青海省西宁市大通县2024届高三上学期开学摸底考试数学（文科）试题（Word版含答案）

大通县2024届高三上学期开学摸底考试
数学（文科）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．5
4．乒乓球是中国的国球，拥有广泛的群众基础，老少皆宜，特别适合全民身体锻炼．某小学体育课上，老师让小李同学从7个乒乓球（其中3只黄色和4只白色）中随机选取2个，则他选取的乒乓球恰为1黄1白的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知为第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．在等差数列中，是方程的两个根，则的前23项的和为（ ）
A． B． C．92 D．184
7．已知是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．函数的图象有可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是等比数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线的焦点为为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（ ）
A． B． C．3 D．5
12．已知直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为_________．
14．在中，点是边上的一点，，点满足，若，则_________．
15．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为_________．
16．某几何体的直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为2，高为4．现要加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则圆柱的最大体积为_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）
如图是M市某爱国主义教育基地宣传栏中标题为“2015～2022年基地接待青少年人次”的统计图．根据该统计图提供的信息解决下列问题．
（1）求M市爱国主义教育基地所统计的8年中接待青少年人次的平均值和中位数；
（2）由统计图可看出，从2019年开始，M市爱国主义教育基地接待青少年的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2024年基地接待青少年的人次．
①参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：．
②参考数据：
0 1 2 3
90 330
18．（本小题满分12分）
记的内角的对边分别为．
（1）求的面积；
（2）若，求．
19．（本小题满分12分）
如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求多面体的体积．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点．
（1）求的方程；
（2）若，过的直线与交于两点，求证：．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，证明：．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程分别为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线与轴交于点，曲线和曲线的交点为，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲已知函数．
（1）解不等式；
（2）若的最小值为，且，求的最小值．
大通县2024届高三上学期开学摸底考试
数学（文科）
参考答案、提示及评分细则
1．B 因为，所以．故选B．
2．D 因为，所以，所以在复平面内所对应的点为，位于第四象限．故选D．
3．C 画出满足约束条件的平面区域，如图所示，平移直线，当经过直线与的交点时，目标函数取得最大值，即．故选C．
4．A 根据古典概型，从7个乒乓球中随机选取2个，基本事件总数有21个，其中恰为1黄1白的基本事件有12个，所以概率．故选A．
5．C 由题意可知，因为，所以，因为为第四象限角，所以，所以，所以．故选C．
6．C 是方程的两个根，所以，所以的前23项的和．故选C．
7．B 若，则，或，故充分性不成立；因为是两个不重合的平面，直线，若，则存在直线，满足，因为，所以，所以，故必要性成立．所以“”是“”的必要不充分条件．故选B．
8．A 函数的定义域为，可得为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项B、D；的导数为，当时，递减；当时，递增，则在处取得极小值，可排除选项C．故选A．
9．D 因为，所以．故选D．
10．A 因为，所以，又是等比数列，所以，即，解得，所以．当时，，又，所以，所以．故选A．
11．B 由题意得，抛物线的准线为，因为为上一点，且，所以，解得，故抛物线，焦点为，所以的方程为，代入，得，整理得，解得或，因为为上一点，则，所以，所以，所以．故选B．
12．A 设切点为，则解得所以．令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．故选A．
13． ∵双曲线的渐近线方程为，即，，∴离心率．
14． 因为点是边上的一点，，所以，所以．又，所以，所以．
15． 函数的图象向左平移个单位长度，可得，再向上平移4个单位长度，可得．
16． 设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则，∴圆柱的体积，可得当时，，当时，，则当时，取得最大值，这时．
17．解：（1）平均数为：，
中位数为：．
（2），
则，
所以线性回归方程，
所以在2024年时，
所以，预测2024年基地接待青少年的人次为．
18．解：（1）因为，所以，
所以，
所以，
由正弦定理得，所以，
所以．
又，所以，
，所以．
（2）由正弦定理得：，
所以，
所以，所以．
19．（1）证明：如图，取的中点，连接，
是的中点，．
又，
，
四边形是平行四边形，．
又平面平面．
平面．
（2）解：连接．
平面平面．
，且平面，
平面．
同理可得平面．
．
20．（1）解：设的方程为，过，
所以
解得，
所以的方程为．
（2）证明：当直线的斜率为0时，直线的方程为，所以或．
所以．
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
由得，所以，
，
所以，所以
，
所以平分，所以．
21．（1）解：，
当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：，因为有两个极值点，
所以方程有两个根，所以且
解得．
由题意得
．
令，所以，
所以在上单调递减，所以，
即．
22．解：（1）因为曲线的极坐标方程为，
又，所以，
所以曲线的直角坐标方程为．
因为曲线的极坐标方程为，所以，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）由题意知，故直线的一个参数方程为（为参数）．
把的参数方程代入，得，
所以，设所对应的参数分别为，
则，所以同号，
所以．
23．解：（1）
不等式等价于或或
解得，
故不等式的解集为．
（2）因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
所以．
因为，当且仅当等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最小值为2．