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人教A版（2019）必修第一册第一章集合与常用逻辑用语 单元培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．使不等式（2x+1）（x-3）≥0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x≥0 B．x<0或x>2
C．x∈ D．
2．集合，用列举法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．的充要条件是
C．
D．不是的充分条件
4．集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
6．设集合，U为整数集，（ ）
A． B．
C． D．
7．已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1
A．-3≤m≤4 B．-38．已知集合 满足：（ⅰ） ， ；（ⅱ） ，若 且 ，则 ；（ⅲ） ，若 且 ，则 .
给出以下命题：①若集合 中没有最大数，则集合 中有最小数；②若集合 中没有最大数，则集合 中可能没有最小数；③若集合 中有最大数，则集合 中没有最小数；④若集合 中有最大数，则集合 中可能有最小数.
其中，所有正确结论的序号是( )
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列结论正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“，有”的否定是“，使”
D．“是方程的实数根”的充要条件是“”
10．下列说法正确的是（ ）
A．“万事俱备，只欠东风”，则“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要不充分条件
B．若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件
C．方程有唯一解的充要条件是
D．表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，则“”是“”的充要条件
11．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
12．19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，，则称为的二划分，例如，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（ ）
A．设，，则为的二划分
B．设，，则为的二划分
C．存在一个的二划分，使得对于，，；对于，，
D．存在一个的二划分，使得对于，，，则；，，，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．给出下列选项，其中正确的有
①∈{{}}② {{}}③∈{}④{}
14．设集合若，则实数p的取值范围是 ．
15．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：
①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；
③集合为数域；④有理数集为数域；
真命题的个数为
16．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.若函数，则的“不动点”为 ，将的“稳定点”的集合记为，即，则集合 .
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知集合A={x|x2-3x-18≤0}，B={x|2m-3≤x≤m+2}．
（1）当m=0时，求A∩（CRB）；
（2）若B∩（CRA）=，求实数m的取值范围．
18．设集合.
（1）当时，求的非空真子集的个数；
（2）若，求的取值范围.
19．已知集合
（1）若写出的所有子集
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
20．已知集合，，.
（1）命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
21．已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
（1）试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
（2）如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；
（3）若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．
22．设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：
①；
②，若，则；
③，若，则．
（1）当时，判断是否为U的子集，说明理由；
（2）当时，若A为U的子集，求证：；
（3）当时，若A为U的子集，求集合A．
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人教A版（2019）必修第一册第一章集合与常用逻辑用语 单元培优卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．使不等式（2x+1）（x-3）≥0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x≥0 B．x<0或x>2
C．X∈ D．
【答案】C
【解析】 ，求得或，不等式的解集，则使不等式成立的充分不必要条件是集合的真子集，故选C.
故答案为：C.
2．集合，用列举法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，则，
可得，
又因为，可得
所以.
故答案为：B.
3．下列命题正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．的充要条件是
C．
D．不是的充分条件
【答案】A
【解析】A、命题“”的否定的求法：
存在量词换成全称量词，结论换成否定，
所以是“”，A正确；
B、当a=b=0时，a+b=0，但不成立，所以B错误；
C、当x=0时，x2=0，所以C错误；
D、a>1，b>1，则ab>1，充分性成立，D错误，
故答案为：A.
4．集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合A={x|x<-1或x≥3}，B={x|ax+1≤0，a∈Z}，
当a=0时，B=，此时 ，符合题意；
当a≠0时，若a>0，则B={x|x≤-，a∈Z}，
∵∴-<-1 解得0若a<0，则B={x|x≥-，a∈Z}∵∴-≥3， 解得
∵a∈Z ∴a∈，综上，实数a的取值范围是{0}.
故答案为：C.
5．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：命题“”为真命题，
当，即时，则恒成立，故符合题意；
当，即时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：C.
6．设集合，U为整数集，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知 分析可知A为被3除余1整数的集合，B为被3除余2整数的集合，
故当全集为整数，此时 为3的整数倍，即 .
故选：A.
7．已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1A．-3≤m≤4 B．-3【答案】D
【解析】若A∪B=A，且B≠ ,则有 ，即 ， 。
故答案为：D
8．已知集合 满足：（ⅰ） ， ；（ⅱ） ，若 且 ，则 ；（ⅲ） ，若 且 ，则 .
给出以下命题：①若集合 中没有最大数，则集合 中有最小数；②若集合 中没有最大数，则集合 中可能没有最小数；③若集合 中有最大数，则集合 中没有最小数；④若集合 中有最大数，则集合 中可能有最小数.
其中，所有正确结论的序号是( )
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B
【解析】若 ，
则集合 为所有小于等于 的有理数的集合，集合 为所有大于等于 的有理数的集合
无限接近 ，即集合 为所有大于 的有理数的集合
当集合 有最大数，即 有最大值时，大于 的有理数无最小数，可知③正确；
当集合 无最大数，即 时， 为集合 中的最小数；也可能 为无理数，则 ，集合 中无最小数，可知②正确
故答案为：B
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列结论正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“，有”的否定是“，使”
D．“是方程的实数根”的充要条件是“”
【答案】A,C,D
【解析】A、若x>1，则；若，则x>1或x<-1，所以“x>1”是“”的充分不必要条件，A正确；
B、若，则；若，则或且；所以“”是“”的充分不必要条件，B错误；
C、“，有”的否定是“，使”，C正确；
D、若是方程的实数根，则，若，则是方程的实数根，
所以“是方程的实数根”的充要条件是“”，D正确；
故答案为：ACD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．“万事俱备，只欠东风”，则“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要不充分条件
B．若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件
C．方程有唯一解的充要条件是
D．表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，则“”是“”的充要条件
【答案】A,B
11．当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【解析】当时，
与构成“全食”，
当时，
，
①，，
与构成“全食”，
②，，
与构成“偏食”，
③，，
与构成“全食”，
实数的取值可以是
故答案为：BCD.
12．19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，，则称为的二划分，例如，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（ ）
A．设，，则为的二划分
B．设，，则为的二划分
C．存在一个的二划分，使得对于，，；对于，，
D．存在一个的二划分，使得对于，，，则；，，，则
【答案】B,C,D
【解析】对于A选项，因为 ，， 所以 ， 则不为 的二划分，故A错误；
对于B选项，因为 ，
由于(2m+3)·2n≠2k ，k，m，n∈N，所以A∩B= ，A∪B=N* ，则为的二划分，故B正确；
对于C选项，存在A={x|x=2k-1，k∈N*} ，B={x|x=2k，k∈N*} ，使得对于，对于，故C正确；
对于D选项，存在A={x|x=3k+1，k∈N*} ，B={x|x=3k或x=3k-1，k∈N*} 或 ，使得对于 ，则x+y∈B， ，则p+q∈A ，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．给出下列选项，其中正确的有
①∈{{}}② {{}}③∈{}④{}
【答案】②③④
【解析】对于①，{{}} ，故 (1) 错误；
对于②， {{}} ，故 ②正确；
对于③， {{}} ，故③正确；
对于④， {} ，故④正确.
故答案为：②③④.
14．设集合若，则实数p的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 推出则p-1-2，即p-1；当N为空集时也满足，即p-12p+1，所以p-2，综上.
故答案为：.
15．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：
①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；
③集合为数域；④有理数集为数域；
真命题的个数为
【答案】3
【解析】①a=b时，a-b=0属于数域，故①正确；
②若数域F有非零元素，则当a=b时，a/b=1∈F，所以1+1，2+1，3+1，……2020+1都是F的元素，故②正确；
③若由集合P可知，x是3的倍数，当a=6，b=3时，a/b=2 F，故③错误；
④若F是有理数集，则当a，b∈F，都有a+b，a-b，ab∈F，且当b≠0时，a/b∈F，都成立，故④正确；
所以真命题的个数为3，
故答案为：3.
16．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.若函数，则的“不动点”为 ，将的“稳定点”的集合记为，即，则集合 .
【答案】-1.3；.
【解析】【解答】空一：令，得或。
空二：由，且，得，即，也即，解得。
故答案为：；。
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知集合A={x|x2-3x-18≤0}，B={x|2m-3≤x≤m+2}．
（1）当m=0时，求A∩（CRB）；
（2）若B∩（CRA）=，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：A={x|-3≤x≤6}，m=0时，B={x|-3≤x≤2}，∴CRB={x|x＜-3或x＞2}，A∩（CRB）={x|2＜x≤6}；
（2）解：CRA={x|x＜-3或x＞6}，且B∩（CRA）= ，∴①B= 时，2m-3＞m+2，解得m＞5；②B≠ 时，，解得0≤m≤4，综上得，实数m的取值范围为{m|0≤m≤4或m＞5}．
18．设集合.
（1）当时，求的非空真子集的个数；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题知，，
当时，共8个元素，
的非空真子集的个数为个；
（2）解：由题知，
显然，
因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
19．已知集合
（1）若写出的所有子集
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，
若，则，此时，
所以子集为.
（2）解：若是的必要条件，只需.
①若中没有元素即，
则，此时，满足；
②若中只有一个元素，则，此时．
则，此时满足；
③若中有两个元素，则，此时．
因为中也有两个元素，且，则必有，
由韦达定理得，则，矛盾，故舍去．
综上所述，当时，．
所以实数的取值范围：．
20．已知集合，，.
（1）命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，
因为命题：“，都有”是真命题，所以，
因为，
所以当时，，则，即；
当时，，显然是的真子集.
综上，或.
（2）解：由可得，
当时，，即；
当时，，无解；
当时，，无解；
当时，，解得；
综上，的取值范围或.
21．已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
（1）试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
（2）如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；
（3）若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．
【答案】（1）解：因为，
对于集合，令，解得，显然，，
所以是集合的“期待子集”；
对于集合，令，则，
因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”；
（2）解：先证明必要性：
当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，
不妨设，令，，，则，即条件中的①成立；
又，所以，即条件中的②成立；
因为，
所以为偶数，即条件中的③成立；
所以集合满足条件.
再证明充分性：
当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数，
记，，，
由③得，由①得，由②得，
所以，
因为，，，所以，，均属于，
即集合是集合的“期待子集”.
（3）解：的最小值为，理由如下：
一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由（2）知，不是的“期待子集”；
当时，对于集合，
从中任取三个不同的元素，若不含有，则不满足条件的③，
若含有，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差（大数减小数）都不小于，
故不满足条件中的②，所以不是的“期待子集”；
所以.
另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”：
（I）当时，对于集合的任意含有个元素的子集，记为，
当、、三个数中恰有个属于时，则，因为数组、、、、都满足条件，
当三个数都属于，因为数组满足条件，
所以此时集合必是集合的“期待子集”，
所以当时的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”.
（II）假设当时结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集，
分成两类，①若，至多有个属于，则中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立；
②若，，则集合中恰含的个元素，此时，当中只有一个奇数时，则集合中包含中的所有偶数，此时数组，，符合条件，结论成立；
当集合中至少有两个奇数时，则必有一个奇数不小于，此时数组，，符合条件，结论成立，所以时结论成立，
根据（I）（II）知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，所以的最小值为
22．设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：
①；
②，若，则；
③，若，则．
（1）当时，判断是否为U的子集，说明理由；
（2）当时，若A为U的子集，求证：；
（3）当时，若A为U的子集，求集合A．
【答案】（1）解：当时，，，，
取，则，但，不满足性质②，
所以不是U的子集.
（2）解：当时，A为U的子集，
则；
假设，设，即
取，则，但，不满足性质②，
所以，；
假设，
取，，且，则，
再取，，则，
再取，，且，
但与性质①矛盾，
所以.
（3）解：由（2）得，当时，若A为U的子集，，，，
所以当时，，
若A为U的子集，，，；
若，取，，则，，
再取，，则，与矛盾，
则，；
若，取，，则，与矛盾，则，；
若，取，，则，与矛盾，则，；
若，取，，则，与矛盾，则，；
取，，则，；
取，，则；
取，，则，；
取，，则；
取，，则，；
综上所述，集合.
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