2024北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习--专题强化练4　函数的性质

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2024北师大版新教材高中数学必修第一册
第二章　函数
专题强化练4　函数的性质
1.(2020江苏南通一中月考)若f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-3x+1,则f(1)+f(0)=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.5 B.6
C.-5 D.-6
2.设f(x)=x3++2,其中k∈R.若函数f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为4,则函数f(x)在区间[1,2]上有(　　)
A.最小值-2 B.最小值0
C.最小值4 D.最大值2
3.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则实数a的取值范
围是(　　)
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1) D.(0,1]
4.若函数f(x)=ax2+2x-1在区间(-∞,6)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5.(多选)(2020河北保定期中)若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的单调递增函数,则下列四个命题中正确的有(　　)
A.若f(x0)>x0,则f(f(x0))>x0
B.若f(f(x0))>x0,则f(x0)>x0
C.若f(x)是奇函数,则f(f(x))是偶函数
D.若f(x)是奇函数,则f(x1)+f(x2)=0 x1+x2=0
6.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):　　　　.
①f(x)是奇函数;
②f(x+y)=f(x)+f(y);
③f(x)在R上单调递减.
7.若函数f(x)=满足对任意实数x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0成立,则实数a的取值范围是　　　　.
8.(2021江苏南京大厂高级中学期末)设函数f(x)为定义在集合D上的偶函数,对任意x∈D都有f(f(x))=x,若方程f(x)+x=0的解为x=x0,则x0=　　　　.
9.(2020江苏苏州期末)已知函数f(x)=(x2-x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=2对称,则a+b=　　　　,函数y=f(x)的最小值为　　　　.
10.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)-ax-3在区间[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第二章　函数
专题强化练4
函数的性质
1.C　∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,f(1)=-f(-1)=-[(-1)2+3+1]=-5,
∴f(1)+f(0)=-5.故选C.
2.B　设g(x)=x3+,则g(x)=f(x)-2.
∵f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为4,
∴g(x)在区间[-2,-1]上的最大值为2.
易得g(x)=x3+是奇函数,
∴g(x)在区间[1,2]上的最小值为-2,
∴函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为0.故选B.
3.D　易知函数f(x)=-x2+2ax的图象开口向下,对称轴为直线x=a,因为f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以a≤1.又函数g(x)=在区间[1,2]上单调递减,所以a>0.综上,04.D　①当a=0时, f(x)=2x-1在R上单调递增,满足题意;
②当a≠0时,∵f(x)在(-∞,6)上单调递增,
∴∴-≤a<0.
综上,实数a的取值范围是,故选D.
5.ABD　对于A,∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的单调递增函数,∴当f(x0)>x0时, f(f(x0))>f(x0)>x0,故A正确.
对于B,假设f(x0)≤x0,由f(x)是定义在(-∞,+∞)上的单调递增函数,得f(f(x0))≤f(x0)≤x0,与已知f(f(x0))>x0矛盾,故B正确.
对于C,若f(x)是奇函数,则f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x)),∴f(f(x))也是奇函数,故C错误.
对于D,若f(x)是奇函数,且是定义在(-∞,+∞)上的单调递增函数,则f(x1)+f(x2)=0 f(x1)=-f(x2)=f(-x2) x1=-x2 x1+x2=0;
x1+x2=0 x1=-x2 f(x1)=f(-x2)=-f(x2) f(x1)+f(x2)=0,故D正确.故选ABD.
6.答案　f(x)=-2x(答案不唯一)
7.答案　[-10,-2]
解析　由已知得或
所以当x1f(x2);
当x1>x2时,有f(x1)所以函数f(x)在R上单调递减,
所以
解得-10≤a≤-2.
8.答案　0
解析　若方程f(x)+x=0的解为x=x0,
则f(x0)+x0=0,即f(x0)=-x0①,
所以f(f(x0))=f(-x0).
因为对任意x∈D都有f(f(x))=x,
所以f(f(x0))=x0,所以f(-x0)=x0.
因为函数f(x)为定义在集合D上的偶函数,
所以f(x0)=x0②.
联立①②可得x0=0.
9.答案　5;-
解析　因为f(x)的图象关于直线x=2对称,
所以f(2+x)=f(2-x).
当x=1时, f(3)=f(1),即(9-3)×(9+3a+b)=0,①
当x=2时, f(4)=f(0),即(16-4)×(16+4a+b)=0,②
联立①②可得a=-7,b=12,所以a+b=5.
f(x)=(x2-x)(x2-7x+12)=x(x-1)(x-3)(x-4),
所以f(x+2)=(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)=(x2-1)·(x2-4)=(x2)2-5x2+4=-,
所以f(x+2)min=-.
因为函数图象左右平移不改变函数的值域,
所以y=f(x)的最小值为-.
10.解析　(1)由题意,得m2-5m+7=1,
所以m2-5m+6=0,解得m=2或m=3.
又f(x)为偶函数,所以m=3,所以f(x)=x2.
(2)由(1)知,g(x)=x2-ax-3,
因为函数g(x)在区间[1,3]上不是单调函数,
所以1<<3,所以2所以实数a的取值范围是(2,6).
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