2024北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习--3.3　对数函数y=logax的图象和性质

中小学教育资源及组卷应用平台
2024北师大版新教材高中数学必修第一册
第四章　对数运算与对数函数
§3　对数函数
3.3　对数函数y=logax的图象和性质
基础过关练
题组一　比较函数值的大小
1.下列不等式错误的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.log0.52.2>log0.52.3
B.log34>log65
C.log310>log520
D.logπe>logeπ
2.设a=log412,b=log515,c=log618,则(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.a>c>b D.c>b>a
3.(2022陕西咸阳实验中学月考)已知a=30.2,b=0.4,c=log20.2,则(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
题组二　对数型函数的图象及其应用
4.(2022四川内江威远中学月考)对于任意a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x-1)+3的图象必经过点(　　)
A.(4,2) B.(2,4)
C.(2,3) D.(3,2)
5.(2020辽宁沈阳校际联合测试)函数y=a-x与y=loga(-x)(a>0,且a≠1)的图象可能是(　　)
6.(2020陕西商洛山阳中学月考)若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|0题组三　对数型函数的值域与最值
7.(2022陕西咸阳期中联考)函数y=log2(2x+1)的值域是(　　)
A.[1,+∞) B.(0,1)
C.(-∞,0) D.(0,+∞)
8.(2020河北衡水枣强中学月考)已知函数f(x)=2+log3x,x∈,则函数f(x)的最小值为(　　)
A.-2 B.-3 C.-4 D.0
9.(2022广东深圳第二高级中学月考)函数f(x)=lg的值域为R,则实数k的取值范围是　　　　.
10.(2020贵州贵阳质量检测)设函数f(x)=log2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log212.
(1)求a,b的值;
(2)当x∈[1,3]时,求f(x)的最大值.
题组四　对数型函数的单调性及其应用
11.(2022山西名校月考)已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为(　　)
A.(1,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,2] D.(1,e]
12.(2020湖南长沙期中)若函数f(x)=loga|x-2|(a>0,且a≠1)在区间(1,2)上是增函数,则f(x)在区间(2,+∞)上(　　)
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
13.(2021江苏淮安淮阴中学测试)若函数f(x)=loga(6-ax)(a>0,且a≠1)在区间[0,2]上为减函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(1,3)
C.(1,3] D.[3,+∞)
14.已知函数y=|log2x|的定义域为(m,n为正整数),值域为[0,2],则满足条件的整数对(m,n)共有(　　)
A.1个 B.7个
C.8个 D.16个
15.已知loga(3a-1)>0恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　.
16.(2020黑龙江双鸭山一中期中)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.
17.(2022湖南部分学校联考)已知函数f(x)=loga(x2-2ax)(a>0且a≠1).
(1)若a=,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在[3,4]上单调递增,求a的取值范围.
题组五　对数不等式
18.若loga(a2+1)A.(0,1) B.
C. D.(0,1)∪(1,+∞)
19.(2020河北衡水模拟)函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
20.已知函数f(x)=lg(x+1),则不等式021.(2020河南洛阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(0)=0,当x>0时, f(x)=lox.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x2-1)>-2.
能力提升练
题组一　对数型函数的图象及其应用
1.(2022山西名校联考)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A　B
C　D
2.为了得到函数y=log4的图象,只需把函数y=log2x图象(　　)
A.向左平移3个单位,再向上平移1个单位
B.向右平移3个单位,再向上平移1个单位
C.向右平移3个单位,再向下平移1个单位
D.向左平移3个单位,再向下平移1个单位
3.函数y=ax2+bx与y=lox(ab≠0,|a|≠|b|)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
4.(多选)(2022广东中山纪念中学月考)若两个函数的图象经过平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数,给出四个函数:f1(x)=log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x),其中是“同形”函数的是(　　)
A.f2(x)与f4(x) B.f1(x)与f3(x)
C.f1(x)与f4(x) D.f3(x)与f4(x)
5.(2022河南信阳期中)函数y=loga(x-1)+4的图象过定点P,且点P在幂函数y=f(x)的图象上,则f(3)=　　　　.
题组二　对数型函数的性质及其应用
6.(2020福建厦门双十中学返校测试)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是(　　)
A.0B.0C.0D.07.(2021天津滨海新区塘沽第十三中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是(　　)
A.[1,2] B.
C. D.(0,2]
8.(2020河南平顶山模拟)函数f(x)=loga|x+1|(a>0,且a≠1),当x∈(-1,0)时,恒有f(x)>0,则(　　)
A. f(x)在(-∞,0)上是减函数
B. f(x)在(-∞,-1)上是减函数
C. f(x)在(0,+∞)上是增函数
D. f(x)在(-∞,-1)上是增函数
9.(2020广东东莞月考)若函数f(x)=lo(2x+1)在上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
10.(2021山东济南期中)已知函数f(x)=-x2+2x+a,g(x)=,若对任意x1∈[0,3],总存在x2∈[,4],使得f(x1)≤g(x2)成立,则实数a的取值范围是　　　　.
11.(2020山东淄博一中月考)已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
题组三　对数型函数的综合应用
12.(多选)(2022广西河池八校二联)使lo(2x-3)>-2成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.x> B.C.213.(2020山东青岛期中)已知函数f(x)=若f(x0)>2,则x0的取值范围是(　　)
A.-14 B.x0<-1或x0>4
C.014.(多选)(2021河北保定三中期末)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则下列说法正确的是(　　)
A. f(4)=-3
B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点
C.函数y=f(x)的最小值为-4
D.函数y=f(x)的最大值为415.(2020安徽六安第一中学月考)已知a∈R,函数f(x)=log2.
(1)当a=1时,解不等式f(x)<1;
(2)若函数y=f(x)+1为奇函数,试求a的值.
16.(2022福建福州一中期中)已知函数f(x)=3-2log4x,h(x)=log4x.
(1)当x∈[1,16]时,求函数g(x)=[f(x)+1]·h(x)的值域;
(2)如果对任意的x∈[1,16],不等式f(x2)·f()>m·h(x)恒成立,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第四章　对数运算与对数函数
§3　对数函数
3.3　对数函数y=logax的图象和性质
基础过关练
1.D　函数y=logπx在定义域上单调递增,e<π,则logπelogee=1,所以logπe2.A　易知a=1+log43,b=1+log53,c=1+log63,
∵log43>log53>log63,∴a>b>c.
3.A　a=30.2>30=1,b=0.4∈=(0,1),c=log20.2b>c.
4.C　令x-1=1,解得x=2,因为f(2)=loga1+3=3,所以函数f(x)的图象必经过点(2,3).
5.C　在y=loga(-x)中,易知-x>0,∴x<0,∴函数y=loga(-x)的图象只能在y轴的左侧,故排除A、D;当a>1时,y=loga(-x)是减函数,y=a-x=是减函数,故排除B;当06.A　∵函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|07.D　设t=2x+1,则t>1,故log2(2x+1)>0,故y=log2(2x+1)的值域为(0,+∞).
8.A　∵≤x≤9,∴log3≤log3x≤log39,即-4≤log3x≤2,∴-2≤2+log3x≤4.∴当x=时, f(x)min=-2.
9.答案　
解析　令u=2kx2-x+,由题意得u=2kx2-x+能取到大于0的一切实数.
①当k=0时,u=-x+,此时f(x)=lg,
f(x)的值域为R,符合题意;
②当k≠0时,有
解得0综上所述,k的取值范围是.
10.解析　(1)由
得∴
即∴
(2)由(1)知f(x)=log2(4x-2x),
设t=2x,∵x∈[1,3],∴t∈[2,8].
令u=4x-2x=t2-t=-,
∴当t=8,即x=3时,umax=56,
又y=log2u在(0,+∞)上单调递增,
∴当u最大时,y也最大,
∴f(x)的最大值为3+log27.
11.C　根据题意得解得112.D　当12时,f(x)=loga|x-2|=loga(x-2)(013.B　函数由y=logau,u=6-ax复合而成,因为a>0,所以u=6-ax是减函数,因为函数f(x)在[0,2]上为减函数,所以函数y=logau是增函数,所以a>1.因为u=6-ax在[0,2]上为减函数,所以当x=2时,u=6-ax取得最小值,令6-2a>0,解得a<3,所以114.B　令|log2x|=0,则x=1,令|log2x|=2,则x=或x=4,则满足要求的(m,n)有(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(1,4),(2,4),(3,4),共7个.
15.答案　
解析　loga(3a-1)>0恒成立,即loga(3a-1)>loga1恒成立.
当a>1时,y=logax是增函数,
∴解得a>,∴a>1;
当0∴解得综上所述,实数a的取值范围是a1.
16.答案　
解析　当a>1时, f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,由f(x)>1恒成立,得f(x)min=loga(8-2a)>1,即8-2a>a,解得a<,又a>1,所以1当01恒成立,得f(x)min=loga(8-a)>1,即8-a4,又0综上,实数a的取值范围是.
17.解析　(1)当a=时,f(x)=(x2-x),
由x2-x>0,解得x<0或x>1,
故f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).
令t=x2-x=-,则该函数在(-∞,0)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
因为函数y=t在(0,+∞)上是减函数,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(1,+∞).
(2)令g(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,则该函数在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
①当a>1时,要使f(x)在[3,4]上单调递增,
则g(x)在[3,4]上单调递增,且g(x)>0恒成立,
故解得a<,
又a>1,所以1②当0则g(x)在[3,4]上单调递减,且g(x)>0恒成立,
故无解.
综上,a的取值范围为.
18.C　由题意得a>0且a≠1,故必有a2+1>2a,
又loga(a2+1)1,
所以19.C　当a>0时,由f(a)>f(-a)得log2a>lo[-(-a)],即log2a>0,解得a>1;
当a<0时,由f(a)>f(-a)得lo(-a)>log2(-a),即log2(-a)<0,解得0<-a<1,即-1因此实数a的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞),故选C.
20.答案　
解析　由得-10因为x+1>0,所以x+1<2-2x<10x+10,
解得-综上,不等式的解集为.
21.解析　(1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=lo(-x).
因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).
所以当x<0时, f(x)=lo(-x),
所以f(x)=
(2)因为f(4)=lo4=-2, f(x)是偶函数,
所以不等式f(x2-1)>-2可化为f(|x2-1|)>f(4).
又因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以0<|x2-1|<4,
解得-而当x2-1=0时, f(0)=0>-2成立,
所以-能力提升练
1.A　易知函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),故f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除C、D;又x2+1≥1,所以f(x)≥0恒成立,排除B.故选A.
2.C　y=log4=log2(x-3)-1,因此将函数y=log2x的图象向右平移3个单位,可以得到函数y=log2(x-3)的图象;再将所得图象向下平移1个单位,可以得到函数y=log4的图象,故选C.
3.D　令ax2+bx=x(ax+b)=0,得x=0或x=-.A中,由题中图象可知0<-<1,即0<<1,∴y=lo x是减函数,∴选项A错误;同理,选项B错误;C中,由题中图象可知-<-1,即>1,∴y=lo x是增函数,∴选项C错误;D中,-1<-<0,即0<<1,∴y=lo x是减函数,∴选项D正确.
4.AC　由题知f3(x)=log2x2=2log2|x|,
f4(x)=log2(2x)=log2x+1.
对于A,将f2(x)的图象先向右平移2个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度,可以得到f4(x)的图象,故A正确;
对于C,将f1(x)的图象先向右平移1个单位长度,再将所得图象向上平移1个单位长度,可以得到f4(x)的图象,故C正确;
对于B,D,因为f3(x)为分段函数,其图象不能通过f1(x)或f4(x)的图象平移得到,故B、D均错误.故选AC.
5.答案　9
解析　由y=loga(x-1)+4可得当x=2时,y=4,
∴P(2,4),设f(x)=xα,则f(2)=2α=4,解得α=2,
∴f(x)=x2,∴f(3)=9.
6.A　令g(x)=2x+b-1,则g(x)为增函数,
又由题图可知函数y=logag(x)是增函数,
所以a>1.
因为-1故a-17.C　∵f(x)为偶函数,
∴f(loa)=f(-log2a)=f(log2a),
∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1).
又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
∴|log2a|≤1,∴-1≤log2a≤1,∴≤a≤2.
8.D　由题意得,函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,当x∈(-1,0)时,恒有f(x)>0,即|x+1|∈(0,1), f(x)>0,则09.答案　(-,-1)∪(1,)
解析　因为x∈,
所以2x+1∈(0,1),且lo(2x+1)>0,
所以0所以实数a的取值范围是(-,-1)∪(1,).
10.答案　
解析　∵f(x)=-x2+2x+a=-(x-1)2+1+a,x∈[0,3],∴当x∈[0,1]时,f(x)单调递增,当x∈[1,3]时,f(x)单调递减.∴f(x)max=f(1)=1+a.
当x∈[,4]时,log2x∈,则7+log2x∈,∴g(x)=∈.
又∵ x1∈[0,3], x2∈[,4],使得f(x1)≤g(x2)成立,∴f(x)max≤g(x)max,
∴1+a≤,即a≤-,
∴实数a的取值范围为.
11.解析　(1)若f(x)的定义域为R,则y=ax2+2x+1的图象恒在x轴的上方,
所以所以a>1.
(2)若f(x)的值域为R,则y=ax2+2x+1的图象一定要与x轴有交点,且能取得y轴正半轴的任一值,所以a=0或所以0≤a≤1.
12.CD　∵lo(2x-3)>-2,∴lo(2x-3)>lo,∴lo(2x-3)>lo4,∴0<2x-3<4,∴不等式的解集为.易得使不等式成立的一个充分不必要条件所对应的集合必须是集合的真子集.结合选项知选CD.
13.A　当x0≤0时,不等式化为>2,
即x0+2>1,解得x0>-1,∴-1当x0>0时,不等式化为log2x0>2,解得x0>4,
∴x0>4.
综上,x0的取值范围是-14,故选A.
14.ABC　对于A, f(4)=-log242-3=-3,正确;
对于B,f(x)=-2log2x-3,x∈(0,+∞),令f(x)=0,得(log2x+1)(log2x-3)=0,所以log2x=-1或log2x=3,所以x=或x=8,即f(x)的图象与x轴有两个交点,正确;
对于C,f(x)=-4,x∈(0,+∞),当log2x=1,即x=2时,f(x)min=-4,正确;
对于D,易知f(x)没有最大值.故选ABC.
15.解析　(1)当a=1时,log2<1 0<+1<2 解得x<0或x>2.
∴不等式的解集为{x|x<0,或x>2}.
(2)∵函数y=f(x)+1为奇函数,
∴f(-x)+1=-f(x)-1对定义域内的一切x恒成立,
即log2+1=-log2-1对定义域内的一切x恒成立,
∴log2+log2=-2对定义域内的一切x恒成立,
即log2=-2对定义域内的一切x恒成立,
即=对定义域内的一切x恒成立,
即x2-(a-1)2+=0对定义域内的一切x恒成立,
则解得a=.
16.解析　设t=log4x,由x∈[1,16]得t∈[0,2].
(1)g(x)=[f(x)+1]·h(x)=(4-2log4x)·log4x=-2(log4x)2+4log4x.令y=-2t2+4t=-2(t-1)2+2,t∈[0,2].当t=1时,ymax=2,当t=2或t=0时,ymin=0,
所以函数y=-2t2+4t,t∈[0,2]的值域为[0,2],
即g(x)的值域为[0,2].
(2)不等式f(x2)·f()>m·h(x)即(3-2log4x2)·(3-2log4)>mlog4x,即(3-4log4x)(3-log4x)>mlog4x,即(3-4t)(3-t)>mt,t∈[0,2].
当t=0时,不等式显然成立,则m∈R;
当t∈(0,2]时,不等式可化为m<=4t+-15,又4t+-15≥2-15=-3,当且仅当4t=,即t=(负值舍去)时,等号成立,所以m<-3.
综上,m<-3.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)