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人教A版（2019）必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
2．设，关于的不等式的解集是或，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
3．已知，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．已知正实数，满足，则下列不等式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引人对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数a，b满足，则下列结论正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若关于x的不等式的解集是，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
8．已知，，则（ ）
A．的最大值为且的最大值为 B．的最大值为且的最小值为0
C．的最小值为且的最大值为 D．的最小值为且的最小值为0
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，的最小值为
10．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若且，则 D．
11．已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ）
A．当时，不等式的解集为
B．当时，不等式的解集为
C．不等式的解集恰好为，那么
D．不等式的解集恰好为，那么
12．若，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13． 设，则函数的最小值为
14．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 .
15．已知实数，满足，则的最小值是 .
16．已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为 .
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A．
（1）求集合A；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．已知关于的不等式.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，求不等式的解集；
19．已知，，且．
（1）求的最小值；
（2）证明：．
20．已知快递公司要从地往地送货，，两地的距离为100km，按交通法规，，两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h（含端点），假设汽车的油耗为元/时，司机的工资为70元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担，
（1）试建立行车总费用元关于车速的函数关系：
（2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少 最少费用为多少
21．设均不为零，且．
（1）证明：；
（2）求的最小值．
22．已知a，b，c均为正数，且，证明：
（1）若，则；
（2）.
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人教A版（2019）必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 单元培优卷（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：命题“”为真命题，
当，即时，则恒成立，故符合题意；
当，即时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：C.
2．设，关于的不等式的解集是或，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】关于的不等式的解集是或，故，故.
.
故答案为：D
3．已知，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
由条件可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故选A.
4．若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】解不等式可得，
由可得，
①当时，即当时，不等式即为，解得，
此时，“”“”，不合乎题意；
②当时，即当时，解不等式可得或，
由题意可知， 或，
所以，或，解得或，所以，；
③当时，即当时，解不等式可得或，
由题意可得，或，
所以，或，解得或，此时.
综上所述，实数的取值范围是或.
故答案为：A.
5．已知正实数，满足，则下列不等式中错误的是（ ）
A．n B． C． D．
【答案】D
【解析】为正实数，且，，，因此A选项正确.
，，， 因此B选项正确.
，，，
当m=n+1时，取“=”号，m=1，n=0.
又因为，不能取“=”，
.
因此C选项正确.
，
故选：D.
6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引人对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数a，b满足，则下列结论正确的个数是（ ）
①②③④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】 由，而，则，故 ① 正确；
由 可得 ，故 ② 正确；
由 得 ，得 ，故 ③正确；
， 故 ④ 正确.
故选：D.
7．若关于x的不等式的解集是，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解析】根据题意可得和是方程的两根且，即，.
故，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：A．
8．已知，，则（ ）
A．的最大值为且的最大值为 B．的最大值为且的最小值为0
C．的最小值为且的最大值为 D．的最小值为且的最小值为0
【答案】C
【解析】利用，则，整理得，
当且仅当，即时取得等号，即的最小值为；
利用，，即，整理得，即，
当且仅当时取得等号，故的最大值为.
故答案为：C
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，的最小值为
【答案】A,B,D
【解析】A、当c=0时，ac2=bc2=0，此时a、b的大小关系不确定，故A错误；
B、因为a＞b＞0，所以，即，故B错误；
C、由不等式的基本性质可得，C正确；
D、由基本不等式得：，
当且仅当，即x2+2=1时等号成立，此方程显然无解，取等号条件达不到，故D错误，
故答案为：ABD.
10．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若且，则 D．
【答案】B,D
【解析】A、当，有 ，A错误；
B、 若，即 ，B正确；
C、 若且，，，即 ，C错误；
D、 ， ，D正确.
故答案为：BD.
11．已知关于的不等式，下列结论正确的是（ ）
A．当时，不等式的解集为
B．当时，不等式的解集为
C．不等式的解集恰好为，那么
D．不等式的解集恰好为，那么
【答案】A,B,D
【解析】对于A：若 有解，则有解，
可得，解得
因为，所以不等式无解，所以的解集为，故A正确；
对于B，若，则，即，
解得，所以不等式的解集为，故B错误；
作出函数的图象以及的图象，
由图可知，此时不等式的解集应由两部分组成，
对于C，D：因为不等式的解集恰为 ，
即可以转化为二次函数在上的取值是.
可得，解得或，
又因为的最小值为，
所以且，
当时，即，解得或，
且，所以或均不符合题意；
当时，即，解得或，
且，所以符合题意；
综上所述：，可得 ，故C错误，D正确；
故答案为：ABD.
12．若，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】B,D
【解析】由，可知，，，
∴=
≥，当且仅当时，等号成立，的最小值为25，又，
当且仅当时，等号成立，所以，
故的最大值为。
故答案为：BD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13． 设，则函数的最小值为
【答案】
【解析】函数当且仅当时，即时，等号成立，函数取得最小值.
故答案为：
14．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】根据函数的图像可知：
，即，
不等式可化为，
即，
解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：
15．已知实数，满足，则的最小值是 .
【答案】9
【解析】由已知条件得，
∵，∴，
又∵，，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：9.
16．已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由题设，有，又，则，
又，则，
故存在使成立，则，
所以，令，故，
所以，且，
而，仅当，即等号成立，
所以，仅当且时等号成立，故的最小值为.
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A．
（1）求集合A；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为为真命题，所以方程有解，即，
所以，即；
（2）解：因为是的必要不充分条件，所以且，
i）当时，，解得；
ii）当时，，且等号不会同时取得，
解得，
综上，.
18．已知关于的不等式.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，求不等式的解集；
【答案】（1）解：当时，不等式为，即，
令，解得，或，
所以不等式的解集为或.
（2）解：当时，不等式为，解集为.
当时，不等式为，
令，解得，或，
当时，不等式的解集为或.
当时，不等式的解集为.
当时，不等式的解集为.
当时，不等式的解集为.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19．已知，，且．
（1）求的最小值；
（2）证明：．
【答案】（1）解：因为，所以，所以．
因为，，所以，当且仅当时，等号成立，
则，即的最小值是2．
（2）证明：因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以．当且仅当时，等号成立
则，即，当且仅当时，等号成立．
20．已知快递公司要从地往地送货，，两地的距离为100km，按交通法规，，两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h（含端点），假设汽车的油耗为元/时，司机的工资为70元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担，
（1）试建立行车总费用元关于车速的函数关系：
（2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少 最少费用为多少
【答案】（1）解：设车速为，则时间为，
依题意可得，；
（2）解：，
当且仅当，即时取等号，
所以以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元.
21．设均不为零，且．
（1）证明：；
（2）求的最小值．
【答案】（1）证明：依题意，，且均不为零，
则，
所以.
（2）解：因为，
当且仅当，即时取等号，因此，
所以的最小值为3.
22．已知a，b，c均为正数，且，证明：
（1）若，则；
（2）.
【答案】（1）证明：，，，
，
当且仅当，时取等号，
，即；
（2）证明：∵a，b，c均为正数，且，由柯西不等式得，
，
，
，当且仅当时取等号．
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