5.1.2垂线（1）
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(共24张PPT)
如右图，
（1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？
（2）∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？
问题1：如下图，当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？这种位置关系有几种？直线AB、CD的位置关系怎样？
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当α =90°时,a与b垂直.
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
当α ≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
我国跳水运动员－－－田亮
1995年世界杯双人、团体、混合团体冠军； 1998年第13届亚运会男子10米跳台冠军； 1999年世界杯10米跳台男子单人、双人冠军； 1999年跳水大奖赛总决赛男子10米跳台冠军； 2000年世界杯男子10米跳台单人、双人冠军； 2000年第27届奥运会男子10米跳台单人冠军。 2001年世锦赛男子10米跳台单人、双人冠军； 2001年九运会男子10米跳台冠军； 2002年全国跳水冠军赛男子10米跳台冠军； 2002年世界杯男子10米跳台单人、双人冠军； 2002年全国锦标赛男子10米跳台冠军。
跳水运动员的入水姿势
b b b
a a a
水平面
无水花 水花小 水花大
入水方向
问题2：什么样的两条直线互相垂直？
定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的。
十字路口的两条道路
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
垂直的记法、读法
直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或
“CD⊥AB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O，
记作“AB⊥CD，垂足为O”（如图）．
垂直的定义的应用格式
∵∠AOC=90°（已知），
∴AB⊥CD（垂直的定义）．
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°（或三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD.
这个推理过程可以写成：
∵AB⊥CD（已知），
∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成:
C
D
O
A
B
选择题：
1、 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判
定两条直线垂直的是
（A） 有两个角相等 （ B）有两对角相等
（C） 有三个角相等 （ D） 有四对邻补角
（C）
2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（ ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直
（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直
（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直
（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直
（ A） 4 （B） 3
（C） 2 （D） 1
A
解：
∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）
垂直
∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2
＝ 180°－35°－55°
＝90°
∴OE⊥AB (垂直的定义)
例1、如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，
若∠1＝35° ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是
。
C
D
A
B
O
E
1
2
例2：如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD
于O,∠AOC=36°，则∠BOE= 。
（A）36° (B) 64°
(C)144° (D) 54°
A
B
O
C
D
E
54°
想一想：
（1）直线a与直线b是互相垂直的两条直线，若直线a为已知直线，那么直线b的位置确定吗？ 如何才能确定直线b的位置？
（2）通过画图，你能试着总结出什么结论？
结论1： 过直线上的一点有且只有一条直线与已知直线互相垂直。
结论2： 过直线外一点有且只有一条直线与已知
直线垂直.
结论： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
C
B
A
过直线外一点画出已知直线的垂线
C
B
A
D
一贴
二靠
1.贴住 已知 直线
2. 靠住 已知点
画法：
3.画垂线 标垂足
三画
结论：则直线DA即为所求垂线。
练习:
在图中，过点A分别作BD和DE的垂线.
D
A
B
E
D
A
B
E
D
A
B
E
N
M
结论：直线AM,AN为所求垂线。
变式：过A点作线段AN⊥DB，垂足为N
练习：
按要求画图：
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
F
D
E
F
E
(1)过B点作AC的垂线； (2)过A点作BC的垂线; (3)过C点作AB的垂线。
F
结论：略。
课堂练习
1．选择题
过点 向线段 所在直线引垂线，正确的是（ ）.
A B C D
C
课堂练习：
2. 过点P作线段或射线所在直线的垂线
A
B
.
.
.P
(1)
.
O
.P
.A
(2)
3.过点P分别向角的两边作垂线
.P
.P
.P
.P
两条直线相交
一般情况
垂线
对顶角：相等
邻补角：互补
垂线的存在性和唯一性
特殊情况
相交成直角
作业：1、作业本（2）P1
如右图，
（1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？
（2）∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？
问题1：如下图，当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？这种位置关系有几种？直线AB、CD的位置关系怎样？
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当α =90°时,a与b垂直.
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
当α ≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
我国跳水运动员－－－田亮
1995年世界杯双人、团体、混合团体冠军； 1998年第13届亚运会男子10米跳台冠军； 1999年世界杯10米跳台男子单人、双人冠军； 1999年跳水大奖赛总决赛男子10米跳台冠军； 2000年世界杯男子10米跳台单人、双人冠军； 2000年第27届奥运会男子10米跳台单人冠军。 2001年世锦赛男子10米跳台单人、双人冠军； 2001年九运会男子10米跳台冠军； 2002年全国跳水冠军赛男子10米跳台冠军； 2002年世界杯男子10米跳台单人、双人冠军； 2002年全国锦标赛男子10米跳台冠军。
跳水运动员的入水姿势
b b b
a a a
水平面
无水花 水花小 水花大
入水方向
问题2：什么样的两条直线互相垂直？
定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的。
十字路口的两条道路
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
垂直的记法、读法
直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或
“CD⊥AB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O，
记作“AB⊥CD，垂足为O”（如图）．
垂直的定义的应用格式
∵∠AOC=90°（已知），
∴AB⊥CD（垂直的定义）．
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°（或三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD.
这个推理过程可以写成：
∵AB⊥CD（已知），
∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成:
C
D
O
A
B
选择题：
1、 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判
定两条直线垂直的是
（A） 有两个角相等 （ B）有两对角相等
（C） 有三个角相等 （ D） 有四对邻补角
（C）
2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（ ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直
（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直
（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直
（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直
（ A） 4 （B） 3
（C） 2 （D） 1
A
解：
∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）
垂直
∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2
＝ 180°－35°－55°
＝90°
∴OE⊥AB (垂直的定义)
例1、如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，
若∠1＝35° ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是
。
C
D
A
B
O
E
1
2
例2：如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD
于O,∠AOC=36°，则∠BOE= 。
（A）36° (B) 64°
(C)144° (D) 54°
A
B
O
C
D
E
54°
想一想：
（1）直线a与直线b是互相垂直的两条直线，若直线a为已知直线，那么直线b的位置确定吗？ 如何才能确定直线b的位置？
（2）通过画图，你能试着总结出什么结论？
结论1： 过直线上的一点有且只有一条直线与已知直线互相垂直。
结论2： 过直线外一点有且只有一条直线与已知
直线垂直.
结论： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
C
B
A
过直线外一点画出已知直线的垂线
C
B
A
D
一贴
二靠
1.贴住 已知 直线
2. 靠住 已知点
画法：
3.画垂线 标垂足
三画
结论：则直线DA即为所求垂线。
练习:
在图中，过点A分别作BD和DE的垂线.
D
A
B
E
D
A
B
E
D
A
B
E
N
M
结论：直线AM,AN为所求垂线。
变式：过A点作线段AN⊥DB，垂足为N
练习：
按要求画图：
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
F
D
E
F
E
(1)过B点作AC的垂线； (2)过A点作BC的垂线; (3)过C点作AB的垂线。
F
结论：略。
课堂练习
1．选择题
过点 向线段 所在直线引垂线，正确的是（ ）.
A B C D
C
课堂练习：
2. 过点P作线段或射线所在直线的垂线
A
B
.
.
.P
(1)
.
O
.P
.A
(2)
3.过点P分别向角的两边作垂线
.P
.P
.P
.P
两条直线相交
一般情况
垂线
对顶角：相等
邻补角：互补
垂线的存在性和唯一性
特殊情况
相交成直角
作业：1、作业本（2）P1