2023-2024学年鲁教版八年级数学上册 2.4分式方程同步测试题 （含答案）

2023-2024学年鲁教版八年级数学上册《2.4分式方程》同步测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．分式方程的解为，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在正数范围内定义一种运算 “”，共规则为，如，根据这个规则，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．且
5．若关于x的方程＝有解，则a的值不能为（　　）
A．3 B．2 C． D．
6．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．月日，贵阳地铁迎来亿人次客运量新突破，客运量从到亿的数字背后，是一群为理想信念驰而不息的轨道人的共同努力．地铁在建期间，甲、乙两个工程队合作修建一段轨道，他们分别从轨道两头开始施工．已知每天甲队比乙队多施工，甲队施工所用的时间与乙队施工所用的时间相等，设甲队每天施工，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若实数使关于的不等式组有且只有三个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的整数的最大值为（ ）
A． B．2 C．0 D．1
二、填空题（满分40分）
9．方程的根是 ．
10．若关于的分式方程有增根，则 .
11．若关于的方程的解是，则的值是 ．
12．若关于x的方程﹣＝2的解为负数，则m的取值范围是 　 　．
13．关于的分式分程的解为正数，则的取值范围是 ．
14．已知关于的方程无解，则 ．
15．已知关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程的解是正整数，则整数m的值为 ．
16．某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务．在加工了300顶帐篷 后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，则原来每天加工帐篷 顶．
三、解答题（满分48分）
17．解分式方程：
(1)
(2)
18．阅读下列解题过程，回答所提出的问题：
题目：解分式方程：
解：方程两边同时乘以
得：
去括号得：
解得：
所以原分式方程的解是：
(1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号：　　；
(2)错误的原因是　　；
(3)订正错误．
19．甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米．B、C两城的距离为400千米．
(1)若甲车比乙车的速度快12千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度．
(2)设乙车的速度x千米/时，甲车的速度千米/时，若，则哪一辆车先到达C城，并说明理由．
20．某市政有一装修工程，若甲、乙两队装修队合作，需要12天完成；若甲队先做5天，剩余部分再由甲、乙两队合作，还需要9天才能完成．
(1)甲、乙两个装修队单独完成分别需要几天？
(2)已知甲队每天施工费用4000元，乙队每天施工费用为2000元，要使该工程施工总费用为70000元，则甲装修队施工多少天？
(3)甲装修队有装修工人12人，乙装修队有装修工人10人，该工程需要在14天内（包括14天）完成，该工程由甲乙两队合作完成，两队合作4天后，乙队另有任务需调出部分人员，则乙队最多调走多少人？
21．中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？
参考答案
1．解：①，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意；
②是关于的分式方程，故②错误，不符合题意；
③，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意；
④，是关于的分式方程，故④正确，符合题意；
关于的分式方程的个数为1个，
故选：A．
2．解：把代入原方程
得：，
解得：．
故选：C．
3．解：∵，
∴，
，
解得，
经检验是原方程的根，
故选：A．
4．解：关于x的分式方程化为整式方程为，
解得 ，
由于分式方程的解为正数，
∴，
即，
由于分式方程的增根是，当时，，
所以m的取值范围为：且，
故选：D．
5．解：解分式方程，得：
x＝，
∵方程有解，
∴x﹣a≠0，且2x﹣1≠0，
∴x≠a且x≠0.5，
∴，
解得：a≠．
故选：D．
6．解：∵关于的分式方程有增根，
∴，
解得：，
原分式方程去分母后得：，
∴，
解得：．
故选：C．
7．解：由题意得：，
故选：．
8．解：解不等式组
得：
因为不等式组有且只有三个整数解
故：，得：
解分式方程
得：
因为分式方程的解为非负数，故
综上：且
故的最大值为2
故选：B
9．解：原方程可整理得：，
去分母得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：．
10．解：方程两边都乘，得
，
∴，
∵原方程的增根为，
∴，
解得，
故答案为：．
11．解：将代入，可得，解得，
故答案为：
12．解：方程两边都乘以（x﹣4）得：m+x＝2（x﹣4），
解得：x＝m+8，
∵x﹣4≠0，
∴m+8﹣4≠0，
∴m≠﹣4；
∵分式方程的解为负数，
∴m+8＜0，
∴m＜﹣8，
故答案为：m＜﹣8．
13．解：∵，
∴，
∴，
∵关于的分式分程的解为正数，
∴，
解得：且；
故答案为：且．
14．解：∵，
∴，
∴，
∵方程无解，
∴的解都是增根，
∴，
∴，
解得；
当无解时，
，
解得，
故答案为：；4．
15．解：∵关于x的不等式组无解，
∴，
∴；
∵，解得：，
∵分式方程的解是正整数，且且m为整数，
∴或或或，
∴；
∵且，
∴．
故答案为：1或0.
16．解：设该厂原来每天生产x顶帐篷，提高效率后每天生产顶帐篷，
据题意得：，
解得：．
经检验，是原分式方程的解．
故答案为：．
17．（1）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，．
原分式方程的解是．
（2），
变形得：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，．
原分式方程的解是．
18．（1）解：根据分式方程的解法步骤，判断出步骤E是错误的，
故答案为：E；
（2）解：根据分式方程的解法步骤，得步骤E错误的原因是没有验根，
故答案为：没有验根；
（3）解：订正错误：经检验使原分式方程分母等于0，所以是增根，
∴原分式方程无解．
19．（1）解：设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为千米/时，
∵A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，两辆车同时到达C城，
∴ ，
解得，
经检验 是原方程的根，且符合题意；
∴．
答：甲车的速度是108千米/时，乙车的速度是96千米/时；
（2）∵乙车的速度x千米/时，甲车的速度千米/时，
∴乙车到达C的时间，
甲车到达C的时间，
∵，
∴乙车先到达C城．
20．（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要x个月，
根据题意，得，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
则： ，
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要20天、30天．
（2）设甲装修队施工a天，乙装修队施工b天，由题意得：
，
解得：，
答：甲装修队施工10天．
（3）甲队单人工作效率， 乙队单人工作效率 ，
合作四天后工程剩余量：，
设乙队调走人 ，
则有 ，
解得 ，
答：乙队最多调走5个人．
21．（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，
依题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
（2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本，
依题意得，，
解得，
设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），
依题意得，，
∵，
∴y随m的增大而增大，
∴当时，有最小值，此时（元），
（本）
答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．