2023-2024学年黑龙江省大庆市萨尔图区东风中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省大庆市萨尔图区东风中学高二（上）开学
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.( )
A. B. C. D.
2.如果，是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. 棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D. 如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
5.如图，在中，为线段上的一点，，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的侧面展开图为一个面积为的半圆，则该圆锥的高为( )
A. B. C. D.
7.若，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列为真命题的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
8.已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，则的值可能为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.非零复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10.已知平面，，两两垂直，直线，，满足，，，则直线，，可能满足
( )
A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面
11.已知向量，，若点，，能构成三角形，则实数可以是( )
A. B. C. D.
12.在棱长为的正方体中，与交于点，则( )
A. 若，分别是，的中点，平面与平面的交线为，则
B. 平面
C. 与平面所成的角为
D. 三棱锥的体积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数，先将其图像上的所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再将所得图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 ______ ．
14.如图所示的是的直观图，其中，则的周长为______ ．
15.已知向量，，若，则 ______ ．
16.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角的余弦值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知复数，
求；
若，求实数，的值．
18.本小题分
已知，，求；
已知，，求，．
19.本小题分
如图所示多面体中，底面是边长为的正方形，平面，，是上一点，．
求证：平面；
求此多面体的体积．
20.本小题分
已知函数
求函数的最小正周期和单调递增区间；
求函数在区间在区间上的最大值和最小值．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，、分别为、的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求与平面所成的角．
22.本小题分
年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为，两部分，小明同学在点测得雪道的坡度：，在点测得点的俯角若雪道长为，雪道长为．
求该滑雪场的高度；
据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少，且甲设备造雪所用的时间与乙设备造雪所用的时间相等求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
本题考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，是平面内一组不共线的向量，
作为基底的向量，前提为不共线向量，
所以对于选项ABC都为不共线向量，选项D：和为共线向量．
故选：．
首先了解作为基底的向量的前提为不共线向量，进一步直接利用共线向量的应用判断出结果．
本题考查的知识要点：共线向量的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
3.【答案】
【解析】解：，
，，
由同角三角函数的关系，得．
因此，．
故选：．
根据诱导公式与同角三角函数的关系，算出、的值，从而得到再用二倍的正切公式加以计算，即可得出的值．
本题给出的范围与的大小，求的值．着重考查了同角三角函数的关系与诱导公式、二倍角的正切公式等知识，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：选项A，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A错误；
选项B，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B错误；
选项C，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是时，
各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；
选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，
又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．
故选：．
由棱柱、棱锥、棱台的结构特征，判断各选项是否正确．
本题考查了棱柱的结构特征，属基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．
根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，利用平面向量基本定理求出，的值
【解答】
解：由题意，，
，
即，
，
即
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的侧面展开图，属于基础题．
根据圆锥侧面展开图与圆锥的关系进行求解即可．
【解答】
解：设圆锥的母线长为，圆锥的底面半径为，圆锥的高为，
由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则，解得，，
则圆锥的高，
故本题选D．
7.【答案】
【解析】解：由，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，知：
在中，若，，则与相交、平行或，故A错误；
在中，若，，则与相交、平行或异面，故B错误；
在中，若，，则由面面垂直的判定定理得，故C正确；
在中，若，，则与相交或平行，故D错误．
故选：．
在中，与相交、平行或；在中，与相交、平行或异面；在中，由面面垂直的判定定理得；在中，与相交或平行．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
若将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得的图象，
然后再向左平移个单位长度，可得的图象，
再根据所得函数的图象关于轴对称，可得，，
可得，，
令，可得的值为．
故选：．
由题意利用查三角恒等变换求得的解析式，由函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，即可求出的值．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意，设，，故，
故，，即复数，，在复平面内对应的点位于第一或第三象限的角平分线上．
故选：．
设，再根据题意可得，进而根据复数的几何意义判断．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间直线与直线的位置关系的判断，属于中档题．
结合已知条件，画出图形判断选项的正误即可．
【解答】
解：如图，，，可能两两垂直．
如图，，，可能两两相交；
如图，，，可能两两异面．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：若点、、不能构成三角形，则只能共线．
，
．
假设、、三点共线，
则，即．
若、、三点能构成三角形，则．
故A，，均正确，C错误．
故选：．
若点、、能构成三角形，则，，三点不共线，我们求出，，三点共线时的取值范围，其补集即为、、能构成三角形时，实数应满足的条件．
本题考查的知识点是平面向量共线平行的坐标表示，平行向量与共线向量，如果从正面进行解答，需要复杂的分类讨论，故根据正难则反的原则，先确定，，三点共线时的取值范围，进而得到答案是解答本题的关键，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：，分别是，的中点，
，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
，，故A正确；

因为，又平面，平面，
所以，，，平面，
平面，故B正确；
因为平面，与平面所成角为，
因为，，故C错误；
因为，故D正确．
故选：．
根据线面平行判定定理与性质定理可判断，利用线面垂直判定定理判断，利用线面夹角的定义判断，根据等体积法判断．
本题考查线面平行的性质定理与判定定理，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：函数图像上的所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变得的图像，
再将所得图像向右平移个单位长度得的图像，
所以．
故答案为：．
根据函数图像的伸缩变换和平移变换求函数解析式．
本题考查了函数的图象变换的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，，则，
故原图形中，，，
所以的周长为．
故答案为：．
根据平面图形的直观图的画法规则求解．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，即，
所以，
则，
所以，
则．
故答案为：．
根据平面向量的数量积坐标公式求出的值，再由模长坐标公式求解即可．
本题考查平面向量垂直的坐标表示和平面向量的模，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接，
因为是正方体，平面，平面，则，
正方形中，为的中点，所以，
，平面，，所以平面，
又平面，所以，
连接，由且，四边形则为平行四边形，
则有，所以为直线与所成的角，
设正方体的棱长为，
则在中，，，
，所以．
故答案为：．
正方体中有，所以为直线与所成的角，证明平面，则在中，，可求．
本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：；
，
可得．
【解析】化简复数为的形式，然后求解复数的模．
利用复数的代数形式的混合运算，结合复数相等，列出方程求解，即可．
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数相等条件的应用，考查计算能力．
18.【答案】解：因为，，
所以．
由，得，，
，
．
【解析】由，利用两角和的正切公式求值；
利用同角三角函数的关系由求出，再利用倍角公式求，．
本题考查了两角差的正切公式，二倍角的正余弦公式，考查了计算能力，是基础题．
19.【答案】证明：过点 作，交 于点，则 ，
因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．
又 平面 ，平面，
所以 平面．
解：因为 平面 ，平面，所以，
因为，，，平面，所以平面．
所以，
即 ，
即此多面体的体积为．
【解析】根据线面平行的判定定理即可求证；
先将多面体分割成两个棱锥，再根据棱锥的体积公式即可求解．
本题主要考查线面平行的证明，几何体体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：
，
函数的最小正周期为，
令，，
则，，
函数的单调递增区间为，．
，，
则，，
函数的最大值为，最小值为．
【解析】利用二倍角公式及辅助角公式化简得，可求得函数的最小正周期和递增区间．
由，得，从而，于是可求得函数的最值．
本题考查三角函数中的恒等变换，考查正弦函数的周期性及单调性与值域的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：方法一：
Ⅰ因为是的中点，，
所以．
因为面，
所以．
从而平面因为平面
所以．
Ⅱ连接，
因为平面，
所以是与平面所成的角．
在中，，
故BD与平面所成的角是．
方法二：
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，
则，，，
Ⅰ因为
所以．
Ⅱ因为
所以．
又．
因此的余角即是与平面．
所成的角．
因为
所以
因此与平面所成的角为．
【解析】法一：Ⅰ因为是的中点，，要证，只需证明垂直所在平面即可．
Ⅱ连接，说明是与平面所成的角，在中，解与平面所成的角．
法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，Ⅰ求出，就证明．
Ⅱ说明的余角即是与平面所成的角，求出，即可得到与平面所成的角．
本题考查直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，考查逻辑思维能力，计算能力，是中档题．
22.【答案】解：过作，过作，两直线交于，过作垂直地面交地面于，如图：
根据题知，．
的坡度：，：：．
设，则，，，
解得负值已舍去，，
所以，该滑雪场的高度为．
设甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是，
根据题意得：，解得，
经检验，是原分式方程的解，也符合题意，．
所以，甲种设备每小时的造雪量是，乙种设备每小时的造雪量是．
【解析】过作，过作，两直线交于，过作垂直地面交地面于，进而根据几何关系求得，即可得答案；
设甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是，进而结合题意列方程求解即可．
本题考查解三角形在生活中的应用，考查运算求解能力，属中档题．
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