14.1 整式的乘法本节综合题（含解析）
文档属性
| 名称 | 14.1 整式的乘法本节综合题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 854.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-02 09:52:26 | ||
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文档简介
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14.1 整式的乘法本节综合题
一、填空题
1．计算： ．
2．若an＝3，bn＝4，则 （ab）2n＝ ．
3．用如图1所示的张长为，宽为（）的小长方形纸片，按图的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度发生变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变．则，之间满足的关系式为 ．
二、单选题
4．下列运算，正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2 B．a2 a3＝a6
C．a3+a4＝a12 D．（﹣3a）2＝9a2
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．化简的结果等于（ ）
A． B． C． D．
7．计算﹣（a2b）3+2a2b （﹣3a2b）2的结果为（ ）
A．﹣17a6b3 B．﹣18a6b3 C．17a6b3 D．18a6b3
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．记 ，则 （ ）
A．一个偶数 B．一个质数
C．一个整数的平方 D．一个整数的立方
10．若 的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2．
三、解答题
11．先化简，再求值：（2a+3）（a﹣2）﹣a（2a﹣3），其中a=﹣2．
12．已知25m×2×10n=57×24，求m，n的值.
13．若a=255，b=344，c=433，d=522，试比较a，b，c，d的大小。
四、计算题
14．计算：
（1）
（2）
15．计算：
（1） ；
（2） ．
16．计算：（1）
五、作图题
17．根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法，例如(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq可以用图(1)表示：
（1）根据图(2)，写出一个多项式乘以多项式的等式.
（2）从A、B两题中任选一题作答.
A．请画一个几何图形，表示(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，并仿照上图标明相应的字母.
B．请画一个几何图形，表示(x-p)(x-q)=x2-(p+q)x+pq，并仿照上图标明相应的字母.
六、综合题
18．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：
（1）求所捂的二次三项式；
（2）若x=+1，求所捂二次三项式的值．
19．直接写出下列各题的答案：
（1） ； ； ；
（2） ； ； .
（3）若n为正整数，则 ；
（4）求 .
20．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是 ，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了 的展开式（按 的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的 个数 ，恰好对应着 展开式中的各项系数，第四行的 个数 ，恰好对应着 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：
（1）写出 的展开式；
（2）利用整式的乘法验证你的结论．
七、实践探究题
21．阅读材料：
求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2，
得2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014．
将下式减去上式，得2S﹣S=22014-1
即S=22014-1，
即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1
仿照此法计算：
（1）1+3+32+33+…+3100
（2）1+ +…+ ．
答案解析部分
1．【答案】
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用同底数幂的除法计算即可。
2．【答案】144
【解析】【解答】解：∵an＝3，bn＝4，
∴ ，
∴ ．
故答案为：144．
【分析】根据积的乘方及幂的运算，可得，然后代入计算即可.
3．【答案】
【解析】【解答】解：设左上角阴影部分的长为x，宽为5b，
则右下角阴影部分的长为x+a-3b，宽为a，
∴阴影部分面积之差为：S=5bx-a（x+a-3b）
=5bx-ax-a2+3ab
=（5b-a）x-a2+3ab，
x变化，S不变，则S与x无关，
则5b-a=0，即a=5b.
故答案为：a=5b.
【分析】设左上角阴影部分的长为x，宽为5b，则右下角阴影部分的长为x+a-3b，宽为a，列式表示阴影部分面积之差，可得x变化，S不变，则S与x无关，则5b-a=0，即a=5b.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、a+2a=3a，故答案为：错误；
B、，故答案为：错误；
C、a3与a4不是同类项，无法合并，故答案为：错误；
D、，正确.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方分别计算，再判断即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：A、 ，原计算正确，故此选项符合题意；
B、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、 ，原计算错误，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的乘法逐项判断即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：2a3+a2·a=2a3+a3=3a3.
故答案为：A.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算.
7．【答案】C
【解析】【解答】﹣（a2b）3+2a2b （﹣3a2b）2=﹣a6b3+2a2b 9a4b2=﹣a6b3+18a6b3=17a6b3．故选：C．
【分析】先按照单项式乘单项式以及积的乘方与幂的乘方法则计算，再合并整式中的同类项即可．
8．【答案】C
【解析】【解答】A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项符合题意；
D、 ，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法及除法，多项式乘以多项式，积的乘方分别计算，再判断即可.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是一个整数的平方；
故答案为：C.
【分析】本题利用平方差公式计算即可，关键在等式两边同时乘（3-1）。
10．【答案】A
【解析】【解答】 =x2+(m-1)x-m，而计算结果不含x项，则m-1=0，得m=1.
【分析】先利用多项式乘以多项式的法则展开，得到x2-x+mx-m，再把m看作常数合并关于x的同类项，得到x2+(m-1)x-m，根据结果不含x项，令x的系数为0，得到关于m的方程，求出m的值即可.
11．【答案】解：原式=2a2﹣4a+3a﹣6﹣2a2+3a=2a﹣6，
当a=﹣2时，原式=﹣4﹣6=﹣10．
【解析】【分析】原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
12．【答案】解：原式=52m×2×2n×5n=52m+n×21+n=57×24，
解得
【解析】【分析】观察等式左右两边幂的底数，均可以转化为以5和2为底的幂，再根据等式的性质即可得到关于m和n的二元一次方程组求解即可.
13．【答案】解：∵a=（25）11=3211；
b=（34）11=811；
c=（43）1l=6411
d=（52）1l=2511；
∴b>c>a>d
【解析】【分析】 观察a、b、c所表示的幂特征，指数均为11的的倍数，根据幂的乘方运算法则将它们分别表示为以11为指数的幂，再比较大小即可.
14．【答案】（1）解：原式=1+（-7）+1
（2）解： 原式
【解析】【分析】（1）运用非零实数的零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方等运算法则，先算乘方，然后算除法，最后从左到右计算即可.
（2）先根据幂的乘方、同底数幂的乘法和除法的运算法则计算，再合并同类项即可.
15．【答案】（1）解：
=
= ；
（2）解：
= ．
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方和积的乘方进行运算即可；（2）根据积的乘方进行运算即可．
16．【答案】解：原式=
=
=0.4
=0.4－6
=﹣5.4
【解析】【分析】利用根式的运算性质： 将原式部分转化为有理数指数幂的形式，接着化简即可
17．【答案】（1）解：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2
（2）解：A.画出的图形如下
B.画出的图形如下
【解析】【分析】（1）利用长方形的面积公式列式即可，根据多项式法则进行计算；（2）仿照图（1）画图确定长方形的边长.
18．【答案】（1）解：设所捂的二次三项式为A，根据题意得：A=x2﹣5x+1+3x=x2﹣2x+1；
（2）解：当x=+1时，原式=7+2﹣2﹣2+1=6．
【解析】【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
（2）把x的值代入计算即可求出值．
19．【答案】（1）；-1；
（2）-2t；；-18
（3）0
（4）解：
=
=
=
=
= .
【解析】【解答】解：（1） ；
-1；
；
故答案为： ；-1；
（2） -2t；
；
.
故答案为：-2t； ；-18
（3）若n为正整数，则 ；
故答案为：0；
【分析】（1）根据有理数的乘方法则计算即可；
（2）根据合并同类项法则可得第一空的答案；根据有理数的乘除法法则可得第二空的答案；根据有理数的乘方法则以及减法法则可得第三空的答案；
（3）根据有理数的乘方法则可得(-1)2n=1，(-1)2n+1=-1，据此计算；
（4）根据积的乘方的逆运算及同底数幂的乘法法则的逆运算可得原式=(-0.125)×(-0.125×8)2020 ，计算即可.
20．【答案】（1）
（2）解：方法一：
=
方法二：
=
=
=
【解析】【分析】(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可.
21．【答案】（1）解：设S=1+3+32+33+…+3100，
两边乘以3得：3S=3+32+33+34+35+…+3100+3101，
将下式减去上式，得3S﹣S=3101﹣1
即S= ，
即1+3+32+33+34+…+3100=
（2）解：设S=1+ + + +…+ ，
两边乘以 得： S= + + ，
将下式减去上式得：﹣ S= ﹣1，
解得：S=2﹣ ，
即1+ + + +…+ =2﹣
【解析】【分析】（1）设S=1+3+32+33+…+3100，两边乘以3得出3S=3+32+33+34+35+…+3100+3101，将下式减去上式即可得出答案；（2）设S=1+ + + +…+ ，两边乘以 得出 S= + + ，将下式减去上式即可得出答案．
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14.1 整式的乘法本节综合题
一、填空题
1．计算： ．
2．若an＝3，bn＝4，则 （ab）2n＝ ．
3．用如图1所示的张长为，宽为（）的小长方形纸片，按图的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度发生变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变．则，之间满足的关系式为 ．
二、单选题
4．下列运算，正确的是（ ）
A．a+2a＝3a2 B．a2 a3＝a6
C．a3+a4＝a12 D．（﹣3a）2＝9a2
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．化简的结果等于（ ）
A． B． C． D．
7．计算﹣（a2b）3+2a2b （﹣3a2b）2的结果为（ ）
A．﹣17a6b3 B．﹣18a6b3 C．17a6b3 D．18a6b3
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．记 ，则 （ ）
A．一个偶数 B．一个质数
C．一个整数的平方 D．一个整数的立方
10．若 的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2．
三、解答题
11．先化简，再求值：（2a+3）（a﹣2）﹣a（2a﹣3），其中a=﹣2．
12．已知25m×2×10n=57×24，求m，n的值.
13．若a=255，b=344，c=433，d=522，试比较a，b，c，d的大小。
四、计算题
14．计算：
（1）
（2）
15．计算：
（1） ；
（2） ．
16．计算：（1）
五、作图题
17．根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法，例如(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq可以用图(1)表示：
（1）根据图(2)，写出一个多项式乘以多项式的等式.
（2）从A、B两题中任选一题作答.
A．请画一个几何图形，表示(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，并仿照上图标明相应的字母.
B．请画一个几何图形，表示(x-p)(x-q)=x2-(p+q)x+pq，并仿照上图标明相应的字母.
六、综合题
18．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：
（1）求所捂的二次三项式；
（2）若x=+1，求所捂二次三项式的值．
19．直接写出下列各题的答案：
（1） ； ； ；
（2） ； ； .
（3）若n为正整数，则 ；
（4）求 .
20．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是 ，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了 的展开式（按 的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第三行的 个数 ，恰好对应着 展开式中的各项系数，第四行的 个数 ，恰好对应着 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数学知识，解决下列问题：
（1）写出 的展开式；
（2）利用整式的乘法验证你的结论．
七、实践探究题
21．阅读材料：
求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2，
得2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014．
将下式减去上式，得2S﹣S=22014-1
即S=22014-1，
即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1
仿照此法计算：
（1）1+3+32+33+…+3100
（2）1+ +…+ ．
答案解析部分
1．【答案】
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用同底数幂的除法计算即可。
2．【答案】144
【解析】【解答】解：∵an＝3，bn＝4，
∴ ，
∴ ．
故答案为：144．
【分析】根据积的乘方及幂的运算，可得，然后代入计算即可.
3．【答案】
【解析】【解答】解：设左上角阴影部分的长为x，宽为5b，
则右下角阴影部分的长为x+a-3b，宽为a，
∴阴影部分面积之差为：S=5bx-a（x+a-3b）
=5bx-ax-a2+3ab
=（5b-a）x-a2+3ab，
x变化，S不变，则S与x无关，
则5b-a=0，即a=5b.
故答案为：a=5b.
【分析】设左上角阴影部分的长为x，宽为5b，则右下角阴影部分的长为x+a-3b，宽为a，列式表示阴影部分面积之差，可得x变化，S不变，则S与x无关，则5b-a=0，即a=5b.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、a+2a=3a，故答案为：错误；
B、，故答案为：错误；
C、a3与a4不是同类项，无法合并，故答案为：错误；
D、，正确.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方分别计算，再判断即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：A、 ，原计算正确，故此选项符合题意；
B、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、 ，原计算错误，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的乘法逐项判断即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：2a3+a2·a=2a3+a3=3a3.
故答案为：A.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算.
7．【答案】C
【解析】【解答】﹣（a2b）3+2a2b （﹣3a2b）2=﹣a6b3+2a2b 9a4b2=﹣a6b3+18a6b3=17a6b3．故选：C．
【分析】先按照单项式乘单项式以及积的乘方与幂的乘方法则计算，再合并整式中的同类项即可．
8．【答案】C
【解析】【解答】A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项符合题意；
D、 ，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法及除法，多项式乘以多项式，积的乘方分别计算，再判断即可.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是一个整数的平方；
故答案为：C.
【分析】本题利用平方差公式计算即可，关键在等式两边同时乘（3-1）。
10．【答案】A
【解析】【解答】 =x2+(m-1)x-m，而计算结果不含x项，则m-1=0，得m=1.
【分析】先利用多项式乘以多项式的法则展开，得到x2-x+mx-m，再把m看作常数合并关于x的同类项，得到x2+(m-1)x-m，根据结果不含x项，令x的系数为0，得到关于m的方程，求出m的值即可.
11．【答案】解：原式=2a2﹣4a+3a﹣6﹣2a2+3a=2a﹣6，
当a=﹣2时，原式=﹣4﹣6=﹣10．
【解析】【分析】原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
12．【答案】解：原式=52m×2×2n×5n=52m+n×21+n=57×24，
解得
【解析】【分析】观察等式左右两边幂的底数，均可以转化为以5和2为底的幂，再根据等式的性质即可得到关于m和n的二元一次方程组求解即可.
13．【答案】解：∵a=（25）11=3211；
b=（34）11=811；
c=（43）1l=6411
d=（52）1l=2511；
∴b>c>a>d
【解析】【分析】 观察a、b、c所表示的幂特征，指数均为11的的倍数，根据幂的乘方运算法则将它们分别表示为以11为指数的幂，再比较大小即可.
14．【答案】（1）解：原式=1+（-7）+1
（2）解： 原式
【解析】【分析】（1）运用非零实数的零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方等运算法则，先算乘方，然后算除法，最后从左到右计算即可.
（2）先根据幂的乘方、同底数幂的乘法和除法的运算法则计算，再合并同类项即可.
15．【答案】（1）解：
=
= ；
（2）解：
= ．
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方和积的乘方进行运算即可；（2）根据积的乘方进行运算即可．
16．【答案】解：原式=
=
=0.4
=0.4－6
=﹣5.4
【解析】【分析】利用根式的运算性质： 将原式部分转化为有理数指数幂的形式，接着化简即可
17．【答案】（1）解：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2
（2）解：A.画出的图形如下
B.画出的图形如下
【解析】【分析】（1）利用长方形的面积公式列式即可，根据多项式法则进行计算；（2）仿照图（1）画图确定长方形的边长.
18．【答案】（1）解：设所捂的二次三项式为A，根据题意得：A=x2﹣5x+1+3x=x2﹣2x+1；
（2）解：当x=+1时，原式=7+2﹣2﹣2+1=6．
【解析】【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
（2）把x的值代入计算即可求出值．
19．【答案】（1）；-1；
（2）-2t；；-18
（3）0
（4）解：
=
=
=
=
= .
【解析】【解答】解：（1） ；
-1；
；
故答案为： ；-1；
（2） -2t；
；
.
故答案为：-2t； ；-18
（3）若n为正整数，则 ；
故答案为：0；
【分析】（1）根据有理数的乘方法则计算即可；
（2）根据合并同类项法则可得第一空的答案；根据有理数的乘除法法则可得第二空的答案；根据有理数的乘方法则以及减法法则可得第三空的答案；
（3）根据有理数的乘方法则可得(-1)2n=1，(-1)2n+1=-1，据此计算；
（4）根据积的乘方的逆运算及同底数幂的乘法法则的逆运算可得原式=(-0.125)×(-0.125×8)2020 ，计算即可.
20．【答案】（1）
（2）解：方法一：
=
方法二：
=
=
=
【解析】【分析】(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可.
21．【答案】（1）解：设S=1+3+32+33+…+3100，
两边乘以3得：3S=3+32+33+34+35+…+3100+3101，
将下式减去上式，得3S﹣S=3101﹣1
即S= ，
即1+3+32+33+34+…+3100=
（2）解：设S=1+ + + +…+ ，
两边乘以 得： S= + + ，
将下式减去上式得：﹣ S= ﹣1，
解得：S=2﹣ ，
即1+ + + +…+ =2﹣
【解析】【分析】（1）设S=1+3+32+33+…+3100，两边乘以3得出3S=3+32+33+34+35+…+3100+3101，将下式减去上式即可得出答案；（2）设S=1+ + + +…+ ，两边乘以 得出 S= + + ，将下式减去上式即可得出答案．
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