青海省西宁市大通县2024届高三上学期开学摸底考试数学（理科）试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 青海省西宁市大通县2024届高三上学期开学摸底考试数学（理科）试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-30 23:31:22 | ||
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文档简介
大通县2024届高三上学期开学摸底考试
数学（理科）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．5
4．随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.22 B．0.24 C．0.28 D．0.36
5．已知为第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．北京地处中国北部、华北平原北部，东与天津毗连，其余方向均与河北相邻，是世界著名古都，也是国务院批复确定的中国政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心．为了感受这座古今中外闻名的城市，某学生决定在高考后游览北京，计划6天游览故宫、八达岭长城、颐和园、“水立方”、“鸟巢”、798艺术区、首都博物馆7个景点，如果每天至少游览一个景点，且“水立方”和“鸟巢”在同一天游览，故宫和八达岭长城不在相邻两天游览，那么不同的游览顺序共有（ ）
A．120种 B．240种 C．480种 D．960种
8．函数的图象有可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知是自然对数的底数，，则（ ）
A． B． C． D．
10．在中，内角的对边分别是的面积，且，则的外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线的焦点为为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（ ）
A． B． C．3 D．5
12．已知函数，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为__________．
14．在，点是边上的一点，，点满足，若，则__________．
15．已知球的表面积为，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为__________．
16．已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
如图是M市某爱国主义教育基地宣传栏中标题为“2015~2022年基地接待青少年人次”的统计图．根据该统计图提供的信息解决下列问题．
（1）求M市爱国主义教育基地所统计的8年中接待青少年人次的平均值和中位数；
（2）由统计图可看出，从2019年开始，M市爱国主义教育基地接待青少年的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2024年基地接待青少年的人次．
①参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：．
②参考数据：
0 1 2 3
90 330
18．（本小题满分12分）
在等比数列中，分别是下表第一，第二，第三列中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一行．
第一列 第二列 第三列
第一行 16
第二行 2
第三行 5 12 8
（1）写出，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，是棱上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点．
（1）求的方程；
（2）若，过的直线与交于两点，求证：．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）若有且仅有两个零点，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程分别为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线与轴交于点，曲线和曲线的交点为，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲已知函数．
（1）解不等式；
（2）若的最小值为，且，求的最小值．
大通县2024届高三上学期开学摸底考试
数学（理科）
参考答案、提示及评分细则
1．B 因为，所以，又，所以．故选B．
2．A 因为，所以，在复平面内复数对应的点为，位于第一象限．故选A．
3．C 画出满足约束条件的平面区域，如图所示，平移直线，当经过直线与的交点时，目标函数取得最大值，即．故选C．
4．A 因为随机变量服从正态分布，所以．故选A．
5．C 因为，所以，因为为第四象限角，所以，所以，所以．故选C．
6．B 若，则，或，故充分性不成立；因为是两个不重合的平面，直线，若，则存在直线，满足，因为，所以，所以，故必要性成立．所以“”是“”的必要不充分条件．故选B．
7．D 分2步进行分析：①将“水立方”和“鸟巢”看成一个整体，与 和园、798艺术区、首都博物馆全排列，有种情况，②排好后，有5个空位可用，在其中任选2个，安排故宫和八达岭长城，有种情况，则有种不同的游览顺序．故选D．
8．A 函数的定义域为，可得为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项B、D；的导数为，当时，单调递减；当时，单调递增，则在处取得极小值，可排除选项C．故选A．
9．B 因为，，，所以，所以．故选B．
10．D 因为，所以，所以，又，所以．设的外接圆的半径为，所以，解得．故选D．
11．B 由题意得，抛物线的准线为，因为为上一点，且，所以，解得，故抛物线，焦点为，所以的方程为，代入，得，整理得，解得或，因为为上一点，则，所以，所以，所以．故选B．
12．A 方程恰有三个不相等的实数根，等价于函数与的图象有且仅有三个交点．当时，．设直线与相切于点，则切线方程为．将代入可得，故直线与相切时．又当直线经过点时．结合图象知当时，函数与的图象有且仅有三个交点，当时，设点，过点与函数相切的直线方程是，将点代入上述切线方程得，此时切线的斜率，结合图象知当时，与有三个交点，即方程恰有三个不相等的实数根时实数的取值范围为，或．故选A．
13． ∵双曲线的渐近线方程为，即，，∴离心率．
14． 因为点是边上的一点，，所以，所以．又，所以，所以．
15．1 设球的半径为，所以，解得．设该四棱锥底面为四边形，四边形所在小圆半径为，设四边形对角线夹角为，则，当且仅当四边形为正方形时等号成立．即当四棱锥的顶点到底面所在小圆距离一定时，底面面积的最大值为．设四棱锥的高为，所以．则．令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以当该四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为1．
16． 由图可知．连接，则根据三角函数图象的对称性，知阴影部分的面积等于平行四边形的面积，易知，所以，所以．
因为函数的图象过点，且该点位于的递增区间，所以，即．因为，所以当时，，则，于是由，得函数的单调递增区间为，当时，函数的一个单调递增区间为，所以，由题意知，实数的取值范围是．
17．解：（1）平均数为：，
中位数为：．
（2），
则，
所以线性回归方程，
所以在2024年时，
所以，预测2024年基地接待青少年的人次为．
18．解：（1）根据等比数列的定义和表格中数据，
得到，
即数列是首项为2，公比为的等比数列，
故．
（2）因为，
所以
．
19．（1）证明：因为平面平面，所以．
设的中点为，连接，如图所示．
因为是的中点，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以．
在中，，所以．
在中，，所以．
在中，，所以，所以．
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：以为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以，
所以．
设平面的一个法向量，
所以令，解得，
所以平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
20．（1）解：设的方程为，过，
所以
解得，
所以的方程为．
（2）证明：当直线的斜率为0时，直线的方程为，所以或．
所以．
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
由得，所以，
，
所以，所以
，
所以平分，所以．
21．解：（1）若，所以，
令，则在上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．
又，所以的极小值为0，无极大值．
（2）若有且仅有两个零点，即在内有两个不等实根，
令，则，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，所以在上至多有1个零点，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
若，则，所以在上无零点，不符合题意；
若，则，所以在上有且仅有一个零点，不符合题意；
若，则，又，在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点；
令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，又在上单调递减，所以在上有且仅有一个零点．所以在上有且仅有两个零点．
综上，的取值范围是．
22．解：（1）因为曲线的极坐标方程为，
又，所以，
所以曲线的直角坐标方程为．
因为曲线的极坐标方程为，所以，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）由题意知，故直线的一个参数方程为（为参数）．
把的参数方程代入，得，
所以，设所对应的参数分别为，
则，所以同号，
所以．
23．解：（1）
不等式等价于或或
解得，
故不等式的解集为．
（2）因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
所以．
因为，当且仅当等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最小值为2．
数学（理科）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．5
4．随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.22 B．0.24 C．0.28 D．0.36
5．已知为第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．北京地处中国北部、华北平原北部，东与天津毗连，其余方向均与河北相邻，是世界著名古都，也是国务院批复确定的中国政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心．为了感受这座古今中外闻名的城市，某学生决定在高考后游览北京，计划6天游览故宫、八达岭长城、颐和园、“水立方”、“鸟巢”、798艺术区、首都博物馆7个景点，如果每天至少游览一个景点，且“水立方”和“鸟巢”在同一天游览，故宫和八达岭长城不在相邻两天游览，那么不同的游览顺序共有（ ）
A．120种 B．240种 C．480种 D．960种
8．函数的图象有可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知是自然对数的底数，，则（ ）
A． B． C． D．
10．在中，内角的对边分别是的面积，且，则的外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线的焦点为为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（ ）
A． B． C．3 D．5
12．已知函数，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为__________．
14．在，点是边上的一点，，点满足，若，则__________．
15．已知球的表面积为，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为__________．
16．已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
如图是M市某爱国主义教育基地宣传栏中标题为“2015~2022年基地接待青少年人次”的统计图．根据该统计图提供的信息解决下列问题．
（1）求M市爱国主义教育基地所统计的8年中接待青少年人次的平均值和中位数；
（2）由统计图可看出，从2019年开始，M市爱国主义教育基地接待青少年的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2024年基地接待青少年的人次．
①参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：．
②参考数据：
0 1 2 3
90 330
18．（本小题满分12分）
在等比数列中，分别是下表第一，第二，第三列中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一行．
第一列 第二列 第三列
第一行 16
第二行 2
第三行 5 12 8
（1）写出，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面，是棱上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点．
（1）求的方程；
（2）若，过的直线与交于两点，求证：．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）若有且仅有两个零点，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程分别为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线与轴交于点，曲线和曲线的交点为，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲已知函数．
（1）解不等式；
（2）若的最小值为，且，求的最小值．
大通县2024届高三上学期开学摸底考试
数学（理科）
参考答案、提示及评分细则
1．B 因为，所以，又，所以．故选B．
2．A 因为，所以，在复平面内复数对应的点为，位于第一象限．故选A．
3．C 画出满足约束条件的平面区域，如图所示，平移直线，当经过直线与的交点时，目标函数取得最大值，即．故选C．
4．A 因为随机变量服从正态分布，所以．故选A．
5．C 因为，所以，因为为第四象限角，所以，所以，所以．故选C．
6．B 若，则，或，故充分性不成立；因为是两个不重合的平面，直线，若，则存在直线，满足，因为，所以，所以，故必要性成立．所以“”是“”的必要不充分条件．故选B．
7．D 分2步进行分析：①将“水立方”和“鸟巢”看成一个整体，与 和园、798艺术区、首都博物馆全排列，有种情况，②排好后，有5个空位可用，在其中任选2个，安排故宫和八达岭长城，有种情况，则有种不同的游览顺序．故选D．
8．A 函数的定义域为，可得为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项B、D；的导数为，当时，单调递减；当时，单调递增，则在处取得极小值，可排除选项C．故选A．
9．B 因为，，，所以，所以．故选B．
10．D 因为，所以，所以，又，所以．设的外接圆的半径为，所以，解得．故选D．
11．B 由题意得，抛物线的准线为，因为为上一点，且，所以，解得，故抛物线，焦点为，所以的方程为，代入，得，整理得，解得或，因为为上一点，则，所以，所以，所以．故选B．
12．A 方程恰有三个不相等的实数根，等价于函数与的图象有且仅有三个交点．当时，．设直线与相切于点，则切线方程为．将代入可得，故直线与相切时．又当直线经过点时．结合图象知当时，函数与的图象有且仅有三个交点，当时，设点，过点与函数相切的直线方程是，将点代入上述切线方程得，此时切线的斜率，结合图象知当时，与有三个交点，即方程恰有三个不相等的实数根时实数的取值范围为，或．故选A．
13． ∵双曲线的渐近线方程为，即，，∴离心率．
14． 因为点是边上的一点，，所以，所以．又，所以，所以．
15．1 设球的半径为，所以，解得．设该四棱锥底面为四边形，四边形所在小圆半径为，设四边形对角线夹角为，则，当且仅当四边形为正方形时等号成立．即当四棱锥的顶点到底面所在小圆距离一定时，底面面积的最大值为．设四棱锥的高为，所以．则．令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以当该四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为1．
16． 由图可知．连接，则根据三角函数图象的对称性，知阴影部分的面积等于平行四边形的面积，易知，所以，所以．
因为函数的图象过点，且该点位于的递增区间，所以，即．因为，所以当时，，则，于是由，得函数的单调递增区间为，当时，函数的一个单调递增区间为，所以，由题意知，实数的取值范围是．
17．解：（1）平均数为：，
中位数为：．
（2），
则，
所以线性回归方程，
所以在2024年时，
所以，预测2024年基地接待青少年的人次为．
18．解：（1）根据等比数列的定义和表格中数据，
得到，
即数列是首项为2，公比为的等比数列，
故．
（2）因为，
所以
．
19．（1）证明：因为平面平面，所以．
设的中点为，连接，如图所示．
因为是的中点，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以．
在中，，所以．
在中，，所以．
在中，，所以，所以．
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：以为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以，
所以．
设平面的一个法向量，
所以令，解得，
所以平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
20．（1）解：设的方程为，过，
所以
解得，
所以的方程为．
（2）证明：当直线的斜率为0时，直线的方程为，所以或．
所以．
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
由得，所以，
，
所以，所以
，
所以平分，所以．
21．解：（1）若，所以，
令，则在上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．
又，所以的极小值为0，无极大值．
（2）若有且仅有两个零点，即在内有两个不等实根，
令，则，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，所以在上至多有1个零点，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．
若，则，所以在上无零点，不符合题意；
若，则，所以在上有且仅有一个零点，不符合题意；
若，则，又，在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点；
令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，又在上单调递减，所以在上有且仅有一个零点．所以在上有且仅有两个零点．
综上，的取值范围是．
22．解：（1）因为曲线的极坐标方程为，
又，所以，
所以曲线的直角坐标方程为．
因为曲线的极坐标方程为，所以，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）由题意知，故直线的一个参数方程为（为参数）．
把的参数方程代入，得，
所以，设所对应的参数分别为，
则，所以同号，
所以．
23．解：（1）
不等式等价于或或
解得，
故不等式的解集为．
（2）因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
所以．
因为，当且仅当等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最小值为2．
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