2024北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习--1.1　利用函数性质判定方程解的存在性

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2024北师大版新教材高中数学必修第一册
第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
基础过关练
题组一　求函数的零点
1.下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)
2.(2022四川成都实验外国语学校月考)一元二次函数y=2x2+x-1的零点是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.,-1 B.-,1
C.,(1,0) D.,(-1,0)
3.(2020广东仲元中学期末)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　)
A.,0 B.-2,0 C. D.0
4.(多选)下列函数不存在零点的是(　　)
A.y=x- B.y=
C.y= D.y=
5.如果2是函数f(x)=ax+b的一个零点,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是　　　　.
题组二　函数零点(方程的解)个数的判断
6.若函数f(x)在定义域{x|x∈R,且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有(　　)
A.一个 B.两个
C.至少两个 D.无法判断
7.(多选)(2021陕西宝鸡期中)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,则下列说法中不正确的是(　　)
A.若f(a)·f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
B.若f(a)·f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0
C.若f(a)·f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
D.若f(a)·f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
8.(2020江西九江一中期中)方程|lg x|+x-2=0的解的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
9.判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点个数.
题组三　确定函数零点(方程的解)所在区间
10.(2020广东惠州期中)函数f(x)=-的零点所在的区间为(　　)
A. B. C. D.
11.(多选)若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,则下列说法一定正确的是 (　　)
A.函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点
B.函数f(x)在(3,5)内无零点
C.函数f(x)在[2,5)内有零点
D.函数f(x)在[2,4)内不一定有零点
12.(2020河北邯郸月考)图象为一条连续的曲线的函数f(x)的部分对应值如表所示,
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) 11 7 -2 1 6 3 -4 -3 -2
则函数f(x)有零点的区间是　.
13.设x0是方程ln x+x=4的解,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=　　　　.
14.求证:方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.
题组四　函数零点的分布问题
15.(2020山东泰安一中月考)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则(　　)
A. f(x1)<0,f(x2)<0
B. f(x1)<0,f(x2)>0
C. f(x1)>0,f(x2)<0
D. f(x1)>0,f(x2)>0
16.(2020山东济南历城第二中学期末)已知函数f(x)=ln x-m的零点x0位于区间(1,e)内,则实数m的取值范围是　　　　.
17.已知函数f(x)=x2-ax+2,在下列条件下,求实数a的取值范围.
(1)零点均小于2;
(2)一个零点大于2,一个零点小于2;
(3)在(2,4)内恰有一个零点.
能力提升练
题组一　函数的零点(方程的解)及个数问题
1.(2022广西柳州联考)下列函数在(0,+∞)上单调递增且存在零点的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=x2-x-3 B.y=-0.2x
C.y=x+ D.y=x-
2.(2020四川成都期中)已知f(x)=-x2+2x+1,g(x)=|ln x|,则方程f(x)-g(x)=0的实数根个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
3.(2020河北唐山一中期中)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-1的零点个数为(　　)
A.1 B.3
C.4 D.6
4.(2020河南商丘联考)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0A.1-2-a B.2a-1
C.1-2a D.2-a-1
5.(2020天津南开期末)已知三个函数f(x)=2x+x-2,g(x)=x3-8,h(x)=log2x+x-2的零点依次为a,b,c,则a+b+c=(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
6.已知函数f(x)=则函数g(x)=(x-2)f(x)-2x+1的零点个数为　　　　.
7.(2020福建宁德统考)已知函数f(x)=.
(1)当a=1时,判断函数f(x)的奇偶性并证明;
(2)讨论函数f(x)的零点个数.
8.(2020广西桂林检测)已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:
①对于任意x∈[0,1], f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值;
(2)函数g(x)=f(x)-2x-在上有没有零点 若有,求出零点;若没有,请说明理由.
题组二　函数零点(方程的解)所在区间
9.(2020黑龙江哈师大附中月考)若函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,其零点分别为x1,x2,…,x2 017,且x1+x2+…+x2 017=m,则关于x的方程2x+x-2=m的根所在区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
10.设a1,a2,a3均为正数,λ1<λ2<λ3,则函数f(x)=++的两个零点所在的区间分别是(　　)
A.(-∞,λ1),(λ1,λ2)
B.(λ1,λ2),(λ2,λ3)
C.(λ2,λ3),(λ3,+∞)
D.(-∞,λ1),(λ3,+∞)
11.设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是　　　　.
题组三　根据函数零点(方程的解)的情况求参
12.若函数y=+m有零点,则实数m的取值范围是　　(　　)
A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)
C.[-1,0) D.(0,+∞)
13.若函数f(x)=(2ax-1)2-loga(ax+2)在区间上恰有一个零点,则实数a的取值范围是(　　)
A. B.[3,+∞)
C.[2,3] D.[2,3)
14.(多选)(2020山东临沂罗庄期中)若关于x的方程ax2-|x|+a=0有4个不同的实数解,则实数a的值可能是(　　)
A. B. C. D.
15.(2020山东济钢高中月考)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是　　　　.
16.若函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是　　　　.
17.(2020河南商丘九校联考)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3互不相等),则x1+x2+x3的取值范围是(　　)
A.(0,8) B.(1,3) C.(3,4] D.(1,8]
18.(2020江西九江一中期末)已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-bf(x)+1=0有8个不同的根,则实数b的取值范围是(　　)
A.
B.(-∞,-2)∪
C.
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
19.(2020湖南张家界期末)已知函数f(x)=|x2-4|+x2+ax,a∈R.
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)当a=4时,求函数f(x)的零点;
(3)若方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根x1,x2(x1答案与分层梯度式解析
第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
基础过关练
1.A　
2.A　令2x2+x-1=0,即(2x-1)(x+1)=0,解得x=或x=-1.故选A.
3.D　当x≤1时,令2x-1=0,得x=0;当x>1时,令1+log2x=0,得x=,舍去.综上所述,函数f(x)的零点为0.故选D.
4.BD　A选项中,令y=0,解得x=±1,故-1和1是函数y=x-的零点;
B选项中,令y=0,则2x2-x+1=0,因为Δ=(-1)2-4×2×1=-7<0,
所以函数y=无零点;
C选项中,令y=0,解得x=±1,故-1和1是函数y=的零点;
D选项中,令y=0,方程无解,故函数y=无零点.故选BD.
5.答案　0,-
解析　∵2是函数f(x)=ax+b的一个零点,
∴2a+b=0,即b=-2a,
∴g(x)=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1),
令-ax(2x+1)=0,得x=0或x=-,
∴函数g(x)=bx2-ax的零点是0,-.
6.B　f(x)在(0,+∞)上是减函数, f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上有且仅有一个零点-2.因此函数f(x)有两个零点.
7.ABD　对于函数f(x)=x2, x∈[-1,1],f(-1)·f(1)>0,但f(0)=0,故A中说法不正确,C中说法正确;对于函数f(x)=x3-x,x∈[-2,2],f(-2)·f(2)<0,但f(0)=f(-1)=f(1)=0,故B中说法不正确;由零点存在定理知D中说法不正确.
易错警示
　　在使用零点存在定理时,一定要注意它的使用条件.满足条件时,能够判断函数存在零点,但是不满足条件时,函数也可能存在零点.
8.C　由|lg x|+x-2=0得|lg x|=2-x,在同一平面直角坐标系内作出y=|lg x|的图象与y=2-x的图象,如图所示,
由图可知y=|lg x|的图象与y=2-x的图象有两个交点,所以方程|lg x|+x-2=0有两个解,故选C.
9.解析　解法一:函数对应的方程为ln x+x2-3=0,故原函数的零点个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点个数.
在同一平面直角坐标系中,作出两个函数的图象(如图).
由图象知,函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点,从而ln x+x2-3=0只有一个根,即函数f(x)=ln x+x2-3有且只有一个零点.
解法二:∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0,
f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,
∴f(1)·f(2)<0,
又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的,∴f(x)在(1,2)上必有零点,
又f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,
∴函数的零点有且只有一个.
10.D　易知函数f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,且其图象是一条连续的曲线.
因为f =-4=-4<0, f(1)=-2=-1<0,f =-=-<0, f(2)=-1>0,
所以f ·f(2)<0,
根据零点存在定理可知,函数f(x)=-的零点所在的区间为.故选D.
11.ABD　由题意得函数在(1,3)内有零点,在[3,5)内无零点,所以A、B、D一定正确,C不一定正确.故选ABD.
12.答案　(2,3),(3,4),(6,7)
解析　由零点存在定理可知,函数f(x)有零点的区间是(2,3),(3,4),(6,7).
13.答案　2
解析　令f(x)=ln x+x-4,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,且其图象是一条连续的曲线,
∵f(2)=ln 2-2<0, f(3)=ln 3-1>0,
∴f(x)仅在(2,3)内有零点,
∴k=2.
14.证明　由题意得方程5x2-7x-1=0的判别式Δ=69>0,故方程共有两个不相等的实数根.
设f(x)=5x2-7x-1,则f(-1)=5+7-1=11, f(0)=-1, f(1)=5-7-1=-3, f(2)=20-14-1=5.
∵f(-1)·f(0)=-11<0, f(1)·f(2)=-15<0,且f(x)=5x2-7x-1的图象在R上是连续不断的,
∴f(x)在(-1,0)和(1,2)上分别有零点,
即方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.
15.B　∵函数y=2x,y=在(1,+∞)上均为增函数,∴函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,
∴由x1∈(1,x0), f(x0)=0,得f(x1)由x2∈(x0,+∞), f(x0)=0,得f(x2)>f(x0)=0.
16.答案　(0,1)
解析　令f(x)=ln x-m=0,得m=ln x.因为x0∈(1,e),所以ln x0∈(0,1),故m∈(0,1).
17.解析　(1)根据题意得
解得a≤-2或2≤a<3,
即实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[2,3).
(2)根据题意得f(2)=6-2a<0,解得a>3,
即实数a的取值范围为(3,+∞).
(3)根据题意得f(2)f(4)=(6-2a)(18-4a)<0或解得3综上所述,实数a的取值范围为.
能力提升练
1.D　y=x-在(0,+∞)上单调递增,且当x=1时,y=0,故存在零点,符合要求.故选D.
2.C　在同一平面直角坐标系内作出f(x),g(x)的图象,如图所示.
由图可知两个函数的图象有两个交点,所以方程f(x)-g(x)=0有两个实数根,故选C.
3.C　令f(x)=1,当x∈(-1,3)时,|log2(x+1)|=1,解得x1=-,x2=1.当x∈[3,+∞)时,=1,解得x3=5.综上, f(x)=1的解为x1=-,x2=1,x3=5.作出f(x)的图象如图所示.
由图象可得f(x)=-无解,f(x)=1有3个解,f(x)=5有1个解,因此函数g(x)=f (f(x))-1的零点个数为4,故选C.
4.C　函数F(x)=f(x)-a的零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点横坐标.在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象和直线y=a,如图所示.
由图象知,当0且x1+x2=-6,x4+x5=6, f(x3)=a(-1由f(x3)=a及f(x)为奇函数,得f(-x3)=-a(0<-x3<1),
所以lo(-x3+1)=-a,即x3=1-2a.
因此x1+x2+x3+x4+x5=1-2a,故选C.
5.C　令f(x)=2x+x-2=0,h(x)=log2x+x-2=0,则2x=2-x,log2x=2-x,即a,c分别为直线y=2-x与函数y=2x,y=log2x图象交点(设为A,C)的横坐标.因为y=2x,y=log2x互为反函数,所以其图象关于直线y=x对称,而直线y=2-x与y=x垂直,所以AC的中点即为直线y=2-x与y=x的垂足,坐标为(1,1),故a+c=2.又由题意得b3-8=0,解得b=2,所以a+b+c=4,故选C.
6.答案　3
解析　由g(x)=(x-2)f(x)-2x+1=0,g(2)=-3≠0,得f(x)==2+,作出函数y=f(x)=与y=2+的图象,如图所示,
由图象可知两个函数图象共有3个交点,故函数g(x)的零点个数为3.
7.解析　(1)当a=1时,函数f(x)=,该函数为奇函数.
证明如下:依题意得函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,
因为f(-x)===-=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(2)f(x)===a-,
令f(x)=0,得a=,
因为函数y=2x在R上单调递增且值域为(0,+∞),
所以y=在R上单调递减且值域为(0,2),
所以当a≤0或a≥2时,函数f(x)无零点;
当08.解析　(1)在条件③中,令x1=x2=0,
得f(0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,
由条件①知f(0)≥0,所以f(0)=0.
(2)没有.理由如下:
任取x1,x2∈[0,1],且x1则x2-x1∈(0,1],则f(x2-x1)≥0,
所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x1)≥f(x1),
所以f(x)在[0,1]上为增函数,
所以f(x)的最大值是f(1)=1.
取x∈,则2x≥2×=1,
所以对一切实数x∈,都有f(x)≤2x,
所以对一切实数x∈,都有f(x)<2x+,
即对一切实数x∈,都有f(x)-2x-<0,
所以函数g(x)=f(x)-2x-在上没有零点.
9.A　因为函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,所以x1与x2 017,x2与x2 016,……,x1 008与x1 010关于y轴对称,且x1 009=0,所以x1+x2+…+x2 017=m=0,则关于x的方程为2x+x-2=0.
令h(x)=2x+x-2,
易知h(x)在R上递增,且其图象是一条连续的曲线.
因为h(0)=20+0-2=-1<0,h(1)=21+1-2=1>0,
所以关于x的方程2x+x-2=m的根所在区间是(0,1),故选A.
10.B　由已知得,当x∈(-∞,λ1)时,x-λ1,x-λ2,x-λ3的值均小于0,故f(x)<0,故f(x)在该区间内不存在零点;当x∈(λ3,+∞)时,x-λ1,x-λ2,x-λ3的值均大于0,故f(x)在该区间内不存在零点,故两个零点所在的区间分别是(λ1,λ2),(λ2,λ3),故选B.
11.答案　(1,2)
解析　设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,
因为f(1)=1-=-1<0, f(2)=8-=7>0,所以f(1)·f(2)<0,又f(x)在R上是增函数,且其图象是一条连续的曲线,所以f(x)存在唯一零点x0,所以x0∈(1,2).
12.C　因为函数y=+m有零点,
所以方程+m=0有解,
即方程=-m有解,
因为|x-1|≥0,所以0<≤1,
即0<-m≤1,因此-1≤m<0,故选C.
13.D　函数f(x)在区间上有零点的充分条件为f(0)f ≤0,即(1-loga2)·(1-loga3)≤0,
则或
解得2≤a≤3.
当a=3时,f(x)=(6x-1)2-log3(3x+2),
显然函数f(x)在区间上的图象是一条不间断的曲线,且f =1-1=0, f(0)=1-log32>0,
f =-log3=-log37<0,所以函数f(x)在上有两个零点,不符合题意.
经检验,当a=2时,符合题意.
故实数a的取值范围为[2,3).故选D.
14.BCD　当a=0时,方程为|x|=0,解得x=0,不符合题意.
∵方程ax2-|x|+a=0有4个不同的实数解,
∴a≠0,x≠0,
∴方程可变为==|x|+.
方程ax2-|x|+a=0有4个不同的实数解等价于函数y=|x|+的图象和直线y=有4个不同的交点.
作出函数y=|x|+的图象和直线y=,如图所示.
由图可知,当>2,即015.答案　(0,1)
解析　画出函数f(x)=的图象,如图所示.
函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得016.答案　
解析　易知函数f(x)=x-+a在定义域上单调递增,且其图象是一条连续的曲线.
∵函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,
∴f(1)=+a<0,∴a<-.
17.C　设f(x1)=f(x2)=f(x3)=a,
作出函数f(x)的图象与直线y=a,如图.
由图可知0log2(x3-1)=a,因此x3=2a+1,
故x1+x2+x3=2+2a,
又0因此318.C　令t=f(x),则原方程可化为t2-bt+1=0.作出函数f(x)的图象,如图.
因为方程[f(x)]2-bf(x)+1=0有8个不同的根,所以方程t2-bt+1=0的两根t1,t2∈(0,6],且t1≠t2,令g(t)=t2-bt+1,
所以解得219.解析　(1)由f(-x)=f(x)得|x2-4|+x2-ax=|x2-4|+x2+ax,即2ax=0对任意实数x都成立,∴a=0.
(2)当x∈[-2,2]时, f(x)=4+4x,
令4+4x=0,解得x=-1;
当 x>2或x<-2时,f(x)=2x2+4x-4,
令2x2+4x-4=0,
解得x=-1±,∴x=-1-.
综上,函数f(x)的零点为-1和-1-.
(3)当|x|≤2时, f(x)=ax+4,令ax+4=0,可知方程在(0,2]上最多有一个实数根;
当|x|>2时, f(x)=2x2+ax-4,令2x2+ax-4=0,
若x1,x2均为该方程在(2,4)上的根,则x1·x2=-2,不符合题意.
故x1∈(0,2],x2∈(2,4).
由ax1+4=0得a=-,∴a≤-2;
由2+ax2-4=0得a=-2x2,∴-7综上所述,实数a的取值范围为-721世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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