《推理与证明》全章教案(江苏省淮阴市)
文档属性
| 名称 | 《推理与证明》全章教案(江苏省淮阴市) |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 176.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2008-02-20 13:04:00 | ||
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文档简介
江苏省洪泽中学高二数学教案 上课时间
课题:合情推理
掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
●教学重点：归纳推理及方法的总结。
●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●课时安排：1课时
●教学过程：
一.问题情境
(1)原理初探
①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”
②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？
③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？
从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）
A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？
B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？
正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
④思考：整个过程对你有什么启发？
⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
(2)皇冠明珠
追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
链接:
思考：其他偶数是否也有类似的规律？
③讨论：组织学生进行交流、探讨。
④检验：2和4可以吗？为什么不行？
⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。
3.数学建构
●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
注:归纳推理的特点;
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤：
4.师生活动
例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.
结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……
结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×1800。
例3
探究：上述结论都成立吗？
强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！”
5.提高巩固
①探索：先让学生独立进行思考。
②活动：“千里走单骑” — 鼓励学生说出自己的解题思路。
③活动：“圆桌会议” — 鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？
【设计意图】：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
【一点心得】：在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心．
⑵能力培养（例2拓展）
①思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。
②归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧②和③。
技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.
技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.
6.课堂小结
(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）
证明
课题：类比推理
●教学目标：
通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问
题的发现中去。
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●课时安排：1课时
●教学过程：
一．问题情境
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
二．数学活动
我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc;
(3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质 球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
巩固提高
1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形 3个面两两垂直的四面体
∠C＝90°3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S
3．（2004，北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________
课堂小结
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
2． 类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
课 题：演绎推理
教学目标：1. 了解演绎推理 的含义。
2. 能正确地运用演绎推理 进行简单的推理。
3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：正确地运用演绎推理 进行简单的推理
教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学过程：
1． 复习:合情推理
归纳推理 从特殊到一般
类比推理 从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想
2． 问题情境。
观察与思考
1所有的金属都能导电
铜是金属,
所以，铜能够导电
2.一切奇数都不能被2整除,
(2100+1)是奇数，
所以， (2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
tan 是三角函数,
所以，tan 是 周期函数。
提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗？
二．学生活动 ：
1.所有的金属都能导电 ←————大前提
铜是金属, ←-----小前提
所以，铜能够导电 ←――结论
2.一切奇数都不能被2整除 ←————大前提
(2100+1)是奇数，←――小前提
所以， (2100+1)不能被2整除. ←―――结论
3.三角函数都是周期函数, ←——大前提
tan 是三角函数, ←――小前提
所以，tan 是 周期函数。←――结论
3， 建构数学
演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
１．演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括
⑴大前提---已知的一般原理；
⑵小前提---所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式
M—P（M是P） （大前提）
S—M（S是M） （小前提）
S—P（S是P） （结论）
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
四，数学运用
解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）
例2.已知lg2=m,计算lg0.8
解 （1） lgan=nlga(a>0)---------大前提
lg8=lg23————小前提
lg8=3lg2————结论
lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提
lg0.8=lg(8/10)——－小前提
lg0.8=lg(8/10)——结论
例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等
解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提
所以△ABD是直角三角形——结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提
因为 DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提
所以 DM= AB——结论
同理 EM= AB
所以 DM=EM.
练习：第35页 练习第 1，2，3，4，题
五 回顾小结：
演绎推理具有如下特点:课本第33页 。
演绎推理错误的主要原因是
1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。
作业：第35页 练习 第5题 。习题2。1 第4题。
课题：推理案例赏识
课型：新授课
教学目标：
1. 了解合情推理和演绎推理 的含义。
2. 能正确地运用合情推理和演绎推理 进行简单的推理。
3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别
教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。
教学过程：
2 复习 合情推理和演绎推理的过程
3 案例：
例一 正整数平方和公式的推导。
提出问题
我们知道，前n个正整数的和为
(n)=1+2+3+…….+n= n(n+i) ①
那么，前n 个正整数的平方和
（n）＝＝？ ②
三，数学活动
思路1 （归纳的方案） 参照课本 第36页 －37页 三表 猜想
（n）＝
思考 ：上面的数学活动是由哪些环节构成的？
在这个过程中提出了哪些猜想？
提出猜想时使用了哪些推理方法？
合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？
思路2 （演绎的方案）
尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。
2 把正整数的平方和表示出来，参照课本棣37页
左右两边分别相加，等号两边的（n）被消去了，所以无法从中求出 （n）的值，尝试失败了。
（2）从失败中吸取有用信息，进行新的尝试
（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式。左右两边相加，
终于导出了公式。
思考： 上面的数学活动是由哪些环节构成的？
在这个过程中提出了哪些猜想？
提出猜想时使用了哪些推理方法？
合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用。
四，数学理论：
上面的案例说明：
（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。
（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。
（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。
五，巩固练习：
阅读课本第39页
棱台体积公式的探求
通过阅读或查资料，寻找合情推理和演绎推理在数学推理在数学活动中的作用的案例，并回答问题：
1 。案例中的数学活动是由哪些环节构成的？
2 。在上这个过程中提出了哪些猜想？
3 ， 提出猜想时使用了哪些推理方法？
4， 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？
六，教学小结：
（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。
（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。
（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。
七，作业：
八，教后感：
课题：直接证明--综合法与分析法
1．教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点
3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点
4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
6．教学过程:
学生探究过程：证明的方法
（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
（2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
证明：(用分析法思路书写)
要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，
只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，
即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)
只需证a2-2ab+b2＞0成立，
即需证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
(以下用综合法思路书写)
∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0
亦即a2-ab+b2＞ab
由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab
即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证
例2、若实数，求证：
证明：采用差值比较法：
=
= =
=
∴ ∴
例3、已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？
巩固练习：第81页练习1 , 2 , 3 , 4
课后作业：第84页 1，2, 3
教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
课题：间接证明--反证法
1．教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点
3. 教学难点：反证法的思考过程、特点
4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
6．教学过程:
学生探究过程：综合法与分析法
(1)、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
(2)、例子
例1、求证：不是有理数
例2、已知，求证：（且）
例3、设，求证
证明：假设，则有，从而
因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不
等式成立。
例4、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.
证明：假设都小于，则
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
例5、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于
证：设(1 a)b >, (1 b)c >, (1 c)a >,
则三式相乘：ab < (1 a)b (1 b)c (1 c)a < ①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理：,
以上三式相乘： (1 a)a (1 b)b (1 c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
巩固练习：第83页练习3、4、5、6
课后作业：第84页 4、5、6
教学反思：
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
课题:数学归纳法
一、教学目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法。
3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。
难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
三、教学过程：
【创设情境】
1．华罗庚的“摸球实验”。
2．“多米诺骨牌实验”。
问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？
数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。
【探索研究】
1．数学归纳法的本质：
无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
2．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
【例题评析】
例1：以知数列{an}的公差为d，求证：
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系，是解题的关键。
②数学归纳法证明的基本形式；
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
EX: 1.判断下列推证是否正确。
P88 2,3
2. 用数学归纳法证明
例2：用数学归纳法证明(n∈N,n≥2)
说明：注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。
EX:1.用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；
(2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项；
(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；
(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同
变题: 用数学归纳法证明 (n∈N+)
例3：设f(n)=1+,求证n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2)
说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系。
【课堂小结】
1．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
2. 注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.
【反馈练习】
1．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
A ( http: / / www. / wxc / ) n=1 B ( http: / / www. / wxc / ) n=2 C ( http: / / www. / wxc / ) n=3 D ( http: / / www. / wxc / ) n=4
2．用数学归纳法证明第二步证明从“k到k+1”，左端增加的项数是( )
A. B C D
3．若n为大于1的自然数，求证 ( http: / / www. / wxc / ) ( http: / / www. / wxc / )
证明 ( http: / / www. / wxc / ) (1)当n=2时，
(2)假设当n=k时成立，即
4．用数学归纳法证明
【课外作业】
《课标检测》
课题:数学归纳法
一、教学目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：归纳→猜想→证明。
三、教学过程：
【创设情境】
问题1：数学归纳法的基本思想？
以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。（递推关系）
问题2：数学归纳法证明命题的步骤？
（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；
（2）递推归纳：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。
【探索研究】
问题：用数学归纳法证明：能被9整除。
法一：配凑递推假设：
法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。
②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。
【例题评析】
例1：求证: 能被整除（n∈N+）。
例2：数列{an}中，,a1=1且
（1）求的值；
（2）猜想{an}的通项公式，并证明你的猜想。
说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明
变题：（2002全国理科）设数列{an}满足，n∈N+,
(1)当a1=2时，求，并猜想{an}的一个通项公式；
（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1,有
①an≥n+2 ②
例3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少部分？
变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2+n+2个部分。
例4：设函数f(x)是满足不等式,(k∈N+)的自然数x的个数；
（１）求f(x)的解析式；
（２）记Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),求Sn的解析式；
（３）令Ｐn=n2+n-1 (n∈N+),试比较Ｓn与Ｐn的大小。
【课堂小结】
1.猜归法是发现与论证的完美结合
数学归纳法证明正整数问题的一般方法：
归纳→猜想→证明。
2.两个注意：
（1）是否用了归纳假设？
（2）从n=k到n=k+1时关注项的变化？
【反馈练习】
1 ( http: / / www. / wxc / ) 观察下列式子 ( http: / / www. / wxc / ) …则可归纳出____ ( http: / / www. / wxc / )
(n∈N*)
1．用数学归纳法证明
2．已知数列计算根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明。
3.是否存在常数a、b、c，使等式
对一切都成立？并证明你的结论.
【课外作业】
《课标检测》
课题:复习课
一、教学目标：
1．了解本章知识结构。
2．进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。课题:数学归纳法
3．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。
二、教学重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力
三、教学过程：
【创设情境】
一、知识结构：
【探索研究】
我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
【例题评析】
例1：如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n－2个图形中共有________个顶点。
变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中有白色地面砖 块。
例2：长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为，则
=1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为：_______________________;
变题1：已知，m是非零常数，x∈R,且有= ,问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，说明理由。
变题2：数列的前n项和记为Sn，已知证明：
（Ⅰ）数列是等比数列；
（Ⅱ）
例3：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y轴对称，求证：
为偶函数。
例4：设Sn=1+ (n>1,n∈N),求证： （）
评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。
变题：是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c) 对于一切正整数n都成立？证明你的结论。
解 ( http: / / www. / wxc / ) 假设存在a、b、c使题设的等式成立，
这时令n=1,2,3,有
于是，对n=1,2,3下面等式成立
1·22+2·32+…+n(n+1)2=
记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2
（1）n=1时，等式以证，成立。
（2）设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)
那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
= (3k2+5k+12k+24)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］
也就是说，等式对n=k+1也成立 ( http: / / www. / wxc / )
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立 ( http: / / www. / wxc / )
【课堂小结】
体会常用的思维模式和证明方法。
【反馈练习】
1．（2005辽宁）在R上定义运算若不等式对任意实数成立， 则
A． B． C． D．
2．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形
那么下列图形中
可以表示A*D，A*C的分别是 ( )
A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（2）、（4） D．（1）、（4）
3 ( http: / / www. / wxc / ) 已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A ( http: / / www. / wxc / ) 30 B ( http: / / www. / wxc / ) 26 C ( http: / / www. / wxc / ) 36 D ( http: / / www. / wxc / ) 6
解析 ( http: / / www. / wxc / ) ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 ( http: / / www. / wxc / )
证明 ( http: / / www. / wxc / ) n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1?－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2?(k≥2) f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36 ( http: / / www. / wxc / )
4 ( http: / / www. / wxc / ) 已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145 ( http: / / www. / wxc / )
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论 ( http: / / www. / wxc / )
解 ( http: / / www. / wxc / ) (1) 设数列{bn}的公差为d,
由题意得,∴bn=3n－2
(2)证明 ( http: / / www. / wxc / ) 由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)
=loga［(1+1)(1+)…(1+ )］
而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1?的大小
比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小 ( http: / / www. / wxc / )
取n=1，有(1+1)=
取n=2，有(1+1)(1+
推测 ( http: / / www. / wxc / ) (1+1)(1+)…(1+)＞ (*)
①当n=1时，已验证(*)式成立 ( http: / / www. / wxc / )
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞
则当n=k+1时，
,
即当n=k+1时，(*)式成立
由①②知，(*)式对任意正整数n都成立 ( http: / / www. / wxc / )
于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1?,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1?
【课外作业】
《课标检测》
观察
猜想
证明
归纳推理的发展过程
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 =
5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
直接证明
间接证明
类比推理
归纳推理
分析法
综合法
反证法
数学归纳法
第1个
第2个
第3个
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
PAGE
29
课题:合情推理
掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
●教学重点：归纳推理及方法的总结。
●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●课时安排：1课时
●教学过程：
一.问题情境
(1)原理初探
①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”
②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？
③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？
从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）
A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？
B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？
正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
④思考：整个过程对你有什么启发？
⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
(2)皇冠明珠
追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
链接:
思考：其他偶数是否也有类似的规律？
③讨论：组织学生进行交流、探讨。
④检验：2和4可以吗？为什么不行？
⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。
3.数学建构
●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
注:归纳推理的特点;
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤：
4.师生活动
例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.
结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……
结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×1800。
例3
探究：上述结论都成立吗？
强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！”
5.提高巩固
①探索：先让学生独立进行思考。
②活动：“千里走单骑” — 鼓励学生说出自己的解题思路。
③活动：“圆桌会议” — 鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？
【设计意图】：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
【一点心得】：在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心．
⑵能力培养（例2拓展）
①思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。
②归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧②和③。
技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.
技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.
6.课堂小结
(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）
证明
课题：类比推理
●教学目标：
通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问
题的发现中去。
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●课时安排：1课时
●教学过程：
一．问题情境
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
二．数学活动
我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc;
(3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质 球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
巩固提高
1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形 3个面两两垂直的四面体
∠C＝90°3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S
3．（2004，北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________
课堂小结
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
2． 类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
课 题：演绎推理
教学目标：1. 了解演绎推理 的含义。
2. 能正确地运用演绎推理 进行简单的推理。
3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：正确地运用演绎推理 进行简单的推理
教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学过程：
1． 复习:合情推理
归纳推理 从特殊到一般
类比推理 从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想
2． 问题情境。
观察与思考
1所有的金属都能导电
铜是金属,
所以，铜能够导电
2.一切奇数都不能被2整除,
(2100+1)是奇数，
所以， (2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
tan 是三角函数,
所以，tan 是 周期函数。
提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗？
二．学生活动 ：
1.所有的金属都能导电 ←————大前提
铜是金属, ←-----小前提
所以，铜能够导电 ←――结论
2.一切奇数都不能被2整除 ←————大前提
(2100+1)是奇数，←――小前提
所以， (2100+1)不能被2整除. ←―――结论
3.三角函数都是周期函数, ←——大前提
tan 是三角函数, ←――小前提
所以，tan 是 周期函数。←――结论
3， 建构数学
演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
１．演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括
⑴大前提---已知的一般原理；
⑵小前提---所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式
M—P（M是P） （大前提）
S—M（S是M） （小前提）
S—P（S是P） （结论）
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
四，数学运用
解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）
例2.已知lg2=m,计算lg0.8
解 （1） lgan=nlga(a>0)---------大前提
lg8=lg23————小前提
lg8=3lg2————结论
lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提
lg0.8=lg(8/10)——－小前提
lg0.8=lg(8/10)——结论
例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等
解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提
所以△ABD是直角三角形——结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提
因为 DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提
所以 DM= AB——结论
同理 EM= AB
所以 DM=EM.
练习：第35页 练习第 1，2，3，4，题
五 回顾小结：
演绎推理具有如下特点:课本第33页 。
演绎推理错误的主要原因是
1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。
作业：第35页 练习 第5题 。习题2。1 第4题。
课题：推理案例赏识
课型：新授课
教学目标：
1. 了解合情推理和演绎推理 的含义。
2. 能正确地运用合情推理和演绎推理 进行简单的推理。
3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别
教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。
教学过程：
2 复习 合情推理和演绎推理的过程
3 案例：
例一 正整数平方和公式的推导。
提出问题
我们知道，前n个正整数的和为
(n)=1+2+3+…….+n= n(n+i) ①
那么，前n 个正整数的平方和
（n）＝＝？ ②
三，数学活动
思路1 （归纳的方案） 参照课本 第36页 －37页 三表 猜想
（n）＝
思考 ：上面的数学活动是由哪些环节构成的？
在这个过程中提出了哪些猜想？
提出猜想时使用了哪些推理方法？
合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？
思路2 （演绎的方案）
尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。
2 把正整数的平方和表示出来，参照课本棣37页
左右两边分别相加，等号两边的（n）被消去了，所以无法从中求出 （n）的值，尝试失败了。
（2）从失败中吸取有用信息，进行新的尝试
（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式。左右两边相加，
终于导出了公式。
思考： 上面的数学活动是由哪些环节构成的？
在这个过程中提出了哪些猜想？
提出猜想时使用了哪些推理方法？
合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用。
四，数学理论：
上面的案例说明：
（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。
（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。
（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。
五，巩固练习：
阅读课本第39页
棱台体积公式的探求
通过阅读或查资料，寻找合情推理和演绎推理在数学推理在数学活动中的作用的案例，并回答问题：
1 。案例中的数学活动是由哪些环节构成的？
2 。在上这个过程中提出了哪些猜想？
3 ， 提出猜想时使用了哪些推理方法？
4， 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？
六，教学小结：
（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。
（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。
（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。
七，作业：
八，教后感：
课题：直接证明--综合法与分析法
1．教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点
3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点
4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
6．教学过程:
学生探究过程：证明的方法
（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
（2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
证明：(用分析法思路书写)
要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，
只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，
即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)
只需证a2-2ab+b2＞0成立，
即需证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
(以下用综合法思路书写)
∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0
亦即a2-ab+b2＞ab
由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab
即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证
例2、若实数，求证：
证明：采用差值比较法：
=
= =
=
∴ ∴
例3、已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？
巩固练习：第81页练习1 , 2 , 3 , 4
课后作业：第84页 1，2, 3
教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
课题：间接证明--反证法
1．教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点
3. 教学难点：反证法的思考过程、特点
4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
6．教学过程:
学生探究过程：综合法与分析法
(1)、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
(2)、例子
例1、求证：不是有理数
例2、已知，求证：（且）
例3、设，求证
证明：假设，则有，从而
因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不
等式成立。
例4、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.
证明：假设都小于，则
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
例5、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于
证：设(1 a)b >, (1 b)c >, (1 c)a >,
则三式相乘：ab < (1 a)b (1 b)c (1 c)a < ①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理：,
以上三式相乘： (1 a)a (1 b)b (1 c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
巩固练习：第83页练习3、4、5、6
课后作业：第84页 4、5、6
教学反思：
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
课题:数学归纳法
一、教学目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法。
3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。
难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
三、教学过程：
【创设情境】
1．华罗庚的“摸球实验”。
2．“多米诺骨牌实验”。
问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？
数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。
【探索研究】
1．数学归纳法的本质：
无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
2．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
【例题评析】
例1：以知数列{an}的公差为d，求证：
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系，是解题的关键。
②数学归纳法证明的基本形式；
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
EX: 1.判断下列推证是否正确。
P88 2,3
2. 用数学归纳法证明
例2：用数学归纳法证明(n∈N,n≥2)
说明：注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。
EX:1.用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；
(2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项；
(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；
(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同
变题: 用数学归纳法证明 (n∈N+)
例3：设f(n)=1+,求证n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2)
说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系。
【课堂小结】
1．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
2. 注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.
【反馈练习】
1．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )
A ( http: / / www. / wxc / ) n=1 B ( http: / / www. / wxc / ) n=2 C ( http: / / www. / wxc / ) n=3 D ( http: / / www. / wxc / ) n=4
2．用数学归纳法证明第二步证明从“k到k+1”，左端增加的项数是( )
A. B C D
3．若n为大于1的自然数，求证 ( http: / / www. / wxc / ) ( http: / / www. / wxc / )
证明 ( http: / / www. / wxc / ) (1)当n=2时，
(2)假设当n=k时成立，即
4．用数学归纳法证明
【课外作业】
《课标检测》
课题:数学归纳法
一、教学目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：归纳→猜想→证明。
三、教学过程：
【创设情境】
问题1：数学归纳法的基本思想？
以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。（递推关系）
问题2：数学归纳法证明命题的步骤？
（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；
（2）递推归纳：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。
【探索研究】
问题：用数学归纳法证明：能被9整除。
法一：配凑递推假设：
法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。
②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。
【例题评析】
例1：求证: 能被整除（n∈N+）。
例2：数列{an}中，,a1=1且
（1）求的值；
（2）猜想{an}的通项公式，并证明你的猜想。
说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明
变题：（2002全国理科）设数列{an}满足，n∈N+,
(1)当a1=2时，求，并猜想{an}的一个通项公式；
（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1,有
①an≥n+2 ②
例3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少部分？
变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2+n+2个部分。
例4：设函数f(x)是满足不等式,(k∈N+)的自然数x的个数；
（１）求f(x)的解析式；
（２）记Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),求Sn的解析式；
（３）令Ｐn=n2+n-1 (n∈N+),试比较Ｓn与Ｐn的大小。
【课堂小结】
1.猜归法是发现与论证的完美结合
数学归纳法证明正整数问题的一般方法：
归纳→猜想→证明。
2.两个注意：
（1）是否用了归纳假设？
（2）从n=k到n=k+1时关注项的变化？
【反馈练习】
1 ( http: / / www. / wxc / ) 观察下列式子 ( http: / / www. / wxc / ) …则可归纳出____ ( http: / / www. / wxc / )
(n∈N*)
1．用数学归纳法证明
2．已知数列计算根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明。
3.是否存在常数a、b、c，使等式
对一切都成立？并证明你的结论.
【课外作业】
《课标检测》
课题:复习课
一、教学目标：
1．了解本章知识结构。
2．进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。课题:数学归纳法
3．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。
二、教学重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力
三、教学过程：
【创设情境】
一、知识结构：
【探索研究】
我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
【例题评析】
例1：如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n－2个图形中共有________个顶点。
变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中有白色地面砖 块。
例2：长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为，则
=1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为：_______________________;
变题1：已知，m是非零常数，x∈R,且有= ,问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，说明理由。
变题2：数列的前n项和记为Sn，已知证明：
（Ⅰ）数列是等比数列；
（Ⅱ）
例3：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y轴对称，求证：
为偶函数。
例4：设Sn=1+ (n>1,n∈N),求证： （）
评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。
变题：是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c) 对于一切正整数n都成立？证明你的结论。
解 ( http: / / www. / wxc / ) 假设存在a、b、c使题设的等式成立，
这时令n=1,2,3,有
于是，对n=1,2,3下面等式成立
1·22+2·32+…+n(n+1)2=
记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2
（1）n=1时，等式以证，成立。
（2）设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)
那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
= (3k2+5k+12k+24)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］
也就是说，等式对n=k+1也成立 ( http: / / www. / wxc / )
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立 ( http: / / www. / wxc / )
【课堂小结】
体会常用的思维模式和证明方法。
【反馈练习】
1．（2005辽宁）在R上定义运算若不等式对任意实数成立， 则
A． B． C． D．
2．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形
那么下列图形中
可以表示A*D，A*C的分别是 ( )
A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（2）、（4） D．（1）、（4）
3 ( http: / / www. / wxc / ) 已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A ( http: / / www. / wxc / ) 30 B ( http: / / www. / wxc / ) 26 C ( http: / / www. / wxc / ) 36 D ( http: / / www. / wxc / ) 6
解析 ( http: / / www. / wxc / ) ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 ( http: / / www. / wxc / )
证明 ( http: / / www. / wxc / ) n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，
f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1?－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k
=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2?(k≥2) f(k+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36 ( http: / / www. / wxc / )
4 ( http: / / www. / wxc / ) 已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145 ( http: / / www. / wxc / )
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论 ( http: / / www. / wxc / )
解 ( http: / / www. / wxc / ) (1) 设数列{bn}的公差为d,
由题意得,∴bn=3n－2
(2)证明 ( http: / / www. / wxc / ) 由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)
=loga［(1+1)(1+)…(1+ )］
而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1?的大小
比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小 ( http: / / www. / wxc / )
取n=1，有(1+1)=
取n=2，有(1+1)(1+
推测 ( http: / / www. / wxc / ) (1+1)(1+)…(1+)＞ (*)
①当n=1时，已验证(*)式成立 ( http: / / www. / wxc / )
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞
则当n=k+1时，
,
即当n=k+1时，(*)式成立
由①②知，(*)式对任意正整数n都成立 ( http: / / www. / wxc / )
于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1?,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1?
【课外作业】
《课标检测》
观察
猜想
证明
归纳推理的发展过程
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 =
5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
直接证明
间接证明
类比推理
归纳推理
分析法
综合法
反证法
数学归纳法
第1个
第2个
第3个
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
（2）
（3）
（4）
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