2023-2024学年苏科版数学九年级上册2.2 圆的对称性 讲义 （无答案）

2.2 圆的对称性
教学目的 掌握圆的对称性； 掌握圆心角、弦、弧之间的关系 掌握垂径定理重点难点利用圆心角、弦、弧之间的关系解题； 利用垂径定理解题
知识梳理
【知识点一】圆的对称性 定义：圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 对称轴:经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 圆心角、弧、弦的关系: 1.圆心角定义：
　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.定理：
　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.推论：
　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
4.要点：
　　(1) 一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
　　(2) 注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 【知识点二】垂径定理 定义：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）： （1）过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度； （2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
　
典型例题讲解
【例1】下列说法正确的是（　　） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D．相等的弦所对的弧相等 【例2】如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD． 【例3】如图是一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面AB＝8cm，则水深CD是（　　） A．cm B．cm C．2cm D．3cm 【例4】如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米． （1）求主桥拱所在圆的半径； （2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．
举一反三
【考点一】圆心角的概念 【变式1】已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是________． 【变式2】下列说法正确的是（ ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等 【变式3】 下列命题中正确的是（ ） A．圆心角相等，所对的弦相等 B．长度相等的弧是等弧 C．弧是半圆 D．弦的垂直平分线必经过圆心 【考点二】圆心角与它所对的弧度 【变式1】如图，在中，，则度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（　　） A．120° B．75° C．60° D．30° 【变式3】 如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为____________． 【考点三】圆心角、弧、弦之间的关系 【变式1】如图，在⊙O中 ，∠AOB＝45°，则∠COD＝（　　） A．60° B．45° C．30° D．40° 【变式2】如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分． 已知，，求圆O的半径； 如果，求弦所对的圆心角的度数． 【变式3】 如图，在⊙O中，，弦AB与CD相交于点M． (1)求证：． (2)连接AC，AD，若AD是⊙O的直径．求证：． 【考点四】垂径定理的运用 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的垂线段OE长为3cm，则半径OA的长为 　 　cm． 【变式3】如图，⊙O的直径是4cm，C是弧AB的中点，弦AB、CD交于P，CD＝cm，求∠APC的度数．
小试牛刀
1．的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是（ ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 2．如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．平面内，若⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（ ） A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．以上都有可能 4．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. B． C． D． 5.如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点M是弦AB上的动点，则（　　） A．4≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．3＜OM≤5 D．3≤OM≤5 6.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝2，AE＝3，则△ACB的面积为（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 7．下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号． 8.如图，的直径，弦，垂足为，，则的长为______． 9.如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__． 10.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，则图中阴影部分的面积为 　 　． 11.如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE． （1）若AB＝6，求DE的长； （2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．