中小学教育资源及组卷应用平台
人教A版（2019）必修第一册第三章函数概念与性质 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C．和 D．
【答案】B
【解析】令，解得或，即 函数的 定义域为，
因为在定义域内单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则函数 在上单调递减，在上单调递增，
所以 函数的单调递减区间为.
故答案为：B.
2．已知函数，则该函数在上的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，可知在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以函数在上的值域是.
故答案为：A.
3．岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：该函数的定义域为，
对D：令，解得，即的定义域为，故D错误；
且该函数的图象关于y轴对称，
对B：，所以为奇函数，故B错误；
且函数的最大值为1，
对A：，
所以当，即时，取到最大值2，故A错误；
故答案为：C.
4．已知为增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由f(x)为增函数，可得，解得3≤a<4.
故答案为：D.
5．已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为f（x）-x是偶函数，f(x)+x2是奇函数，所以f（x）-x=f（-x）+x，-f(x)-x2=f（-x）+x2，
整理得：f（x）=x-x2，当x∈[0，1]时，g(x)=f(x)，当x∈（1，2），g(x)=2g(x-1)，
以此类推，当x∈（4，5），g（x）=16f（x-4），
因为要使g(x)≤3，
所以16（x-4-(x-4)2）≤3，
解得x≤或x大于等于，
故选B.
6．已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，且满足，则（ ）
A． B．0 C．2 D．2023
【答案】B
【解析】因为为偶函数，所以，所以，
因为为奇函数，所以，
所以，所以，
所以是以4为周期的周期函数，
由，令，得，则，
又，得，
由，令，得，则，
由，令，得，
则，
所以.
故答案为：B．
7．我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（ ）
A．8088 B．4044 C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：
，
∵的奇函数，
∴，，
解得，
设，
则，
的对称中心为，
即，
原始，
故选：C.
8．对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由基本不等式，，故只需要即可，
即对于任意的，恒成立，等价于对任意的，，或.
当时，由于，原式可变形为，记，
根据对勾函数性质在上递减，在上递增，
于是在上递增，此时；
当时，由于，原式可变形为，记，
根据对勾函数性质在上递减，在上递增，于是在上递减，在上递增，
当，当，注意到，故当时，，故.
综上，.
故答案为：D
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知是定义在R上的奇函数，且为偶函数，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A,D
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x + 1)为偶函数，
故可得f(x)=-f(-x)，f(x+1)=f(-x+1)，
则f(x+4)=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(-x)= f(x)，故D选项正确，
由上述推导可知f(x)=-f(x+2)≠f(x+2)，故B错误，
又因为f(3)= f(-1)=-f(1)=-2，故A选项正确，
又因为f(5)= f(1)=2≠-2，故C错误，
故选：AD
10．已知函数是偶函数，且其定义域为，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域为 D．函数的最大值为
【答案】B,C,D
【解析】因为函数是偶函数，
所以函数的定义域关于原点对称，
又因为函数的定义域为，
所以，解得．A不符合题意；
又因为函数是偶函数，
所以，解得，
所以函数的解析式为，
定义域为，其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，
所以当时，取得最大值，BCD符合题意；
故答案为：BCD
11．若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．一定为正数
B．2是的一个周期
C．若，则
D．若在上单调递增，则
【答案】B,C,D
【解析】对于A：取常函数，符合题意，故A错误；
对于B：因为的图像关于直线对称，则，
又因为为偶函数，则，
所以2是的一个周期，故B正确；
对于C：因为对任意，都有，
令，可得；
又因为，令，可得，则，
令，可得，则，
且2是的一个周期，所以，故C正确；
对于D：假设，由选项C可知：
令，可得，则，
令，可得，则，
因为，即，
这与在上单调递增 ，假设不成立，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
12．下列说法正确的是（ ）
A．偶函数的定义域为，则
B．一次函数满足，则函数的解析式为
C．奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为－1，则
D．若集合中至多有一个元素，则
【答案】A,C
【解析】 A、∵f(x)为偶函数，∴2a-1+a=0，即，A正确；
B、设f(x)=kx+b，根据题意有，解得或，则函数f(x)的解析式为f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3，B错误；
C、根据题意，2f(-4)+f(-2)=-2f(4)-f(2)=-2×8-(-1)=-15，C正确；
D、当a=0时，集合A={}，符合题意，
当集合A为 时，，解得a＜-2，
当a≠0时，且只有一个根时，，解得a=-2，
综上，a≤-2或a=0，D错误；
故答案为：AC．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知和，其中，若对任意的成立，则所有的的值为 ．
【答案】、、
【解析】因为在上单调递增，且幂函数恒过点，
当时在上单调递减，
当时在上单调递增，且越大在上增长趋势越快，
所以要使对任意的成立，则，故符合题意的k有、、1.
故答案为：、、1.
14．已知函数为奇函数，则实数 .
【答案】12
【解析】 由函数为奇函数得 9(-1)+9(1)=0，即
解得a=12，经检验符合题意，
故答案为： 12.
15．已知函数，对任意两个不等实数，都有，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】对任意两个不等实数，由可得即，
则在上单调递增，
则取任意，，有，
又.
则，即，对任意恒成立，
注意到，则.
故答案为：.
16．是定义在上的奇函数，当时，，若对一切成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】为定义在R上的奇函数，，
当时，对一切成立，得出.
当，
对一切成立，
即对一切成立，
令，由对勾函数的单调性知：在上单调递减，在上单调递增，即，故.
综上所述，
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知为上的偶函数，当时，．
（1）求出时的解析式，并作出的图象；
（2）根据图象，写出的单调区间，并写出的解集．
【答案】（1）解：设，，
，
所以时，，
（2）解：由图象可知，函数的单调递增区间是和，
函数的单调递减区间是和；
不等式，等价于
或，由图象解得：或或，
所以不等式的解集为.
18．已知某公司计划生产一批产品总共万件，其成本为(万元/万件)，其广告宣传总费用为4t万元，若将其销售价格定为万元/万件.
（1）将该批产品的利润(万元)表示为的函数；
（2）当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大 最大利润为多少万元
【答案】（1） 根据题意可列：
.
（2），
∴，
∴，
当时宣传费用为4万元，利润最大为68万元.
19．函数对任意，，总有，当时，，且．
（1）证明是奇函数；
（2）证明在上是单调递增函数；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）令，则，解得，
令，则，即，即，
易知的定义域为，关于原点对称，所以函数是奇函数；
（2）任取，，且，则，
因为当时，，所以，
则，即，所以函数是上的增函数；
（3）由，得，，又由是奇函数得.
由，得，因为函数是上的增函数，
所以，解得，故实数的取值范围为．
20．已知函数.
（1）若f(x)≥a对任意x∈[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.
（2）证明：.
【答案】（1）解：当x≥1时，.
当时，在区间[1，2)上单调递减，在区间上单调递增，
此时f(x)min=f（2）=4；
当时，在区间上单调递增，
此时.
综上，当x∈[1，+∞)时，f(x)min=4，
所以a≤4，即a的取值范围为(-∞，4].
（2）证明：因为，
当且仅当时，等号成立.
又，当且仅当x=2或-2时，等号成立，
所以，当且仅当x=2或-2时，等号成立.
又，当且仅当x=1时取等号，所以.
21．函数
（1）当是，是否存在实数，使得为奇函数；
（2）函数的图像过点，且的图像与轴负半轴有两个交点，求实数的取值范围.
【答案】（1）当a=0时，此时 ，
∴的定义域为，
∴，
若此时为奇函数 ，则，
即，故不存在实数c使得为奇函数.
（2）由函数的图像过点，∴，解得c=1，
令，则 ，则
∵的图像与轴负半轴有两个交点
∴方程在x轴负半轴有两个解.
∴，解得
又∵，此时，解得
综上所述：a的取值范围为
22．已知函数，其中．
（1）时，求函数的单调增区间；
（2）已知存在三个不相等的实数，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，解不等式，得，
当时，，此时单调递增；
当时，
，对称轴为直线，
此时在单调递减，在单调递增．
综上的单调递增区间为．
（2）解：由题意，可得函数至少有三个单调区间．
①当时，，
在单调递减，在单调递增．
此时不存在符合题意；
②当时，i），即时，恒成立，
则，在单调递减，在单调递增，
此时也不存在符合题意；
ⅱ），即时，记的两根为，
则，
在单调递减，在单调递增．
此时也不存在符合题意；
③当时，方程必有两根：
且，
则，
结合，得在单调递增，
在单调递减，在单调递增．
此时存在符合题意．
记，则有，
此时．
若，则，与矛盾，所以，
则为的两根，由韦达定理，得．
，此时．
无最小值；
无最小值，无最大值，但值小于1．
所以的取值范围为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
人教A版（2019）必修第一册第三章函数概念与性质 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C．和 D．
2．已知函数，则该函数在上的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，且满足，则（ ）
A． B．0 C．2 D．2023
7．我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的对称中心为，则（ ）
A．8088 B．4044 C． D．
8．对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知是定义在R上的奇函数，且为偶函数，若，则（ ）．
A． B． C． D．
10．已知函数是偶函数，且其定义域为，则（ ）
A． B．
C．函数的定义域为 D．函数的最大值为
11．若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．一定为正数 B．2是的一个周期
C．若，则 D．若在上单调递增，则
12．下列说法正确的是（ ）
A．偶函数的定义域为，则
B．一次函数满足，则函数的解析式为
C．奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为－1，则
D．若集合中至多有一个元素，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．已知和，其中，若对任意的成立，则所有的的值为 ．
14．已知函数为奇函数，则实数 .
15．已知函数，对任意两个不等实数，都有，则实数的取值范围是 .
16．是定义在上的奇函数，当时，，若对一切成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知为上的偶函数，当时，．
（1）求出时的解析式，并作出的图象；
（2）根据图象，写出的单调区间，并写出的解集．
18．已知某公司计划生产一批产品总共万件，其成本为(万元/万件)，其广告宣传总费用为4t万元，若将其销售价格定为万元/万件.
（1）将该批产品的利润(万元)表示为的函数；
（2）当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大 最大利润为多少万元
19．函数对任意，，总有，当时，，且．
（1）证明是奇函数；
（2）证明在上是单调递增函数；
（3）若，求实数的取值范围．
20．已知函数.
（1）若f(x)≥a对任意x∈[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围.
（2）证明：.
21．函数
（1）当是，是否存在实数，使得为奇函数；
（2）函数的图像过点，且的图像与轴负半轴有两个交点，求实数的取值范围.
22．已知函数，其中．
（1）时，求函数的单调增区间；
（2）已知存在三个不相等的实数，使得成立，求的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
