14.2.2 完全平方公式一课一练（含解析）
文档属性
| 名称 | 14.2.2 完全平方公式一课一练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 389.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-02 10:06:59 | ||
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文档简介
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14.2.2 完全平方公式一课一练
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A．a2﹣b2=（a﹣b）2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
4．下列式子成立的是（ ）
A．2x﹣5=﹣（5﹣2x） B．7a+3=7（a+3）
C．﹣a﹣b=﹣（a﹣b） D．2x﹣5=﹣（2x﹣5）
二、填空题
5．若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k= ．
6．若，，则 .
三、计算题
7．计算：
（1）
（2）
8．计算：
（1）
（2）9982(简便计算)
四、解答题
9．如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．
（1）用两种方法求图中阴影部分的面积．
（2）由（1）可以推出一个怎样的等量关系？
五、综合题
10．如图，大小两个正方形边长分别为a、b．
（1）用含a、b的代数式阴影部分的面积S；
（2）如果a+b=7，ab=5，求阴影部分的面积．
11．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：
求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0， ∴当x=-2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，∴当(x+2)
2=0时，(x+2)
2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1。
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）知识再现：当x=_ 时， 代数式x2-6x+12的最小值是_ ；
（2）知识运用：若y=-x2+2x-3，当x= 时，y有最_ 值（填“大”或“小”），这个值是_
（3）知识拓展：若-x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值。
六、实践探究题
12．阅读材料：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值.
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17.
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值.
（2）（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，求（n﹣2019）（2020﹣n）.
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、 与 不是同类项，不可合并，则此项错误；
B、 ，则此项错误；
C、 ，则此项正确；
D、 ，则此项错误.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，据此判断A；根据完全平方式“(a-b)2=a2-2ab+b2”判断B；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算判断C；根据单项式乘单项式的法则：单项式乘以单项式，把系数与相同的字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式，计算可判断D.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：A、，计算正确；
B、，计算错误；
C、，计算错误；
D、，计算错误；
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂的乘法法则，单项式除单项式法则，幂的乘方，完全平方公式计算求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：根据图形可知，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
故答案为：C.
【分析】根据边长关系，可表示出完全平方公式。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A、原式=﹣（5﹣2x），成立；
B、原式=7（a+ ），不成立；
C、原式=﹣（a+b），不成立；
D、原式=﹣（﹣2x+5），不成立，
故选A
【分析】原式各项利用添括号法则变形得到结果，即可作出判断．
5．【答案】±6
【解析】【解答】解：∵（3k±1）2=9x2+kx+1，
∴k=±6
故答案为：±6
【分析】根据完全平方公式可知：（3k±1）2=9x2+kx+1，从而可求出k的值．
6．【答案】6
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故答案为：6.
【分析】由于，据此计算即可.
7．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【解析】【分析】（1）先运用完全平方公式和平方差公式展开，然后去括号，注意变号，最后合并同类项；
（2）运用多项式除以单项式的运算法则先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相减，有同类项的要合并.
8．【答案】（1）解：
（2）解：9982
【解析】【分析】（1）利用单项式去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加；
（2）由于底数998接近1000，故将原式变形为（1000-2）2，然后利用完全平方公式进行计算即可.
9．【答案】解：（1）方法一：
∵大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，
∴中间阴影部分的面积为S=（m+n）2﹣4mn．
方法二：
∵中间小正方形的边长为m﹣n，∴其面积为（m﹣n）2．
（2）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2或（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．
【解析】【分析】（1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，中间阴影部分的面积为S=（m+n）2﹣4mn；
方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为m﹣n，所以其面积为（m﹣n）2．
（2）观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2或（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．
10．【答案】（1）解：大，小正方形的边长分别为a和b，
（2）解：∵a+b=7，ab=5，
∴，
【解析】【分析】（1）阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白部分两个直角三角形的面积，据此即可求解；
（2） 利用完全平方公式将（1）所得式子变形，然后整体代入计算即可.
11．【答案】（1）3；3
（2）-1；大；-2
（3）解： 原式=（x-1）2-6
∵（x-1）2≥0
∴（x-1）2-6≥-6
∴当x=1时，y+x的最小值为-6.
【解析】【解答】解：（1）∵x2+6x+12=（x2+6x+9）+3=（x+3）2+3
∵（x+3）2+3≥3
∴当（x+3）2=0时，（x+3）2的值最小为0
∴当x=-3时，（x+3）2+3的最小值为3
（2）同理，原式=-（x-1）2-2
∵-（x-1）2≤0
∴-（x-1）2-2≤-2
∴x=1时，-（x-1）2-2有最大值-2
【分析】（1）根据完全平方公式，根据题意，计算得到答案即可；
（2）根据完全平方公式的性质，根据x的取值范围，判断y的最大值个最小值；
（3）同理，根据乘法公式的运用，求出最小值即可。
12．【答案】（1）解：设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）解：设n﹣2019＝a，2020﹣n＝b，则（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝a2+b2＝1，a+b＝（n﹣2019）+（2020﹣n）＝1，
∴；
（3）解：由题意得，长方形EMFD的长DE＝a＝x﹣1，宽DF＝b＝x﹣3，
则有a﹣b＝2，
由题意得（x﹣1）（x﹣3）＝15，
即ab=15，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+60＝64，
∴a+b＝8，a+b＝﹣8（舍去）.
所以阴影部分的面积为：（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8×2＝16，
答：阴影部分的面积为16.
【解析】【分析】（1）设5-x＝a，x-2＝b，则(5-x)(x-2)＝ab＝2，a+b＝(5-x)+(x-2)＝3，待求式可变形为(a+b)2-2ab，据此计算；
（2）设n-2019＝a，2020-n＝b，则(n-2019)2+(2020-n)2＝a2+b2＝1，a+b＝(n-2019)+(2020-n)＝1，待求式可变形为，据此计算；
（3）由题意得长方形EMFD的长DE＝a＝x-1，宽DF＝b＝x-3，则a-b＝2，根据矩形的面积公式可得(x-1)(x-3)＝15，即ab=15，由完全平方公式可得(a+b)2＝(a-b)2+4ab，求出a+b的值，然后根据阴影部分的面积为a2-b2＝(a+b)(a-b)进行计算.
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14.2.2 完全平方公式一课一练
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
A．a2﹣b2=（a﹣b）2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
4．下列式子成立的是（ ）
A．2x﹣5=﹣（5﹣2x） B．7a+3=7（a+3）
C．﹣a﹣b=﹣（a﹣b） D．2x﹣5=﹣（2x﹣5）
二、填空题
5．若9x2+kx+1是一个完全平方式，则k= ．
6．若，，则 .
三、计算题
7．计算：
（1）
（2）
8．计算：
（1）
（2）9982(简便计算)
四、解答题
9．如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．
（1）用两种方法求图中阴影部分的面积．
（2）由（1）可以推出一个怎样的等量关系？
五、综合题
10．如图，大小两个正方形边长分别为a、b．
（1）用含a、b的代数式阴影部分的面积S；
（2）如果a+b=7，ab=5，求阴影部分的面积．
11．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：
求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0， ∴当x=-2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，∴当(x+2)
2=0时，(x+2)
2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1。
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）知识再现：当x=_ 时， 代数式x2-6x+12的最小值是_ ；
（2）知识运用：若y=-x2+2x-3，当x= 时，y有最_ 值（填“大”或“小”），这个值是_
（3）知识拓展：若-x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值。
六、实践探究题
12．阅读材料：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值.
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17.
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值.
（2）（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，求（n﹣2019）（2020﹣n）.
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、 与 不是同类项，不可合并，则此项错误；
B、 ，则此项错误；
C、 ，则此项正确；
D、 ，则此项错误.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，据此判断A；根据完全平方式“(a-b)2=a2-2ab+b2”判断B；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算判断C；根据单项式乘单项式的法则：单项式乘以单项式，把系数与相同的字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式，计算可判断D.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：A、，计算正确；
B、，计算错误；
C、，计算错误；
D、，计算错误；
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂的乘法法则，单项式除单项式法则，幂的乘方，完全平方公式计算求解即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：根据图形可知，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
故答案为：C.
【分析】根据边长关系，可表示出完全平方公式。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A、原式=﹣（5﹣2x），成立；
B、原式=7（a+ ），不成立；
C、原式=﹣（a+b），不成立；
D、原式=﹣（﹣2x+5），不成立，
故选A
【分析】原式各项利用添括号法则变形得到结果，即可作出判断．
5．【答案】±6
【解析】【解答】解：∵（3k±1）2=9x2+kx+1，
∴k=±6
故答案为：±6
【分析】根据完全平方公式可知：（3k±1）2=9x2+kx+1，从而可求出k的值．
6．【答案】6
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故答案为：6.
【分析】由于，据此计算即可.
7．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【解析】【分析】（1）先运用完全平方公式和平方差公式展开，然后去括号，注意变号，最后合并同类项；
（2）运用多项式除以单项式的运算法则先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相减，有同类项的要合并.
8．【答案】（1）解：
（2）解：9982
【解析】【分析】（1）利用单项式去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加；
（2）由于底数998接近1000，故将原式变形为（1000-2）2，然后利用完全平方公式进行计算即可.
9．【答案】解：（1）方法一：
∵大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，
∴中间阴影部分的面积为S=（m+n）2﹣4mn．
方法二：
∵中间小正方形的边长为m﹣n，∴其面积为（m﹣n）2．
（2）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2或（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．
【解析】【分析】（1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，中间阴影部分的面积为S=（m+n）2﹣4mn；
方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为m﹣n，所以其面积为（m﹣n）2．
（2）观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2或（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．
10．【答案】（1）解：大，小正方形的边长分别为a和b，
（2）解：∵a+b=7，ab=5，
∴，
【解析】【分析】（1）阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白部分两个直角三角形的面积，据此即可求解；
（2） 利用完全平方公式将（1）所得式子变形，然后整体代入计算即可.
11．【答案】（1）3；3
（2）-1；大；-2
（3）解： 原式=（x-1）2-6
∵（x-1）2≥0
∴（x-1）2-6≥-6
∴当x=1时，y+x的最小值为-6.
【解析】【解答】解：（1）∵x2+6x+12=（x2+6x+9）+3=（x+3）2+3
∵（x+3）2+3≥3
∴当（x+3）2=0时，（x+3）2的值最小为0
∴当x=-3时，（x+3）2+3的最小值为3
（2）同理，原式=-（x-1）2-2
∵-（x-1）2≤0
∴-（x-1）2-2≤-2
∴x=1时，-（x-1）2-2有最大值-2
【分析】（1）根据完全平方公式，根据题意，计算得到答案即可；
（2）根据完全平方公式的性质，根据x的取值范围，判断y的最大值个最小值；
（3）同理，根据乘法公式的运用，求出最小值即可。
12．【答案】（1）解：设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）解：设n﹣2019＝a，2020﹣n＝b，则（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝a2+b2＝1，a+b＝（n﹣2019）+（2020﹣n）＝1，
∴；
（3）解：由题意得，长方形EMFD的长DE＝a＝x﹣1，宽DF＝b＝x﹣3，
则有a﹣b＝2，
由题意得（x﹣1）（x﹣3）＝15，
即ab=15，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+60＝64，
∴a+b＝8，a+b＝﹣8（舍去）.
所以阴影部分的面积为：（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8×2＝16，
答：阴影部分的面积为16.
【解析】【分析】（1）设5-x＝a，x-2＝b，则(5-x)(x-2)＝ab＝2，a+b＝(5-x)+(x-2)＝3，待求式可变形为(a+b)2-2ab，据此计算；
（2）设n-2019＝a，2020-n＝b，则(n-2019)2+(2020-n)2＝a2+b2＝1，a+b＝(n-2019)+(2020-n)＝1，待求式可变形为，据此计算；
（3）由题意得长方形EMFD的长DE＝a＝x-1，宽DF＝b＝x-3，则a-b＝2，根据矩形的面积公式可得(x-1)(x-3)＝15，即ab=15，由完全平方公式可得(a+b)2＝(a-b)2+4ab，求出a+b的值，然后根据阴影部分的面积为a2-b2＝(a+b)(a-b)进行计算.
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