14.3 因式分解本节综合题（含解析）
文档属性
| 名称 | 14.3 因式分解本节综合题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 355.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-02 10:28:47 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
14.3 因式分解本节综合题
一、单选题
1．多项式－5mx3+25mx2－10mx各项的公因式是（ ）
A．5mx2 B．－5mx3 C．mx D．－5mx
2．下列式子不能因式分解的是（ ）
A．x2-1 B．2x2+x C．－x2－9 D．x2-4x+4
3．下列二项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．-4b2+a2 C．-a2-4b2 D．a3-4b2
4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2＋1 B．－x2＋1 C．x2－2 D．－x2－1
二、填空题
5．在实数范围内因式分解：x3﹣2x2y+xy2= ．
三、计算题
6．分解因式：
（1）x2y2﹣y2
（2）x2﹣4ax﹣5a2．
7．分解因式
（1）4a2-8ab+4b2
（2）x2（m﹣n）﹣y2（m﹣n）
四、解答题
8．如图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，已知大小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5πcm2，请你求出大小两个圆盘的半径．
9．已知在⊿ABC中,三边长a、b、c ,满足等式a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，求证：a+c=2b.
五、综合题
10．因式分解
（1）4x2﹣9y2
（2）3x2y2+12xy+12
（3）a4﹣8a2+16
（4）m2（m﹣n）+n2（n﹣m）
11．若一个两位数十位、个位上的数字分别为 ，我们可将这个两位数记为 ，易知 ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 .
（1）【基础训练】
解方程填空：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
（2）【能力提升】
交换任意一个两位数 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 ，则 一定能被 整除， 一定能被 整除， 一定能被 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
（3）【探索发现】
北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ；
②设任选的三位数为 （不妨设 ），试说明其均可产生该黑洞数.
六、实践探究题
12．探究题
阅读理解：
在解一元二次方程2x2﹣6x+4=0时，可以先把左边的二次三项式分解因式，得2（x2﹣3x+2）=0，即2（x﹣1）（x﹣2）=0，这样就可以得到方程的两个根：x1=1，x2=2．反过来，我们也可以利用求一元二次方程两根的方法，把二次三项式分解因式．
对于二次三项式2x2﹣6x+4=0分解因式．事实上我们可令二次三项式2x2﹣6x+4=0为0，得一元二次方程2x2﹣6x+4=0，再解方程可得x1=1，x2=2．从而可得2x2﹣6x+4=2（x﹣1）（x﹣2）．
知识迁移：
试在实数范围内分解因式：3x2﹣4x﹣1．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式。
【解答】∵系数的最大公约数是-5，相同字母的最低指数次幂是mx，
∴多项式－5mx3+25mx2－10mx的公因式是－5mx，
故选D.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握提公因式法的方法：一看系数，提取各项系数的最大公约数；二看字母，提取相同字母或相同因式的最低次幂。
2．【答案】C
【解析】【解答】A、原式=(x+1)(x－1)；
B、原式=x(2x+1)；
C、不能因式分解；
D、原式= ，
故答案为：C.
【分析】本题只要根据因式分解的定义来进行解答即可得出答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、a2+4b2，两项符号相同，不能分解，故A不符合题意；
B、-a2+4b2=4b2-a2=（2b+a）（2b-a），故B符合题意；
C、-a2-4b2=-（a2+4b2），两项符号相同，不能分解因式，故C不符合题意；
D、a3-4b2，不符合平方差公式的结构特点，不能分解，故D不符合题意。
【分析】根据平方差公式的特点：多项式有两项，两项都能化成平方形式，且两项的符号相反，对每个选项进行判断即可。
4．【答案】B
【解析】【分析】根据平方差公式的特点：两个平方项且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】A、两个平方项的符号相同，故本选项错误；
B、两个平方项的符号相反，故本选项正确；
C、2不可以写成平方项，故错误；
D、两个平方项的符号相同，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了公式法分解因式，平方差公式的特点是两个平方项的符号相反，符合这一特点就能运用平方差公式分解因式，与两项的排列顺序无关．
5．【答案】x（x﹣y）2
【解析】【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，
=x（x2﹣2xy+y2）…（提取公因式）
=x（x﹣y）2．…（完全平方公式）
【分析】这个多项式含有公因式x，应先提取公因式，然后运用完全平方公式进行二次分解．
6．【答案】（1）x2y2﹣y2
=y2（x2﹣1）
=y2（x+1）（x﹣1）；
（2）x2﹣4ax﹣5a2=（x+a）（x﹣5a）．
【解析】【分析】（1）先提取公因式y2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；
（2）把﹣5a2写成a（﹣5a）的形式，﹣4a写成（﹣5a）+a的形式，然后利用十字相乘法分解因式即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
7．【答案】（1）解：原式=4（a2-2 ab+ b2）
=4（a-b）2
（2）解：原式=（m﹣n）（x2﹣y2）
=（m﹣n）（x+y）（x﹣y）
【解析】【分析】（1）观察此多项式的特点，含有公因式4，因此提取公因式后，再利用差的完全平方公式分解即可。
（2）观察此多项式的特点，有公因式（m-n），因此提取公因式后，再利用平方差公式分解因式即可。
8．【答案】解：设大圆盘的半径为Rcm，一个小圆盘的半径为rcm，根据题意，得：
πR2﹣4πr2=5π，
即（R+2r）（R﹣2r）=5．
因为R，r均为正整数，
所以R+2r，R﹣2r也为正整数，
所以： ，
解得
答：大圆盘的半径为3cm，一个小圆盘的半径为1cm
【解析】【分析】先设大圆盘的半径为Rcm，一个小圆盘的半径为rcm，根据一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，阴影部分的面积为5πcm2，列出式子，再根据大小圆盘的半径都是整数，即可求出答案．
9．【答案】解：∵a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，
∴a2+6ab+9b2-（c2-10bc+25b2）=0，
∴（a+3b）2-（c-5b）2=0，
∴（a+3b+c-5b）（a+3b-c+5b）=0，
即（a+c-2b）（a+8b-c）=0，
∵a，b，c是三角形三边长，
∴a+b-c＞0，
∴a+8b-c＞0，
∴a+c-2b=0，
∴a+c=2b．
【解析】【分析】首先把a2-16b2-c2+6ab+10bc=0写成（a+3b）2-（c-5b）2=0，然后进行因式分解得到即（a+c-2b）（a+8b-c）=0，结合a，b，c是三角形三边长，进而求出a，b和c之间的关系．
10．【答案】（1）解：4x2﹣9y2=（2x+3y）（2x﹣3y）
（2）解：3x2y2+12xy+12=3[（xy）2+4xy+4]=3（xy+2）2
（3）解：a4﹣8a2+16=（a2﹣4）2=（a+2）2（a﹣2）2
（4）解：m2（m﹣n）+n2（n﹣m）=（m﹣n）（m2﹣n2）=（m+n）（m﹣n）2
【解析】【分析】（1）直接用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式，再用完全平方公式即可，（3）直接用完全平方公式分解因式；（4）先提取公因式，再用平方差公式即可．
11．【答案】（1）2；4；3
（2）11；9；10
（3）495；当任选的三位数为 时，第一次运算后得： ， 结果为99的倍数，由于 ，故 ， ∴ ，又 ， ∴ ， ∴ ，3，4，5，6，7，8，9， ∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到： ， ， ， ， …故都可以得到该黑洞数495.
【解析】【解答】(1)①∵ ，
∴若 ，则 ，
∴ ，
故答案为：2；
②若 ，则 ，
解得 ，
故答案为：4；
③由 及四位数的类似公式得
若 ，
则 ，
∴100t=700，
∴ ，
故答案为：7；
( 2 )∵ ，
∴则 一定能被 11整除，
∵ ，
∴ 一定能被9整除，
∵
，
∴ 一定能被10整除，
故答案为：11；9；10；
( 3 )①若选的数为325，则用532-235=297，以下按照上述规则继续计算，
，
，
，
，
故答案为：495；
【分析】（1）①②③根据定义列出方程，求解即可；
（2）按定义式展开化简，再分解因式后观察即可得出结论；
（3）①取题干中数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可；
②按定义式子化简，注意条件a＞b＞c的应用，化简到出现循环数495即可。
12．【答案】解：由方程3x2﹣4x﹣1=0，可解得：x= ，
则3x2﹣4x﹣1=3（x﹣ ）（x﹣ ）
【解析】【分析】令原式等于0，求出x的值，即可确定出分解结果．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
14.3 因式分解本节综合题
一、单选题
1．多项式－5mx3+25mx2－10mx各项的公因式是（ ）
A．5mx2 B．－5mx3 C．mx D．－5mx
2．下列式子不能因式分解的是（ ）
A．x2-1 B．2x2+x C．－x2－9 D．x2-4x+4
3．下列二项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．-4b2+a2 C．-a2-4b2 D．a3-4b2
4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2＋1 B．－x2＋1 C．x2－2 D．－x2－1
二、填空题
5．在实数范围内因式分解：x3﹣2x2y+xy2= ．
三、计算题
6．分解因式：
（1）x2y2﹣y2
（2）x2﹣4ax﹣5a2．
7．分解因式
（1）4a2-8ab+4b2
（2）x2（m﹣n）﹣y2（m﹣n）
四、解答题
8．如图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，已知大小圆盘的半径都是整数，阴影部分的面积为5πcm2，请你求出大小两个圆盘的半径．
9．已知在⊿ABC中,三边长a、b、c ,满足等式a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，求证：a+c=2b.
五、综合题
10．因式分解
（1）4x2﹣9y2
（2）3x2y2+12xy+12
（3）a4﹣8a2+16
（4）m2（m﹣n）+n2（n﹣m）
11．若一个两位数十位、个位上的数字分别为 ，我们可将这个两位数记为 ，易知 ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 .
（1）【基础训练】
解方程填空：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
（2）【能力提升】
交换任意一个两位数 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 ，则 一定能被 整除， 一定能被 整除， 一定能被 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
（3）【探索发现】
北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ；
②设任选的三位数为 （不妨设 ），试说明其均可产生该黑洞数.
六、实践探究题
12．探究题
阅读理解：
在解一元二次方程2x2﹣6x+4=0时，可以先把左边的二次三项式分解因式，得2（x2﹣3x+2）=0，即2（x﹣1）（x﹣2）=0，这样就可以得到方程的两个根：x1=1，x2=2．反过来，我们也可以利用求一元二次方程两根的方法，把二次三项式分解因式．
对于二次三项式2x2﹣6x+4=0分解因式．事实上我们可令二次三项式2x2﹣6x+4=0为0，得一元二次方程2x2﹣6x+4=0，再解方程可得x1=1，x2=2．从而可得2x2﹣6x+4=2（x﹣1）（x﹣2）．
知识迁移：
试在实数范围内分解因式：3x2﹣4x﹣1．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式。
【解答】∵系数的最大公约数是-5，相同字母的最低指数次幂是mx，
∴多项式－5mx3+25mx2－10mx的公因式是－5mx，
故选D.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握提公因式法的方法：一看系数，提取各项系数的最大公约数；二看字母，提取相同字母或相同因式的最低次幂。
2．【答案】C
【解析】【解答】A、原式=(x+1)(x－1)；
B、原式=x(2x+1)；
C、不能因式分解；
D、原式= ，
故答案为：C.
【分析】本题只要根据因式分解的定义来进行解答即可得出答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、a2+4b2，两项符号相同，不能分解，故A不符合题意；
B、-a2+4b2=4b2-a2=（2b+a）（2b-a），故B符合题意；
C、-a2-4b2=-（a2+4b2），两项符号相同，不能分解因式，故C不符合题意；
D、a3-4b2，不符合平方差公式的结构特点，不能分解，故D不符合题意。
【分析】根据平方差公式的特点：多项式有两项，两项都能化成平方形式，且两项的符号相反，对每个选项进行判断即可。
4．【答案】B
【解析】【分析】根据平方差公式的特点：两个平方项且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】A、两个平方项的符号相同，故本选项错误；
B、两个平方项的符号相反，故本选项正确；
C、2不可以写成平方项，故错误；
D、两个平方项的符号相同，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了公式法分解因式，平方差公式的特点是两个平方项的符号相反，符合这一特点就能运用平方差公式分解因式，与两项的排列顺序无关．
5．【答案】x（x﹣y）2
【解析】【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，
=x（x2﹣2xy+y2）…（提取公因式）
=x（x﹣y）2．…（完全平方公式）
【分析】这个多项式含有公因式x，应先提取公因式，然后运用完全平方公式进行二次分解．
6．【答案】（1）x2y2﹣y2
=y2（x2﹣1）
=y2（x+1）（x﹣1）；
（2）x2﹣4ax﹣5a2=（x+a）（x﹣5a）．
【解析】【分析】（1）先提取公因式y2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；
（2）把﹣5a2写成a（﹣5a）的形式，﹣4a写成（﹣5a）+a的形式，然后利用十字相乘法分解因式即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
7．【答案】（1）解：原式=4（a2-2 ab+ b2）
=4（a-b）2
（2）解：原式=（m﹣n）（x2﹣y2）
=（m﹣n）（x+y）（x﹣y）
【解析】【分析】（1）观察此多项式的特点，含有公因式4，因此提取公因式后，再利用差的完全平方公式分解即可。
（2）观察此多项式的特点，有公因式（m-n），因此提取公因式后，再利用平方差公式分解因式即可。
8．【答案】解：设大圆盘的半径为Rcm，一个小圆盘的半径为rcm，根据题意，得：
πR2﹣4πr2=5π，
即（R+2r）（R﹣2r）=5．
因为R，r均为正整数，
所以R+2r，R﹣2r也为正整数，
所以： ，
解得
答：大圆盘的半径为3cm，一个小圆盘的半径为1cm
【解析】【分析】先设大圆盘的半径为Rcm，一个小圆盘的半径为rcm，根据一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘，阴影部分的面积为5πcm2，列出式子，再根据大小圆盘的半径都是整数，即可求出答案．
9．【答案】解：∵a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，
∴a2+6ab+9b2-（c2-10bc+25b2）=0，
∴（a+3b）2-（c-5b）2=0，
∴（a+3b+c-5b）（a+3b-c+5b）=0，
即（a+c-2b）（a+8b-c）=0，
∵a，b，c是三角形三边长，
∴a+b-c＞0，
∴a+8b-c＞0，
∴a+c-2b=0，
∴a+c=2b．
【解析】【分析】首先把a2-16b2-c2+6ab+10bc=0写成（a+3b）2-（c-5b）2=0，然后进行因式分解得到即（a+c-2b）（a+8b-c）=0，结合a，b，c是三角形三边长，进而求出a，b和c之间的关系．
10．【答案】（1）解：4x2﹣9y2=（2x+3y）（2x﹣3y）
（2）解：3x2y2+12xy+12=3[（xy）2+4xy+4]=3（xy+2）2
（3）解：a4﹣8a2+16=（a2﹣4）2=（a+2）2（a﹣2）2
（4）解：m2（m﹣n）+n2（n﹣m）=（m﹣n）（m2﹣n2）=（m+n）（m﹣n）2
【解析】【分析】（1）直接用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式，再用完全平方公式即可，（3）直接用完全平方公式分解因式；（4）先提取公因式，再用平方差公式即可．
11．【答案】（1）2；4；3
（2）11；9；10
（3）495；当任选的三位数为 时，第一次运算后得： ， 结果为99的倍数，由于 ，故 ， ∴ ，又 ， ∴ ， ∴ ，3，4，5，6，7，8，9， ∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到： ， ， ， ， …故都可以得到该黑洞数495.
【解析】【解答】(1)①∵ ，
∴若 ，则 ，
∴ ，
故答案为：2；
②若 ，则 ，
解得 ，
故答案为：4；
③由 及四位数的类似公式得
若 ，
则 ，
∴100t=700，
∴ ，
故答案为：7；
( 2 )∵ ，
∴则 一定能被 11整除，
∵ ，
∴ 一定能被9整除，
∵
，
∴ 一定能被10整除，
故答案为：11；9；10；
( 3 )①若选的数为325，则用532-235=297，以下按照上述规则继续计算，
，
，
，
，
故答案为：495；
【分析】（1）①②③根据定义列出方程，求解即可；
（2）按定义式展开化简，再分解因式后观察即可得出结论；
（3）①取题干中数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可；
②按定义式子化简，注意条件a＞b＞c的应用，化简到出现循环数495即可。
12．【答案】解：由方程3x2﹣4x﹣1=0，可解得：x= ，
则3x2﹣4x﹣1=3（x﹣ ）（x﹣ ）
【解析】【分析】令原式等于0，求出x的值，即可确定出分解结果．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)