变化的快慢与变化率 同步练习
一,选择题:
1.设函数，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率（ ）
A．2.1 B．1.1 C．2 D．0
2、曲线在点（1，2）处的瞬时变化率为（ ）
A 2 B 4 C 5 D 6
3、已知曲线在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标是（ ）
A （1，3） B （-4，33） C （-1，3） D 不确定
4、物体运动曲线，则在同t=3秒时的瞬时速度是（ ）
A 6 B 18 C 54 D 81
5、已知成本y与产量x的函数关系式为，则当产量x=2时的边际成本是（ ）
A 1 B C D
6、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量满足（ ）
A >0 B <0 C D =0
7、设函数，当自变量由改变到时，函数值的改变量是（ ）
A B C D
8、已知函数的图像上一点（1，2）及邻近一点，则等于（ ）
A 2 B 2 C D 2+
9、质点运动规律，则在时间中，相应的平均速度是（ ）
A B C D
二,填空题:
10、物体运动曲线，则物体的初速度是__________________.
11、一物体的运动方程是，则当t=____________时瞬时速度为。
12、已知函数的图像上一点（1，-2）及邻近一点，则=____________.
13、已知，从3秒到3.1秒的平均速度是__________________.
三,解答题:
14、枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是，枪弹从枪口中射出时所用的时间为，求枪弹射出枪口时的瞬时速度。
15、质点M按规律运动，若质点M在t=2时的瞬时速度为8，求常数的值。
16、如果一个质点在时间的位移函数是，当时，
（1）求；（2）求。
17、一运动物体的位移与时间的关系是。
（1）求此物体的初速度； （2）求到的平均速度。
答案:
1.A 2.B 3.C 4.B 5.A 6.C 7.D 8.C 9.A
10. 3 11. 3 12. 13. 29.89
14. 800 15. 2 16. （1）0.481201（2）48.1201； 17、（1）3（2）1
导数的乘法与除法法则 同步练习
一,选择题:
1. f(x)=x3, =6，则x0= ( )
(A) (B) － (C) (D) ±1
2．若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则=（ ）
A 4 B 4Δx C 4+2Δx D 2Δx
3、曲线y=x3+x-2?在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是（ ）
A．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4)
4. 抛物线y=(1-2x)2在点x=处的切线方程为（ ）
A. y=0 B .8x－y－8=0
C．x =1 D . y=0或者8x－y－8=0
5.在处的导数为（ ）
A. B.2 C.2 D.1
6.与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则与满足（ ）
A. = B. －为常数函数
C. ==0 D. +为常数函数
7.函数，若=4，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
二,填空题:
8.函数y=(1－sinx)2的导数是
9.物体运动方程为，则时的瞬时速率为
10.曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为
三,解答题:
11.设函数，其中.①若在处取得极值，求常数a的值；②若在上为增函数，求a的取值范围.
12.已知函数的图像过点P（0，2），且在点M（-1，）处的切线方程为.①求函数的解析式；②求函数的单调区间.
答案:
1.C 2.C 3.C 4.B 5.C 6.B 7.D
8.y=sin2x-2cosx 9.125 10.
11. 解：（Ⅰ）
因取得极值， 所以 解得
经检验知当为极值点.
（Ⅱ）令
当和上为增
函数，故当上为增函数.
当上为增函
数，从而上也为增函数.
综上所述，当上为增函数.
12. 解：(Ⅰ)由的图象过点P（0，2）,d=2知,所以
,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知
-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,∴即解得b=c=-3.
故所求的解析式为f(x)=x3-3x-3+2,
(Ⅱ) (x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,
当x<1-或x>1+时, (x)>0;当1-
∴f(x)=x3-3x2-3x+2在(1+,+∞)内是增函数,在(-∞, 1-)内是增函数,在(1-,1+)内是减函数.
导数的加法与减法法则 同步练习
一,选择题:
1.设函数f(x)在x=x0处可导,则( )
A.与x0、h都有关 B.仅与x0有关，而与h无关
C.仅与h有关,而与x0无关 D.与x0、h均无关
2.曲线y=f(x)在点(0,0)处的导数的值是－1,则过该点的切线一定( )
A.平行于Ox轴 B.平行于Oy轴
C.平分第一、三象限 D.平分第二、四象限
3.物体自由落体运动方程为s=s(t)=gt2,g=9.8 m/s2,若v==g(m/s),那么说法正确的是( )
A.9.8 m/s是在0~1 s这段时间内的速率
B.9.8 m/s是从1 s到(1+Δt) s这段时间内的速率
C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的速率
D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt) s这段时间内的平均速率
4.已知曲线y1=x2, y2=x3, y3=2sinx,这三条曲线与x=1的交点分别为A、B、C,又设k1、k2、k3分别为经过A、B、C且分别与这三条曲线相切的直线的斜率,则( )
A.k15.一点沿直线运动,若由始点起经过t (s)后的路程是s=t2+,则速度为0的时刻为( )S/米.
A.0 B.2 C.3 D.1
6.已知f(x)=x3的切线的斜率等于1,则这样的切线有( )
A.1条 B.2条 C.多于2条 D.不能确定
7.若函数f(x)的导数为f′(x)=－sinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( )
A. B.0 C.锐角 D.钝角
8.曲线y=x3－3x上切线平行于x轴的点为( )
A.(0,0),(1,3) B.(－1,2),(1,－2)
C.(－1,－2),(1,2) D.(－1,3),(1,3)
9.抛物线y=x2上点A处的切线与直线3x－y+1=0的夹角为45°,则点A的坐标是( )
A.(－1,1) B.() C.(1,1) D.(－1,1)或()
二,填空题:
10.点P在曲线y=x3－x+上移动,设过点P的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是__________.
11. 曲线y?x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形的面积为__________．
12. 过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为___ ，切线的斜率为 ___．
三,解答题:
13.过曲线y=x－ex上某点的切线平行于x轴,求这点的坐标及切线方程.
14.在曲线y=x3－x上有两个点O(0,0)、A(2,6),求弧OA上使△AOP的面积最大的点P的坐标.
答案:
1.B 2.D 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.B 9.D
10. α∈［0,)∪［,π) 11. 12. (1, e)， e
13分析:利用导数的几何意义,先求切点,再求切线的方程.
解:∵y′=1－ex,
又切线与x轴平行,∴切线的斜率k=0.
∴令y′=1－ex=0,得x=0.
∴切点坐标为(0,－1).
∴切线方程为y=－1.
14. 分析:本题主要考查数形结合的数学思想及导数的几何意义.将点P的位置转化到与曲线y=x3－x相切且与OA平行的位置,此时点P到|OA|的距离最大.也可设点,构造目标函数求最值.
解法一:∵kOA=3,∴过弧OA上点P的直线的斜率k′=kOA=3.
∴k′=y′=3x2－1=3.∴3x2=4.
∴x=或x=－(舍去).
∴x=, y=, 即P(,).
解法二:设P(a,a3－a), ∵O(0,0),A(2,6), ∴直线OA的方程为3x－y=0.
点P到它的距离d=
∵0a3. ∴d2=(4a－a3).
把d2视作一个整体, ∵(d2)′=(4－3a2),
令4－3a2=0,得a=或a=－.
又∵0此时y=()3－=. ∴P(,).
导数的概念及其几何意义 导数的几何意义 同步练习
一,选择题:
1、在曲线上切线倾斜角为的点是（ ）
A (0,0) B (2,4) C D
2、曲线在点P（-1，3）处的切线方程是（ ）
A B C D
3、曲线在P点处的切线平行于直线，则此切线方程是（ ）
A B C D
4、过曲线上一点P的切线斜率为（ ）
A B 1 C D
5、曲线在处的切线倾斜角是（ ）
A B C D
6、与直线平行的曲线的切线方程为（ ）
A B C D
二、填空题
7、函数在处的切线斜率是_________________.
8、曲线在点（3，4）处的切线方程是_________________________________.
9、若曲线与直线相切，则=____________________.
10、 函数中，导数的几何意义是 。
三、解答题
11、求曲线在点处的切线方程。
12.已知抛物线 与直线y = x + 2.
求：（1）两曲线的交点； （2）抛物线在交点处的切线方程。
13.在抛物线上，哪一点的切线处于下述位置？
（1）与x轴平行
（2）平行于第一象限角的平分线.
（3）与x轴相交成45°角
参考答案
1. D 2.A 3.D 4.B 5.D 6.B
7、10； 8、 ； 9、 3；
10. 函数 在 处的切线的斜率为0
11、解：根据导数的几何意义知，要求曲线的切线方程，需先求函数在切点的导数（切线斜率）由，得，所以
故切线方程为，即
12.解：（1）
（2）
当交点为（3，5）时，=6，故切线方程为：
当交点为（-2，0）时，=-4，故切线方程为：
13.解：
当切线与x轴平行时，导数，即，所以在点（0，2）的切线与x轴平行时.
当切线平行于第一象限角的平分线，导数，即，所以在点（，）的切线平行于第一象限角的平分线.
与x轴相交成45°角，导数为1或-1，
若导数，即，求得点为（，）.
若导数，即，求得点为（，）
所以在点（，）、（，）与x轴相交成45°角.
导数的概念及其几何意义 导数的概念 同步练习
一,选择题:
1．已知函数f(x)=2x+5，当x从2变化到4时，函数的平均变化率是( )
A、 2 B、 4 C、 2 D 、 -2
2．一个物体的运动方程为 其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )
A、 7米/秒 B、6米/秒 C、 5米/秒 D、 8米/秒
4．,若,则的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．如果为偶函数，且导数存在，则的值为 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
6、根据导数的定义，等于（ ）
A. B.
C. D.
7、 物体作直线运动的方程为，则表示的意义是（ ）
（A）经过4s后物体向前走了10m （B）物体在前4s内的平均速度为10m/s
（C）物体在第4s内向前走了10m （D）物体在第4s时的瞬时速度为10m/s
8、某人拉动一个物体前进，他所做的功W（J）是时间t（s）的函数，则他在时刻时的功率为（ ）
（A）4 （B）16 （C）5 （D）8
9、一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5秒内速度与时间t（）的关系近似表示为，则汽车在时刻秒时的加速度为（ ）
（A）9 （B）9 （C）8 （D）7
10、 若函数的图像上一点及邻近一点，则（ ）
（A）3 （B） （C） （D）
11、若函数对于任意，有，，则此函数为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
12、已知函数，若，则实数a的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
二,填空题:
13、一质点运动方程为，则质点在时的瞬时速度为 。
14、函数，则= 。
15、若函数，则＝.
16、,
三,解答题:
17..求下列函数的导数
（1） （2）；
18.某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s）求它在t＝2s时的瞬时速度.
答案:
1.C 2.C 3. D 4. C 5.C 6.D 7.A 8.C 9.D 10.B 11.D
12. 8 m/s 13. 14. 0 15.-2
16. 分析：按照函数求导的三个步骤
解：（1）
所以.
（2）
所以
17. 分析：求物体的瞬时实质就是求对应函数在该时刻的导数.
解：由导数的定义，在t=20的瞬时速度为
=
因为t=2，所以v=20(m/s)
答：物体在t＝2s时的瞬时速度为20m/s.
第三章 变化率与导数 同步练习
选择题(每小题5分,共40分)
1．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则为( )
A．Δx＋＋2 B．Δx－－2 C．Δx＋2 D．2＋Δx－
2．物体自由落体运动方程为s(t)＝gt2，g＝9．8m/s2，
若＝g＝9．8 m/s，那么下面说法正确的是( )
A．9．8 m/s是0～1 s这段时间内的平均速度
B．9．8 m/s是从1 s到1＋Δs这段时间内的速度
C．9．8 m/s是物体在t＝1这一时刻的速度
D．9．8 m/s是物体从1 s到1＋Δs这段时间内的平均速度
3．一直线运动的物体，从时间t到t+△t时，物体的位移为△s，那么为( )
A．从时间t到t+△t时，物体的平均速度 B．时间t时该物体的瞬时速度
C．当时间为△t 时该物体的速度 D．从时间t到t+△t时位移的平均变化率
4．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则P点的坐标为( )
A．(－2，－8)
B．(－1，－1)
C．(－2，－8)或(2，8)
D．(－1，－1)或(1，1)
5．设函数f(x)在处可导，则等于( )
A． B． C． D．
6．若，则等于( )
A． B． C．3 D．2
7．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角
为( )
A．90° B．0° C．锐角 D．钝角
8．对任意x，有，f(1)=-1，则此函数为( )
A． B． C． D．
二,填空题:(每小题5分,共20分)
9．y＝x2－2在点(1，－)处的切线方程为________．
10．已知曲线y＝x＋，则y′|x＝1＝________．
11．曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线为2x＋y＋1＝0，则y′|x＝a的符号为________．
12．物体运动方程为s＝4t－0．3t2，则t＝2时的速度为________．
三,解答题:
13．(本题10分)动点沿x轴运动，运动规律由x＝10t＋5t2给出，式中t表示时间(单位s)，x表示距离(单位m)，
(1)当Δt＝1，Δt＝0．1，Δt＝0．01时，分别求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度．
(2)当t＝20时，运动的瞬时速度等于多少？
14．(本题10分)已知函数f(x)在x＝a处可导，且f′(a)＝A，
求．
15．(本题10分)在抛物线上求一点P，使过点P的切线和直线3x-y+1=0的夹角
为.
16．(本题10分)求经过点（2，0）且与曲线相切的直线方程.
参考答案:
一,选择题: 1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.B
二,填空题: 9．2x－2y－5＝0 10． 11．小于0 12．2．8
13．解：(1)＝210＋5Δt
Δt＝1时，＝215(m/s)
Δt＝0．1时，＝210．5(m/s)
Δt＝0．01时，＝210．05( m/s)
(2)＝ (210＋5Δt)＝210(m/s)
14．解：令x－a＝Δx则f′(a)＝＝A
＝
＝
＝2＋＝2A＋A＝3A
15、由导数定义得f′(x)=2x，设曲线上P点的坐标为，则该点处切线的斜率为，根据夹角公式有
解得或，
由，得；
由，得；
则P（-1，1）或。
16、可以验证点（2，0）不在曲线上，故设切点为。
由
，
得所求直线方程为
。
由点（2，0）在直线上，得，
再由在曲线上，得，
联立可解得，。所求直线方程为x+y-2=0。
计算导数 同步练习
一,选择题:
1．曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是( )
A、 B、 2 C、3 D、0
2、设P点是曲线上的任意一点，P点处切线倾斜角为，则角的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
3、已知函数，若，则实数a的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4.已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则 = ( )
A．2 B．1 C． D．
5．若曲线y=f (x)在点(x0, f(x0))处的切线方程为2x－y+1=0，则（ ）
（A）f ’(x0)>0 （B）f ’(x0)<0 （C）f ’(x0)=0 （D）f ’(x0)不存在
6．设曲线在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为 （ ）
A．（3，9） B．（－3，9） C．（） D．（）
7．函数
A．4x+3 B．4x-1 C．4x-5 D．4x-3
8、f/（x）是f（x）的导函数，f/（x）的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）
A B C D
9、设是可导函数，且 （ ）
A． B．－1 C．0 D．－2
10、已知曲线在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标是（ ）
A （1，3） B （-4，33） C （-1，3） D 不确定
11、设函数，当自变量由改变到时，函数值的改变量是（ ）
A B C D
12、已知函数的图像上一点（1，2）及邻近一点，则等于（ ）
A 2 B 2 C D 2+
二,解答题:
13. 已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积..
14.已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=－x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.
（Ⅰ）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
答案:
1.A 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C 7.D 8.D 9.B 10.C 11.D 12.C
13. 解：y′=2x+1.
直线l1的方程为y=3x－3.
设直线l2过曲线y=x2+x－2上 的点B（b, b2+b－2）,则l2的方程为y=(2b+1)x－b2－2
因为l1⊥l2，则有2b+1=
所以直线l2的方程为
（II）解方程组 得
所以直线l1和l2的交点的坐标为
l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、.
所以所求三角形的面积
14.分析：根据导数可以求得两切线的方程，有且仅有一条公切线即两方程为同一个方程，可以求a的值；若证明两公切线平分，即证明中点相同即可.
（Ⅰ）解：函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P（x1,x+2x1）的切线方程是：
y－(x+2x1)=(2x1+2)(x－x1),即 y=(2x1+2)x－x ①
函数y=－x2+a的导数y′=－2x, 曲线C2 在点Q（x2,－x+a）的切线方程是
即y－(－x+a)=－2x2(x－x2). y=－2x2x+x+a . ②
如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，
x1+1=－x2
所以
－ x=x+a.
消去x2得方程 2x+2x2+1+a=0.
若判别式△=4－4×2（1+a）=0时，即a=－时解得x1=－，此时点P与Q重合.
即当a=－时C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x－ .
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－时C1和C2有两条公切线
设一条公切线上切点为：P（x1,y1）, Q（x2 , y2 ）.
其中P在C1上，Q在C2上，则有
x1+x2=－1,
y1+y2=x+2x1+(－x+a)= x+2x1－(x1+1)2+a=－1+a .
线段PQ的中点为
同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.
