
（2）由于资金问题，在月销售成本不超过10000元、且没有库存积压的情况下，问销售单价至少定为多少元？解：（1）设销售单价应定为x元，由题意，得（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
解得x1＝60，x2＝80，∵尽可能让利消费者，∴x＝60．答：消费单价应定为60元．
（2）设销售单价定为a元，由题意，得40[500﹣10（a﹣50）]≤10000，解得a≥75
答：销售单价至少定为75元．
四.提高题：15.某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6000件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润与国内销售量x的关系如下表：
销售量x（千件） 0≤x≤3 3单件利润（元） 15x+90 -5x+130
若在国外销售，平均每件产品的利润与国外的销售数量t的关系如下表：
销售量（千件）
单件利润（元） 100
（1）用x的代数式表示t为：t=6-x ；
（2）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润为60万元？
解：（2）设国内平均每件产品的利润为y1，则有y1=
设平均每件产品的利润为y2则有y2＝且t=6-x，∴y2＝，
分两种情况：①当0≤x≤3时，（15x+90）x+（5x+80）（6-x）=600；解得，，（舍去）
∴t=6-x=4，∴公司每年国内销售量为2千件，国外的销售量为4千件时，可使公司每年的总利润为60万元.②当3＜x≤6时，（-5x+130）x+100（6-x）=600解得，，（舍去）
∴t=6-x=0，∴公司每年国内销售量为6千件，国外的销售量为0件时，可使公司每年的总利润为60万元.
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