14.2 乘法公式本节综合题（含解析）

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14.2 乘法公式本节综合题
一、填空题
1．计算：　 　．
2．计算：20182-2017×2019=　 　．
二、单选题
3．已知 ， ，则 等于（　　）
A．8 B．12 C．24 D．25
4．下列运算中，结果正确的是（　　）
A．2a+3b=5ab B．a2 a3=a6
C．（a+b）2=a2+b2 D．2a﹣（a+b）=a﹣b
5．下列计算正确的是（　　）
A．2a﹣a=2 B．a2+a=a3
C．（x﹣1）2=x2﹣1 D．（a2）3=a6
6．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．计算： ＝（　　）
A． B． C． D．
8．下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．（a＋b）（a－b）＝
11．下列计算正确的是（　　）
A．（a4）3=a7 B．a8÷a4=a2
C．（ab）3=a3b3 D．（a+b）2=a2+b2
12．下列运算中正确的是（　　）
A．2a2 a＝3a3 B．（ab2）2＝ab4
C．2ab2÷b2＝2a D．（a+b）2＝a2+b2
13．（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）的结果为（　　）
A．232-1 B．232+1 C．232 D．216
14．下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数.正确的有（　　）
A．②④ B．①② C．①③ D．③④
三、解答题
15．试说明不论x,y取何值，代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数．
16．证明是13的倍数．
四、计算题
17．计算
（1）（2a＋1)2－(2a＋1)(－1＋2a)
（2）(x-y)3(x-y)2(y-x)
（3）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
18．计算
（1）3ab·(-2ab)+(-3a2b)2
（2）(25m2+15m2n-20m)÷(-5m2)
（3）0.25×(-2)2+16-1-(π-3)0
（4）(a+2b+c)(a+2b-c)
五、综合题
19．
（1）通过观察比较图1、图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式为　 　．（用字母表示）
（2）运用你所学到的公式，计算下列各题：①1092；②105×95．
20．如图1所示是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系为　 　；
（2）运用你所得到的公式解答下列问题：
①若m，n为实数，且，，求的值．
②如图3，，分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积．
六、实践探究题
21．将两数和（差）的完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例：若，求的值．
解：因为，
所以．
根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：
（1）已知，则　 　；
（2）若满足，求的值；
（3）如图，在长方形中，，点分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为35，求图中阴影部分的面积之和．
答案解析部分
1．【答案】9960
【解析】【解答】解：原式=（99.8+0.2）×（99.8-0.2）
=100×99.6
=9960．
故答案为：9960．
【分析】利用平方差公式计算即可。
2．【答案】1
【解析】【解答】解：原式=20182-（2018-1）×（2018+1）=20182-20182+1=1，
故答案为：1
【分析】将2017×2019进行分解，可转化为平方差公式，再和前面的进行计算求解即可。
3．【答案】B
【解析】【解答】解： ， ，
.
.
.
故答案为：B.
【分析】将已知的等式x+2y=6两边同时平方得x2+4y2=24，然后把所求代数式用完全平方公式展开并整体代换计算即可求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、2a+3b不是同类项不能相加减，故本选项错误，
B、a2 a3=a5，故本选项错误，
C、（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误，
D、2a﹣（a+b）=a﹣b，故本选项正确，故答案为：D．
【分析】（1）根据合并同类项法则可知，2a与3b不是同类项不能合并；
（2）根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加可得，原式=
（3）根据完全平方公式可得原式=+；
（4）根据去括号和合并同类项法则原式=a﹣b.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、2a﹣a=a，故A错误，不符合题意；
B、a2与a不是同类项，不能合并成一项，故B错误，不符合题意；
C、（x﹣1）2=x2﹣2x+1，故C错误，不符合题意；
D、（a2）3=a6，故D正确，符合题意．
故选：D．
【分析】根据合并同类项的法则判断A、B；根据完全平方公式判断C；根据幂的乘方性质判断D．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、 ，故本选项错误；
B、 ，故本选项错误；
C、 ，故本选项错误；
D、 ，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，单项式除法逐项分析即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：原式＝y2﹣y+ ，
故答案为：A．
【分析】将式子利用完全平方公式进行展开即可得到答案。
8．【答案】C
【解析】【解答】，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据单项式乘单项式、积的乘方、单项式除以单项式、完全平方公式分别计算，再判断即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：A.a2和a3不是同类项，无法合并，故本选项错误；
B. ，故本选项错误；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】（1）根据同类项的定义“所含字母相同，且相同的字母的指数也相同”可知a2和a3不是同类项，所以不能合并；
（2）由同底数幂相除底数不变指数相减可得原式=a3；
（3）根据完全平方公式可得原式=a2+2ab+b2；
（4）根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可得原式=4a6.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：A、 ，故A选项不符合题意；
B、 ，故B选项符合题意；
C、 ，故C选项不符合题意；
D、（a＋b）（a－b）＝a2﹣b2，故D选项不符合题意，
故答案为：B.
【分析】所谓同类项，就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，据此判断A；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，判断B；根据单项式除以单项式，把系数与相同的字母分别相除，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式，据此即可判断C；根据两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即可判断D.
11．【答案】C
【解析】【解答】∵（a4）3=a12，
∴选项A不符合题意；
∵a8÷a4=a4，
∴选项B不符合题意；
∵（ab）3=a3b3，
∴选项C符合题意；
∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴选项D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的除法，完全平方公式的应用，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可.
12．【答案】C
【解析】【解答】A、2a2 a＝2a3 ，故A错误；
B、（ab2）2＝a2b4，故B错误；
C、2ab2÷b2=2a，故C正确；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2 ，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据单项式乘单项式，积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式分别进行计算，然后判断即可.
13．【答案】A
【解析】【解答】解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）…（216+1）
=（24-1）（24+1）…（216+1）
=（28-1）…（216+1）
=232-1，
故答案为：A．
【分析】将原式变形为（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（216+1），然后利用平方差公式计算即可.
14．【答案】A
【解析】【解答】① 钝角三角形三边高的交点在三角形外部，故①错误；
② n 边形一共有 条对角线，八边型有条对角线，故②正确；
③ 设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，则两个连续的偶数的平方差为：
（2n+2）2-（2 n）2=（4n2+8n+4）-4n2=4n2+8n+4-4n2=8n+4=4（2n+1），不是8的倍数；故③错误；
④ 2x2-2x+1=x2+x2-2x+1=x2+(x2-2x+1)=x2+（x-1）2，因为任何数的平方的结果都是非负数，且x2和（x-1）2不可能同时为零，所以x2+（x-1）2的值一定是正数，故④正确；
故本题应选：A
【分析】①画出锐角、钝角、直角三角形的高观察不同三角形中三角条高的交点位置；② n 边形一共有 条对角线，把边数代入公式计算即可；③设两个连续的偶数分别为2n和2n+2，用式子表示两个连续的偶数的平方差，再化简判断即可；④任何数的平方结果都是非负数；
15．【答案】解答：证明：x2+y2+6x-4y+15 = x2 +6x+9+y2-4y+4+2 =(x+3)2+(y-2)2+2， 因为：(x+3)2≥0, (y-2)2≥0 所以(x+3)2+(y-2)2+2>0， 所以代数式x2+y2+6x-4y+15的值总是正数.
【解析】【分析】先利用完全平方公式将代数式变形，再根据平方的定义得出结论．
16．【答案】证明：，
，
∵26能被13整除，
∴结论成立．
【解析】【分析】利用平方差公式可得924-1=(912+1)(96+1)(93+1)(33+1)(33-1)=26(912+1)(96+1)(93+1)(33+1)，据此证明.
17．【答案】解：(1)原式= 4a2+4a+1-(4a2 -1)
=4a2+4a+1-4a2+1
=4a+2
(2) 原式=-（x-y）3(x-y)2(x-y)=-(x-y)6；
(3)原式=9m2n2 -1-8m2n2 =m2n2 -1．
【解析】【分析】
（1）先根据完全平方公式、平方差公式把括号展开，再合并同类项即可求解；
（2）先把底数统一，再按照同底数幂的乘法即可求出结果；
（3）先根据平方差公式把括号展开，合并同类项即可．
18．【答案】（1）解：3a3b （﹣2ab）+（﹣3a2b）2
＝﹣6a4b2+9a4b2
＝3a4b2
（2）解：（25m2+15m3n﹣20m4）÷（﹣5m2）．
＝25m2÷（﹣5m2）+15m3n÷（﹣5m2）﹣20m4÷（﹣5m2）
＝﹣5﹣3mn+4m2．
（3）解：0.25×（﹣2）﹣2÷16﹣1﹣（π﹣3）0．
＝0.25× ÷ ﹣1
＝ ÷ ﹣1
＝1﹣1
＝0．
（4）解：（a+2b+c）（a+2b﹣c）
=（a+2b）2﹣c2
＝a2+4ab+4b2﹣c2
【解析】【分析】（1）根据单项式乘以单项式法则，合并同类项即可；
（2）根据多项式除以单项式法则进行计算即可；
（3）利用实数运算法则计算即可；
（4）利用平方差公式进行计算即可。
19．【答案】（1）a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
（2）解：①1092
=（100+9）2
=1002+1800+81
=11881，
②105×95
=（100+5）（100﹣5）
=1002﹣52
=9975
【解析】【分析】（1）本题需先根据图中所给的数据，再根据面积公式进行计算，再与两边的图形进行比较，即可求出答案．（2）本题把1092看成（100+9）2，根据完全平方公式解答；105×95=（100+5）×（100﹣5），根据平方差公式的求法进行计算，即可求出答案．
20．【答案】（1）
（2）解：①，，
，
，
或．
②，，分别表示边长为，的正方形的面积，
，，
，
，
，
，
，
，
由图可知，阴影部分面积．
阴影部分面积为11．
【解析】【解答】（1）解：由图可知，
大正方形面积四个矩形的面积中间小正方形的面积，
即，
故答案为：．
【分析】（1）利用不同的表达式表示出阴影部分的面积可得；
（2）①先求出，再求出或即可；
②根据，可得，再结合，求出，最后利用阴影部分的面积求出答案即可。
21．【答案】（1）22
（2）解：设，，则
∵，
∴，
∴即
（3）解：∵，
∴，
∴．
∵长方形的面积为35，
∴，
∴
【解析】【解答】解：（1）∵
∴ 2ab=44，
∴ab=22，
故答案为：22.
【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（2）设2023- x = a，x -2020=b，则a＋b = 3，a＋b= 2021，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答；
（3）根据长方形的性质可得AB =CD = 10，则CF =10-x，CE=6-x，然后设CF=10 -x= a，CE=6-x = b，则a-b = 4，ab = 35，再根据图中阴影部分的面积之和=正方形CFGH的面积＋正方形CEMN的面积，以及完全平方公式进行计算，即可解答.
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