第七章 平行线的证明单元测试卷（含答案）

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2024北师版八年级数学上学期单元测试卷
第七章　平行线的证明
时间:60分钟　 满分:100分
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
　　　　　　 　　　　　　　　　　
1.(2022·陕西安康期末)在△ABC中,若∠A=40°,∠B=100°,则∠C= (　　)
A.70° B.60° C.50° D.40°
2.(2022·广东佛山三水区期末)下列命题为真命题的是 (　　)
A.两个锐角之和一定是钝角
B.两直线平行,同旁内角度数相等
C.同角的补角相等
D.相等的角是对顶角
3.(2021·河南中考)如图,a∥b,∠1=60°,则∠2的度数为 (　　)
A.90° B.100° C.110° D.120°
(第3题)　　　(第4题)
4.(2022·北京东城区期末)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.若∠A=30°,∠BDC=50°,则∠BDE的度数是 (　　)
A.10° B.20° C.30° D.50°
5.如图,木工师傅在一块长方形木板上画两条平行线的方法:用角尺画木板边缘的两条垂线a,b.关于这样画的理由给出下列4种说法,其中正确的是 (　　)
①同位角相等,两直线平行;
②内错角相等,两直线平行;
③同旁内角互补,两直线平行;
④平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
6.如图,将一个三角板DEF放置在锐角三角形ABC上,使得该三角板的两条直角边DE,DF恰好分别经过点B,C.若∠A=50°,则∠ABD+∠ACD= (　　)
A.60° B.50° C.40° D.30°
7.如图,AB∥CD∥EF,下列各式的计算结果等于180°的是 (　　)
A.∠1+∠2-∠3 B.∠1+∠2+∠3
C.∠1-∠2+∠3 D.∠2+∠3-∠1
(第7题)　　(第8题)
8.(2022·河南舞钢期末)如图,已知AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,∠1+∠2=90°,下列结论不一定成立的是 (　　)
A.AC∥BD
B.∠ABE+∠CDF=180°
C.AB∥CD
D.若∠ACD=2∠E,则∠CAB=2∠F
9.(2022·辽宁沈阳于洪区期末)定理:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.已知:如图,∠ACD是△ABC的外角.求证:∠ACD=∠A+∠B.
证法1:如图,∵∠A=68°,∠B=65°,且∠ACD=133°(量角器测量所得), 又∵133°=68°+65°(计算所得), ∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换).
证法2:如图,∵∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理), 又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角定义), ∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB(等量代换). ∴∠ACD=∠A+∠B(等式性质).
下列说法正确的是 (　　)
A.证法1用特殊到一般法证明了该定理
B.证法1只要测量够100个三角形进行验证,就能证明该定理
C.证法2还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整
D.证法2利用严谨推理证明了该定理
10. (2022·吉林长春期末)若△ABC中刚好有∠B=2∠C,则称此三角形为“可爱三角形”,并且∠A称作“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角形”,那么这个三角形的“可爱角”应该是 (　　)
A.45°或36° B.72°或36°
C.45°或72° D.45°或36°或72°.
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.(2022·黑龙江鸡西期末)把命题“同角的余角相等”写成“如果……,那么……”的形式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
12.(2022·湖南长沙望城区期末改编)如图,根据图上标注的信息,求出α的大小为　　　　.
(第12题)　　(第13题)
13.(2022·广东深圳宝安区期末)生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关.如图,从光源P点照射到抛物线上的光线PA,PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出,若∠CAP=α,∠DBP=β,则∠APB的度数为　　　　.
14.(2022·北京一六一中分校期中)已知一张三角形纸片ABC(如图甲),其中∠B=∠C.将纸片沿过点B的直线折叠,使点C落到AB边上的E点处,折痕为BD(如图乙).再将纸片沿过点E的直线折叠,点A恰好与点D重合,折痕为EF(如图丙).则∠DEB=　　　　∠A,∠ABC=　　　　°.
　　 　 　图甲　　　　　图乙　　　　图丙
15.如图,∠A=80°,∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1,∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2……则∠A5=　　　　.
三、解答题(共6小题,共55分)
16.(6分)如图所示,△ABC,△CDE均为直角三角形,且∠B=45°,∠D=30°,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
(1)求证:CF∥AB.
(2)求∠DFC的度数.
17.(8分)(2022·河南郑州管城区期末)已知:如图,∠EAC是△ABC的一个外角.请从①AB=AC,②AD平分∠EAC,③AD∥BC中任选两个当条件,第三个当结论构成一个命题.如果该命题是真命题,请给出证明;如果该命题是假命题,请说明理由.
18.(9分)(2022·江苏无锡滨湖区期中改编)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,点E是CA延长线上的一点,过点E作EG⊥BC于点G,交AB于点F,已知∠E=∠EFA.
(1)求证:AD平分∠BAC.
(2)若∠B=48°,求∠C的度数.
19.(10分)(2022·河南郑州八中期末)“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题.今天人们已经知道,仅用圆规和直尺是不可能作出的.有人曾利用如图所示的图形进行探索,其中四边形ABCD是长方形,F是DA延长线上一点,G是CF上一点,且∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F.请写出∠ECB和∠ACB的数量关系,并说明理由.
20.(10分)(2022·重庆永川区期中)如图,已知在△ABC中,∠B<∠C,AD平分∠BAC,在线段AD上(除去端点A,D)有一动点E,EF⊥BC于点F.
(1)若∠B=40°,∠DEF=10°,求∠C的度数.
(2)当点E在线段AD上移动时,∠B,∠C,∠DEF之间存在怎样的等量关系 请写出这个等量关系,并说明理由.
21.(12分)如图(1),AB∥CD,点P为AB与CD内的一定点,点E,F分别是AB,CD上的动点,连接PE,PF.
(1)求证:∠P=∠BEP+∠PFD.
(2)如图(2),若点M为FD上一点(点M不与点F重合),∠FMN=∠BEP,且MN交PF于点N.试猜想∠EPF与∠PNM之间的关系,并证明你的结论.
(3)如图(3),移动点E,F,使得∠EPF=90°,作∠PEG=∠BEP,求∠AEG与∠PFD度数的比值.
图(1)　　图(2)
图(3)
第七章　平行线的证明
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C D B C C A A D C
11.如果两个角是同角的余角,那么这两个角相等
12.105° 13.α+β 14.2　72 15.2.5°
1.D　在△ABC中,∵∠A=40°,∠B=100°,∴∠C=180°-∠A-∠B=40°.
2.C　两个锐角之和不一定是钝角,可能是锐角、直角或钝角;两直线平行,同旁内角互补但度数不一定相等;同角的补角相等;相等的角不一定是对顶角.
3.D　由图得∠2的补角和∠1是同位角,∵∠1=60°且a∥b,∴∠1的同位角也是60°,∴∠2=180°-60°=120°.
4.B　∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠CBD.∵DE∥BC,∴∠CBD=∠BDE,∴∠ABD=∠BDE.∵∠BDC=∠A+∠ABD,即50°=30°+∠ABD,∴∠ABD=20°,∴∠BDE=20°.
5.C　由题图可知,用角尺画木板边缘的两条垂线,这样画的理由有:同位角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.故选C.
6.C　在△ABC中,∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°.在△DBC中,∵∠BDC=90°,∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°,∴∠ABD+∠ACD=130°-90°=40°.
7.A　因为AB∥CD∥EF,所以∠2+∠CEF=180°,∠1=∠AEF,所以∠1=∠3+∠CEF,所以∠CEF=∠1-∠3,所以∠2+∠1-∠3=180°.
8.A　∵AP平分∠BAC,∴∠1=∠PAC=∠BAC,∵CP平分∠ACD,∴∠2=∠PCA=∠DCA,又∠1+∠2=90°,∴∠BAC+∠DCA=180°,∴AB∥CD,故C一定成立;∵AB∥CD,∴∠ABD+∠CDB=180°,∴∠ABE+∠CDF=180°,故B一定成立;若∠ACD=2∠E,∵∠ACD=2∠PCA,∴∠PCA=∠E,∴AC∥BD,∴∠F=∠CAP,∵∠CAB=2∠CAP,∴∠CAB=2∠F,故D一定成立;题中的条件不能说明AC∥BD,故A不一定成立.
9.D　∵定理的证明必须经过推理论证,不能用特殊情形来说明,且与测量次数的多少无关,∴A的说法不正确,B的说法不正确.∵证法2按照定理证明的一般步骤,从已知出发经过推理论证,得出结论的正确,具有一般性,无须再证明其他形状的三角形,∴C的说法不正确,D的说法正确.故选D.
10.C　(分类讨论思想)①设三角形底角为α,顶角为2α,则α+α+2α=180°,解得α=45°.②设三角形的底角为2α,顶角为α,则2α+2α+α=180°,解得α=36°,∴2α=72°,∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°,故选C.
11.如果两个角是同角的余角,那么这两个角相等
12.105°　由图可知,∠1=180°-α,∵α+15°=45°+∠1,∴α+15°=45°+180°-α,∴α=105°.
13.α+β　∵AC∥EF,∠CAP=α,∴∠APE=∠CAP=α.∵BD∥EF,∠DBP=β,∴∠BPE=∠DBP=β.∴∠APB=∠APE+∠BPE=α+β.
14.2　72　设∠A=x,根据翻折的性质,可知∠A=∠EDA=x,∠C=∠DEB=∠A+∠EDA=2x,∴∠DEB=2∠A,∠ABC=∠C=2x.∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴5x=180°,∴x=36°,∴∠ABC=72°.
15.2.5°　∵BA1,CA1分别平分∠ABC和∠ACD,∴∠ACD=2∠A1CD,∠ABC=2∠A1BC.∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC,∠ACD=∠ABC+∠A,∴∠A=2∠A1.同理可得∠A1=2∠A2,∴∠A=22∠A2,…,∠A=25∠A5.∵∠A=80°,∴∠A5=80°÷32=2.5°.
16.【参考答案】(1)证明:∵△ABC,△CDE均为直角三角形,
∴∠ACB=DCE=90°,∴点B,C,E在同一直线上.
∵CF平分∠DCE,
∴∠FCE=∠DCE=45°.
∵∠B=45°,∴∠FCE=∠B,
∴CF∥AB. (3分)
(2)由(1)知∠FCE=45°. (4分)
∵在Rt△CDE中,∠D=30°,∴∠E=60°.
∴∠DFC=∠E+∠FCE=60°+45°=105°. (6分)
17.【参考答案】选①②当条件,③当结论,真命题.(其他的组合也是真命题,答案不唯一) (3分)
以“条件:①②,结论:③”为例证明.
证明:由三角形的外角性质得∠EAC=∠B+∠C,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠EAC=2∠B.
∵AD平分∠EAC,
∴∠EAC=2∠EAD,
∴∠B=∠EAD,
∴AD∥BC. (8分)
18.【参考答案】(1)证明:∵AD⊥BC,EG⊥BC,
∴∠EGC=∠ADC=90°,
∴AD∥EG,
∴∠E=∠CAD,∠DAB=∠EFA. (2分)
∵∠E=∠EFA,∴∠CAD=∠DAB,
∴AD平分∠BAC. (4分)
(2)∵AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°.
∵∠B=48°,
∴∠DAB=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-48°=42°. (7分)
∵∠CAD=∠DAB,∴∠CAD=42°,
∴∠C=180°-∠ADC-∠CAD=180°-90°-42°=48°. (9分)
19.【参考答案】∠ACB=3∠ECB. (3分)
理由如下:∵∠GAF=∠F,∴∠AGC=∠F+∠GAF=2∠F.
∵∠ACG=∠AGC,
∴∠ACG=2∠F. (6分)
∵四边形ABCD是长方形,
∴AD∥BC,
∴∠ECB=∠F.
∴∠ACB=∠ACG+∠ECB=3∠F. (8分)
∴∠ACB=3∠ECB. (10分)
20.【参考答案】(1)∵EF⊥BC,∠DEF=10°,
∴∠EDF=80°.
∵∠B=40°,
∴∠BAD=∠EDF-∠B=80°-40°=40°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAD=80°,
∴∠C=180°-40°-80°=60°. (5分)
(2)∠C-∠B=2∠DEF. (6分)
理由:∵EF⊥BC,
∴∠EDF=90°-∠DEF.
∵∠EDF=∠B+∠BAD,
∴∠BAD=90°-∠DEF-∠B.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAD=180°-2∠DEF-2∠B,
∴180°-2∠DEF-2∠B+∠B+∠C=180°,
∴∠C-∠B=2∠DEF. (10分)
21.【解题思路】(1)过点P作PH∥AB,根据平行线的性质进行证明;(2)利用(1)中的结论和三角形外角的性质可以推得∠EPF=∠PNM;(3)利用(1)中的结论得到∠BEP+∠PFD=∠EPF=90°,结合已知条件∠PEG=∠BEP,求出∠AEG与∠PFD度数之间的数量关系,进而可求出比值.
【参考答案】(1)证明:如图,过点P作PH∥AB，则∠1=∠BEP.
∵AB∥CD,
∴PH∥CD,
∴∠2=∠PFD,
∴∠EPF=∠1+∠2=∠BEP+∠PFD,
即∠EPF=∠BEP+∠PFD. (3分)
(2)∠EPF=∠PNM. (4分)
证明:由(1)知,∠EPF=∠BEP+∠PFD.
∵∠FMN=∠BEP,
∴∠EPF=∠FMN+∠PFD.
又∠PNM=∠FMN+∠PFD,
∴∠EPF=∠PNM. (7分)
(3)由(1)知∠BEP+∠PFD=∠EPF=90°,
∴∠PFD=90°-∠BEP.
又∠PEG=∠BEP,
∴∠AEG=180°-2∠BEP=2×(90°-∠BEP)=2∠PFD,
∴∠AEG∶∠PFD=2∶1,
即∠AEG与∠PFD度数的比值为2. (12分)
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