2023-2024学年鲁教版（五四制）七年级数学上册 第1—3章 阶段性综合练习题（含解析）

2023-2024学年鲁教版七年级数学上册《第1—3章》阶段性综合练习题（附答案）
一、选择题（共36分）
1．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
2．如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，4cm B．2cm，3cm，5cm
C．5cm，6cm，12cm D．4cm，6cm，8cm
4．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
5．如图，在△ABC中AB＝AC，D是BC的中点，∠B＝36°，则∠BAD＝（　　）
A．108° B．72° C．54° D．36°
6．如图，点E，点F在直线AC上，AF＝CE，AD＝CB，下列条件中不能推断△ADF≌△CBE的是（　　）
A．∠D＝∠B B．∠A＝∠C C．BE＝DF D．AD∥BC
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，AB＝AC，BC＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．12 B．6 C．3 D．4
8．如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）
A．15° B．25° C．35° D．65°
9．如图，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长度为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1.5
10．剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　）
A．B．C．D．
11．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，M，N，P分别是边AB，AC，BC上的点，且BM＝CP，CN＝BP，若∠MPN＝44°，则∠A的度数为（　　）
A．44° B．88° C．92° D．136°
12．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝10，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为（　　）
A．16 B．18 C．20 D．24
二、填空题（共20分）
13．若等腰三角形的一个内角为92°，则它的顶角的度数为　 　°．
14．如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，若BC＝10，BD＝6，则D到AB的距离为　 　．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE垂直平分AB交BC于点E，EC＝1，则BE＝　 　．
16．一块钢板的形状如图所示，已知AB＝12cm，BC＝13cm，CD＝4cm，AD＝3cm，∠ADC＝90°，则这块钢板的面积是　 　cm2．
17．如图，在△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，BD平分∠ABC．若P，Q分别是BD和AB上的动点，则PA+PQ的最小值是　 　．
三、解答题（共64分）
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：DC＝AB．
19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的面积．
20．如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
21．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：DC＝2DB．
22．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5．点D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求AB的长．
23．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上，
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）在直线l上找出一点Q，使得|QA+QC|的值最小；（保留作图痕迹并标上字母Q）
（3）在直线l上找出一点P，使得|PA﹣PC|的值最大．（保留作图痕迹并标上字母P）
24．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，判断BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、选择题（共36分）
1．解：如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形．
故选：D．
2．解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，
故选：B．
3．解：A、1+2＜4，不能构成三角形；
B、2+3＝5，不能构成三角形；
C、5+6＜12，不能够组成三角形；
D、4+6＞8，能构成三角形．
故选：D．
4．解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°（三角形内角和定义）．
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝×100°＝50°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°．
故选：C．
5．解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝36°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．
故选：C．
6．解：A、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意．
B、根据SAS，可以推出△ADF≌△CBE，本选项不符合题意．
C、根据SSS，可以推出△ADF≌△CBE，本选项不符合题意．
D、根据SAS，可以推出△ADF≌△CBE，本选项不符合题意．
故选：A．
7．解：∵AB＝AC，BC＝4，AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC＝BC＝2，AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵△ABC的面积是：×BC×AD＝×3×4＝6，
∴图中阴影部分的面积是S△ABC＝3．
故选：C．
8．解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠ACD＝25°，
故选：B．
9．解：∵AD，BE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠DBF＝∠CAD，
在△ACD和△BFD中，
，
∴△ACD≌△BFD（ASA），
∴DF＝DC，
∵△ACD的面积为12，
∴，
∴CD＝4，
∴DF＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝2，
故选：C．
10．解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个直角梯形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个六边形，可得：
．
故选：B．
11．解：在△BMP和△CPN中，
，
∴△BMP≌△CPN（SAS），
∴∠BMP＝∠CPN，
∵∠MPN＝44°，
∴∠BPM+∠CPN＝136°，
∴∠BMP+∠BPM＝136°，
∴∠B＝44°，
∴∠C＝∠B＝44°，
∴∠A＝180°﹣44°﹣44°＝92°，
故选：C．
12．解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，DE＝CD＝CE，
∵BC＝10，BE＝2
∴CE＝8，
∴CD＝DE＝4，BD＝6，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，
∴AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2＝20，
故选：C．
二、填空题（共20分）
13．解：∵92°＞90°，
∴92°的角是顶角，
故答案为：92．
14．解：∵BC＝10，BD＝6，
∴CD＝4，
∵∠C＝90°，∠1＝∠2，
∴点D到边AB的距离等于CD＝4，
故答案为：4．
15．解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∴∠AEC＝30°+30°＝60°，
∴∠CAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴AE＝2CE＝2，
∴BE＝AE＝2．
故答案为：2．
16．解：连接AC，由勾股定理得AC＝＝5cm，
∵AB＝12cm，BC＝13cm，AC2+AB2＝BC2，
即52+122＝132，
故△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，
故四边形ABCD的面积＝S△ABC﹣S△ACD，
＝AB AC﹣AD CD，
＝×12×5﹣×4×3，
＝30﹣6，
＝24cm2，
故答案为：24．
17．解：如图，作点Q关于直线BD的对称点Q′，作AM⊥BC于M．
∵PA+PQ＝PA+PQ′，
∴根据垂线段最短可知，当A，P，Q′共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值＝线段AM的长．
设CM＝x，AM＝y，
由题意：，
解得y＝12，
∴PA+PQ的最小值为12．
故答案为12．
三、解答题（共64分）
18．（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；
（2）证明：∵∠DAB＝45°，∠DAC＝75°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°+45°＝75°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴DC＝AC，
∵AB＝AC，
∴DC＝AB．
19．解：（1）△ABC是直角三角形，
理由是：由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
所以AB2+AC2＝BC2，
即△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知：AB＝，AC＝＝2，
所以△ABC的面积＝＝×2＝5．
20．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．
21．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°，
∵AB的垂直平分线交BC于点D．
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+30°＝60°；
（2）∵∠ADC＝60°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝90°，
∴AD＝CD，∠BAD＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD，
∴DC＝2DB．
22．（1）证明：∵CD＝3，BC＝5，BD＝4，
∴CD2+BD2＝9+16＝25＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴BD⊥AC；
（2）解：设AD＝x，则AC＝x+3．
∵AB＝AC，
∴AB＝x+3．
∵∠BDC＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB2＝AD2+BD2，
即（x+3）2＝x2+42，
解得：x＝，
∴AB＝+3＝．
23．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，点Q即为所求．
（3）如图，点P即为所求．
24．解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，
理由：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴BD⊥CE．
（2）α+β＝180°，
证明：∵∠DAE＝∠BAC＝α，
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB，
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝∠DCE＝β，
∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．