第十三章 轴对称基础知识检测题（含解析）

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第十三章 轴对称基础知识检测题
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（　　）
A． B．BD平分
C．图中有三个等腰三角形 D．
2． 如果一个等腰三角形的两边长分别为4和7，那么该等腰三角形的周长为（　　）
A．15 B．18 C．15或18 D．无法计算
3．如图，在中，，，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知点A（a，3），B（﹣3，b），若点A、B关于x轴对称，则点P（﹣a，﹣b）在第_____象限，若点A、B关于y轴对称，则点P（﹣a，﹣b）在第_____象限.（　　）
A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四
5．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（　　）
A．2.5 B．1.5 C．2 D．1
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝ S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）
A．4个 B．5个 C．6 个 D．8个
8．如图，在△ABC中，边AB， AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A= 50°，则∠BPC= (　　）.
A．50° B．100° C．130° D．150°
9．如图，点D在等边△ABC的边CB的延长线上，点E在线段BC上，连接AD，AE，若DA＝DE，且∠DAB＝20°，那么∠EAC的度数为（　　）
A．20° B．15° C．10° D．5°
10．如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，AE=1，AF=3．P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．点P关于x轴对称的点是（3，－4），则点P关于y轴对称的点的坐标是　 　.
12．如图所示，在菱形中，，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接，在移动的过程中，的最小值为　 　．
三、计算题
13．已知点A 和点B 关于 轴对称，求 的值．
14．如图，四边形 中， 是对角线， ．
（1）求证： ；
（2）判断 的形状并说明．
四、解答题
15．如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，－2），写出点B的坐标．
16．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线MN分别交AB，AC于D，E.若AE＝5，△BCD的周长17，求△ABC的周长.
五、作图题
17．如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到M、N两点的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等。
六、综合题
18．已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A、E在BC的同侧．
（1）如图1，点D在BC上，写出线段AC、CD、CE之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，若点D在BC的延长线上，其它条件不变，直接写出AC、CD、CE之间的数量关系．
19．如图，已知△ABC中，AB=BC=AC，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，M、N分别在△ABC的BC、AC边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①　 　；②　 　．
20．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高，D是AM上的点，以CD为一边，在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）填空：∠ACB=　 　；∠CAM=　 　；
（2）求证：△ACD≌△BEC；
（3）延长BE交射线AM于点F，请把图形补充完整，并求∠BFM的度数；
（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F．∠BFM的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠BFM的度数；若变化，请写出变化规律．
七、实践探究题
21．
（1）[感知]
如图①，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD=CF．若DE⊥BC，则∠DFC的大小是　 　度；
（2）[探究]
如图②，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B、C重合），作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB、AC于点E、F，且BD=CF．求证：BE=CD；
（3）[应用]
在图③中，若D是边BC的中点，且AB=2，其它条件不变，如图③所示，则四边形AEDF的周长为　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】A、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，∴∠C=2∠A，答案不符合题意；
B、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=36°，∴∠DBC=72°-36°=36°=∠ABD，∴BD是∠ABC的角平分线，答案不符合题意；
C、由A、B选项可以知道△ABC、△BDC、△ADB是等腰三角形，答案不符合题意；
D、根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据已知条件，可求得∠B和∠C，即可判断∠C和∠A的关系。根据垂直平分线上的点的特点，即而判断△ABD是等腰三角形。分析得BD为∠ABC的角平分线。从而对选项进行判断即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：当4为腰长，7为底长时，可以组成等腰三角形，该等腰三角形的周长为16；
当7为腰长，4为底长时，可以组成等腰三角形，该等腰三角形的周长为18；
综上所述，该等腰三角形的周长为15或18
故答案为：C
【分析】根据等腰三角形的性质结合题意进行分类讨论即可求解。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：A．
【分析】先利用等腰三角形的性质求得，再求得，最后利用三角形的内角和即可求解。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵点A（a，3），B（-3，b）关于x轴对称，
∴a=-3，b=-3，
∴-a＞0，-b＞0，
∴点P（-a，-b）在第一象限，
∵点A（a，3），B（-3，b）关于y轴对称，
∴a=3，b=3，
∴-a＜0，-b＜0，
∴点P（-a，-b）在第三象限，
故答案为：A.
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得-a、-b的值，再根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得可得-a、-b的值，进而再根据点的坐标与象限的关系即可判断得出答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴BC=CE．
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∴BD= BE= AE= （AC﹣BC）．
∵AC=5，BC=3，
∴BD= （5﹣3）=1．
故选D．
【分析】由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC=CE；由等角对等边判定AE=BE，则易求BD= BE= AE= （AC﹣BC）．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h
∵S△PAB= S矩形ABCD，
∴ AB h= AB AD，
∴h= AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，
则BE就是所求的最短距离.
在Rt△ABE中，
∵AB=5，AE=2+2=4，
∴BE= = = ，
即PA+PB的最小值为 .
故答案为：D.
【分析】利用已知条件S△PAB= S矩形ABCD，可求出△ABP的AB边上的高，由此可知动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，可得到BE就是所求的最短距离，然后利用勾股定理求出BE的长。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB)，交直线BC于点P2；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP)；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA)．
2+（3-1)+（3-1)=6，
∴符合条件的点有六个．
故选C．
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角)”分三种情况解答即可．本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
8．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接PA，
∵a、b分别AB与AC的垂直平分线，
∴PA=PB=PC，
∴∠ABP=∠BAP，∠PAC=∠PCA，
∵∠BAP+∠CAP=∠BAC=50°，
∴∠PBA+∠PCA=50°，
∴∠BAP+∠CAP+∠PBA+∠PCA=100°，
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∠PBC+∠PCB+∠BAP+∠CAP+∠PBA+∠PCA=180°，
∴∠BPC=∠BAP+∠CAP+∠PBA+∠PCA=100°.
故答案为：B.
【分析】连接PA，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得PA=PB=PC，由等边对等角及角的和差可得∠BAP+∠CAP+∠PBA+∠PCA=100°，进而根据三角形的内角和定理得∠BPC=100°.
9．【答案】C
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60゜
∵∠ABC=∠D+∠DAB
∴∠D=∠ABC-∠DAB=60°-20°=40°
∵DA=DE
∴∠DEA=∠DAE=
∵∠DEA=∠ACB+∠EAC
∴∠EAC=∠DEA-∠ACB=70°-60°=10°
故答案为：C.
【分析】由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由三角形外角的性质可得∠ABC=∠D+∠DAB，据此可得∠D的度数，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠DEA=∠DAE=70°，由三角形外角的性质可得∠DEA=∠ACB+∠EAC，据此求解.
10．【答案】B
【解析】【解答】如图，作EE＇⊥BD交BC于E＇，连接E＇F，E＇F与BD的交点即为P点，
由菱形的对称性可知E、E＇关于BD对称，故BE＇=BE=3=AF，
又BE＇∥AF，∴四边形ABE＇F是平行四边形，
∴E＇F=AB=4即线段EP+FP的长最短为4。
故答案为：B。
【分析】由菱形的对称性可知E＇、E关于BD对称，故PE=PE＇，根据两点之间线段最短可知连接E＇F，E＇F的长即为EP+FP的最小值。
11．【答案】（－3，4）
【解析】【解答】由题知，关于x轴对称则x不变，y是其相反数，故此点是（3，4）故关于y轴对称时的点是（-3，4）
【分析】根据根于x轴对称点的坐标特点求解.关于横轴的对称点，横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点，纵坐标相同，横坐标变成相反数；关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数.
12．【答案】
【解析】【解答】解：连接BD，作DH垂直AB于点H，由题意可得
为等边三角形
当点E运动到H点时，DE的值最小，最小值为
故答案为：
【分析】根据等边三角形性质证明，根据全等三角形性质即可求出答案。
13．【答案】解：∵点A ，点B 关于 轴对称，
∴ ，解得
∴
【解析】【分析】因为A、B两点关于 x 轴对称，所以a 1=2，(b 1)+5=0，解得 a=3，b= 4，然后把a、b的值代入 (a+b) 2017，即可求解。
14．【答案】（1）证明：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△ADC，
∴BC=DC，
∴△BCD是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）利用SAS证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质求出 BC=DC， 再求解即可。
15．【答案】解：因为△ABC关于x轴对称，结合图形可知点A、B关于x轴对称，所以点B的坐标为（1，2）．
【解析】【分析】也可以从坐标系内直接读得点B的坐标来检验．
16．【答案】解：因为AC的垂直平分线MN分别交AB，AC于D，E，所以AE=EC，DE垂直AC，所以 （HL）,则AD=DC，又因为△BCD的周长17，且△BCD的周长=DB+CB+DC=DB+BC+AD,所以DB+BC+AD=17，
又因为AE＝5，AE=EC，则AE=EC=5，所以△ABC的周长=DB+BC+AD+AE+EC=17+5+5=27.
【解析】【分析】根据垂直平分线的定义利用HL可判断△ADE与△CDE全等，由全等三角形的性质可得AD=AC（也可以直接应用垂直平分线的性质），在根据△BCD的周长17 ，利用等量代换即可求出 △ABC的周长.
17．【答案】解：如图所示，点P即为所求作的点．
【解析】【分析】连接MN，作线段MN的垂直平分线EF，再作∠AOB的平分线OC，EF与OC的交点即为点P．
18．【答案】（1）解：CD+CE=AC．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
∵△ADE为等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD+DC=CE+CD，
∴AC=CD+CE；
（2）解：CE﹣CD=AC．理由如下：
与（1）的证明方法一样可得到△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD﹣CD=CE﹣CD，
∴AC=CE﹣CD
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC=BC，∠BAC=60°，AD=AE，∠DAE=60°，利用等量代换得∠BAD=∠CAE，则可根据“SAS”判断△ABD≌△ACE，
所以BD=CE，于是AC=BC=BD+DC=CE+CD；（2）利用同样方法证明△ABD≌△ACE，则BD=CE，所以AC=BC=BD﹣CD=CE﹣CD．
19．【答案】（1）证明：如图1，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABM与△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角，
∴∠BQM=∠AQN=∠1+∠3=∠2+∠3=∠ABC=60°，
∴∠BQM=60°
（2）是；是
【解析】【解答】①仍为真命题；
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵∠BQM=∠AQN=60°，
∴∠1+∠3=60°，
∵∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠2，
在△ABM与△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN；
②解：如图2所示，
同①可证△ABN≌△CAM，
∴∠N=∠M，
∵∠NAQ=∠CAM，
∴∠BQM=∠ACB=60°，
∴仍能得到∠BQM=60°．
【分析】（1）先根据SAS定理得出△ABM≌△BCN，故可得出∠1=∠2，再由∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角即可得出结论；（2）①根据ASA定理得出△ABM≌△BCN，由全等三角形的性质即可得出结论；②同①可证△ABN≌△CAM，由全等三角形的性质即可得出结论．
20．【答案】（1）60°；30°
（2）证明：∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
（3）补全图形如下：
由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC≌△BEC，
∴∠CBE=∠CAM=30°，
∵∠BMF=90°，
∴∠BFM=60°；
（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，画出图形如下：
∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
又∵AF⊥BC，
∴Rt△BFM中，∠BFM=90°-30°=60°。
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，∠ACB=60°，等边三角形三线和一∠CAM=30°；（2）已知△ABC与△DEC都是等边三角形，根据等边三角形的三边相等和60°的特殊角，可证明△ACD≌△BCE；（3）根据（2）中全等的条件可知∠CBE=∠CAM=30°，进而求出∠BFM=60°；（4）动点D在射线AM上，且在BC下方时，同理仍可证明△ACD≌△BCE，∠CBE=∠CAD=30°，求出∠BFM的度数是定值60°.
21．【答案】（1）90
（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．
∵∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=60°，∴∠CDF=∠BED．
在△BDE和△CFD中，∵ ，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BE=CD．
（3）4
【解析】【解答】解：[感知]如图1．
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．
∵DE⊥BC，即∠BDE=90°，∠EDF=60°，∴∠BED=∠CDF=30°，∴∠DFC=90°．
故答案为90．
[应用]∵△ABC是等边三角形，AB=2，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=2．
∵D为BC中点，且BD=CF，∴BD=CD=CF=AF=1，由[探究]知△BDE≌△CFD，∴BE=CD=1，DE=DF．
∵∠B=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=DF=1，则四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF=4．
故答案为4．
【分析】[感知]由等边三角形性质知∠B=∠C=60°，根据DE⊥BC，∠EDF=60°知∠BED=∠CDF=30°，据此可得答案．[探究]由∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=∠B=60°知∠CDF=∠BED，据此证△BDE≌△CFD可得答案．[应用]先得出BD=CD=CF=AF=1，再由[探究]知△BDE≌△CFD，据此得BE=CD=1，DE=DF，结合∠B=60°知△BDE是等边三角形，得出DE=DF=1，再进一步求解可得答案．
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