2024北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习--3.1 对数函数的概念 3.2对数函数y=log2x的图象和性质

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2024北师大版新教材高中数学必修第一册
第四章　对数运算与对数函数
§3　对数函数
3.1　对数函数的概念
　3.2　对数函数y=log2x的图象和性质
基础过关练
题组一　对数函数的概念
1.下列函数为对数函数的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=logax+1(a>0且a≠1)
B.y=loga(2x)(a>0且a≠1)
C.y=lox(a>1且a≠2)
D.y=2logax(a>0且a≠1)
2.(2020北京丰台期末)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若图象过点(8,3),则f(2)的值为(　　)
A.-1 B.1 C. D.-
3.若函数f(x)=log(a+1)x+a2-2a-8是对数函数,则a=　　　　.
题组二　反函数
4.(2021山西期末联考)函数y=log3x的反函数为y=f(x),则f(2)=(　　)
A.9 B.18 C.32 D.36
5.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=(　　)
A.log2x B. C.lox D.2x-2
题组三　对数函数的基本性质
6.(2022安徽合肥六中月考)函数f(x)=+log2(x+1)的定义域是(　　)
A.(-1,1)∪(1,4) B.(-1,1)∪(1,4]
C.(-1,4) D.[4,+∞)
7.(2020浙江诸暨中学期中)下列各式中错误的是(　　)
A.30.8>30.7 B.log0.50.4>log0.50.6
C.log20.3<0.30.2 D.0.75-0.3<0.75-0.1
8.(2022河北部分学校三联)函数f(x)=log2(1-x2)的单调递减区间为(　　)
A.(-∞,0) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(0,+∞)
9.不等式(4-x)>x的解集是　　　　.
10.(1)函数f(x)=log2[log2(log2x)]的定义域为　　　　;
(2)已知f(x)=log2(ax+1)(a≠0)的定义域为(-∞,1),则实数a的值是　　　　.
11.已知函数f(x)=log2,给出下列说法:
①图象关于原点对称;
②图象关于y轴对称;
③图象过原点.
其中正确的是　　　　.(填序号)
12.(2020山东济南历城第二中学期末)已知函数f(x)=log2(4x-1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若x∈,求f(x)的值域.
答案与分层梯度式解析
第四章　对数运算与对数函数
§3　对数函数
3.1　对数函数的概念
3.2　对数函数y=log2x的图象和性质
基础过关练
1.C　
2.B　∵f(x)的图象过点(8,3),∴loga8=3,即a3=8=23,∵a>0,且a≠1,∴a=2,∴f(x)=log2x,∴f(2)=log22=1.
3.答案　4
解析　由题意可知解得a=4.
4.A　由题意得f(x)=3x,则f(2)=32=9.
5.A　解法一:易得f(x)=logax(a>0,且a≠1),
∵f(2)=1,∴loga2=1=log22,∴a=2,∴f(x)=log2x.
解法二:由题意知点(2,1)在函数y=ax的反函数图象上,∴点(1,2)在函数y=ax的图象上,∴a1=2,即a=2,∴y=2x,∴x=log2y,∴f(x)=log2x.
6.B　根据题意得解得-1所以函数的定义域为(-1,1)∪(1,4].
易错警示
　　求定义域问题的关键是列不等式(组),列不等式(组)的依据有分式的分母不为零;偶次方根的被开方数为非负数;对数的真数为正数等.解题时防止因错列、漏列不等式导致解题错误.
7.D　由函数y=3x在R上单调递增,得30.8>30.7,A中式子正确;由函数y=log0.5x在区间(0,+∞)上单调递减,得log0.50.4>log0.50.6,B中式子正确;由函数y=log2x在区间(0,+∞)上单调递增,得log20.30,所以log20.3<0.30.2,C中式子正确;由函数y=0.75x在R上单调递减,得0.75-0.3>0.75-0.1,D中式子错误.故选D.
8.C　易得f(x)的定义域为(-1,1).因为y=1-x2在(0,1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,函数y=log2x为(0,+∞)上的增函数,所以f(x)的单调递减区间为(0,1).
9.答案　(2,4)
解析　根据题意得解得2故原不等式的解集为(2,4).
10.答案　(1)(2,+∞)　(2)-1
解析　(1)∵f(x)=log2[log2(log2x)],∴log2(log2x)>0,且log2x>0,且x>0,∴log2x>1,∴x>2.
(2)∵f(x)的定义域为(-∞,1),∴ax+1>0的解集为(-∞,1).∴x=1是方程ax+1=0的根,∴a+1=0,即a=-1.
11.答案　①③
解析　易知函数的定义域为(-2,2),关于原点对称,又f(-x)=log2=-log2=-f(x),∴函数f(x)为奇函数,故其图象关于原点对称,不关于y轴对称,且f(0)=0,∴①正确,②错误,③正确.
12.解析　(1)∵f(x)=log2(4x-1),∴4x-1>0,解得x>0,∴函数f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)令t=4x-1,∵x∈,∴t∈[1,15],
∴log2t∈[0,log215],∴f(x)∈[0,log215],
∴函数f(x)的值域为[0,log215].
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