2024北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习--4.2　简单幂函数的图象和性质

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2024北师大版新教材高中数学必修第一册
第二章　函数
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2　简单幂函数的图象和性质
基础过关练
题组一　幂函数的概念
1.在函数y=x-2,y=2x2,y=(x+1)2,y=3x中,幂函数的个数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(2022广东揭阳期末)已知幂函数f(x)的图象过点(3,),则该函数的解析式为(　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=
3.已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b)是幂函数,则a=　　　　,b=　　　　.
4.已知函数f(x)=(m2+2m)·,m为何值时,函数f(x)是:
(1)正比例函数 (2)反比例函数 (3)幂函数
题组二　幂函数的图象
5.(2020湖北普通高中学业水平合格性考试)已知函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)的图象如图所示,则(　　)
A.f(x)=,g(x)=x2,h(x)=x3
B.f(x)=,g(x)=x3,h(x)=x2
C.f(x)=x3,g(x)=,h(x)=x2
D.f(x)=x2,g(x)=x3,h(x)=
6.函数y=的图象是(　　)
7.对于幂函数y=xn,若n取±3,±四个值,则下图中对应于曲线C1,C2,C3,C4的n的值依次为(　　)
A.-3,-,,3 B.3,,-,-3
C.-,-3,3, D.3,,-3,-
8.当α∈时,幂函数y=xα的图象不可能经过第　　　　象限.
题组三　幂函数的性质与应用
9.(多选)(2022黑龙江七台河勃利高级中学期中)如果幂函数f(x)=m·xα的图象过点,那么下列说法正确的有(　　)
A.m=1且α=-2
B.f(x)是偶函数
C.f(x)是减函数
D.f(x)的值域为(0,+∞)
10.若幂函数y=(m2-2m-2)的定义域为{x∈R|x≠0},则m应满足的条件是(　　)
A.-1≤m≤3
B.m=-1或m=3
C.m=-1
D.m=3
11.(2020江苏扬州期末)已知幂函数f(x)=(m2-3)x-m在区间(0,+∞)上单调递减,则实数m的值为(　　)
A. B.±2
C.2 D.-2
12.(2020广东揭阳惠来一中期中)函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时, f(x)是增函数,则实数m等于(　　)
A.3或-2 B.-2
C.3 D.-3或2
13.(2020山东临沂罗庄期中)已知f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0.若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值(　　)
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
14.若幂函数f(x)的图象过点(3,27),则满足不等式f(a-3)>f(1-a)的实数a的取值范围是　　　　.
15.已知实数a,b满足等式=,下列五个关系式:①016.(2022河南信阳期中)已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)的图象过点(4,2).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(a+1)>f(2a-3),求实数a的取值范围.
17.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-4为奇函数.
(1)求m的值并写出f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=(3a-1)x-+3(a≠1)在区间(1,2)上的图象总在x轴上方,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第二章　函数
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
　
4.2　简单幂函数的图象和性质
基础过关练
1.B　y=x-2是幂函数;y=2x2,y=(x+1)2,y=3x不是y=xα(α为常数)的形式,故不是幂函数.
2.C　设f(x)=xα,则3α=,解得α=,所以函数的解析式为f(x)=.故选C.
3.答案　;
解析　由题意得解得
4.解析　(1)若函数f(x)为正比例函数,
则
∴m=1.
(2)若函数f(x)为反比例函数,则
∴m=-1.
(3)若函数f(x)为幂函数,则m2+2m=1,
∴m=-1±.
5.D　由y=f(x)的图象关于y轴对称可知y=f(x)为偶函数,故f(x)=x2.
由y=g(x)的图象关于原点对称可知y=g(x)为奇函数,故g(x)=x3.
由y=h(x)的图象可知y=h(x)既不是奇函数,也不是偶函数,故h(x)=.
故选D.
6.A　∵y=,∴该函数的定义域为R,且为偶函数,其在第一象限内的图象与y=x2的图象类似,故选A.
7.B　当n>0时,幂函数在(0,+∞)上为单调递增函数,当n<0时,幂函数在(0,+∞)上为单调递减函数,并且在x=1的右侧,图象自下而上所对应的函数的幂指数n依次增大,故选B.
8.答案　二、四
解析　幂函数y=x-1,y=x,y=x3的图象经过第一、三象限,y=的图象经过第一象限,故当α∈时,幂函数y=xα的图象不可能经过第二、四象限.
9.ABD　∵f(x)为幂函数,∴m=1,又f(x)的图象过点,∴2α=,解得α=-2,A正确;f(x)=x-2=,∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,∴f(-x)===f(x),∴f(x)为偶函数,B正确;当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递减,由偶函数的性质知f(x)在(-∞,0)上单调递增,C错误;∵x2>0,∴>0,∴f(x)的值域为(0,+∞),D正确.故选ABD.
10.D　由已知得
∴,
∴m=3.故选D.
11.C　因为f(x)为幂函数,所以m2-3=1,所以m=±2.当m=2时, f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,符合题意;当m=-2时, f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增,不符合题意.故选C.
12.C　因为函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,所以m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,函数f(x)=x2,当x∈(0,+∞)时, f(x)是增函数,符合题意;当m=-2时,函数f(x)=x-3,当x∈(0,+∞)时, f(x)是减函数,不符合题意,舍去.故选C.
13.A　∵f(x)=(m2-m-1)是幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.又∵对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴4m9-m5-1>0.当m=2时,4×29-25-1=2 015>0,满足题意;当m=-1时,4×(-1)9-(-1)5-1=-4<0,不满足题意,故舍去.∴f(x)=x2 015,易知f(x)是定义在R上的奇函数,且是增函数.∵a,b∈R,且a+b>0,∴a>-b,∴f(a)>f(-b).
∵f(-b)=-f(b),∴f(a)>-f(b),∴f(a)+f(b)>0,故选A.
14.答案　(2,+∞)
解析　设幂函数为f(x)=xα,因为其图象过点(3,27),所以27=3α,解得α=3,所以f(x)=x3.因为f(x)=x3在R上为增函数,所以由f(a-3)>f(1-a),得a-3>1-a,解得a>2.
所以满足不等式f(a-3)>f(1-a)的实数a的取值范围是(2,+∞).
15.答案　①③⑤
解析　画出y=与y=(x≥0)的图象(如图),
设==m.
由图象知,若m=0或m=1,则a=b;
若0若m>1,则1故其中可能成立的式子有①③⑤.
16.解析　(1)由已知得m2-2m+1=1,
解得m=2或m=0.
当m=2时,f(x)=,图象过点(4,2),符合题意;
当m=0时,f(x)=,图象不过点(4,2),不符合题意,故舍去.
综上,f(x)=.
(2)易得f(x)=在[0,+∞)上为增函数,因为f(a+1)>f(2a-3),所以解得≤a<4.
故a的取值范围为.
17.解析　(1)由幂函数的定义知m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.
当m=2时, f(x)=x-2,为偶函数,不满足条件;
当m=3时, f(x)=x-1,为奇函数,满足条件.
所以m=3, f(x)=x-1.
(2)由(1)知g(x)=(3a-1)x-+3=(a-1)x+3,
由a≠1知函数g(x)在区间(1,2)上单调.
若函数g(x)在区间(1,2)上的图象总在x轴上方,
则对任意的x∈(1,2),g(x)>0恒成立,
则即
解得a≥-,又a≠1,所以a的取值范围为∪(1,+∞).
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