第15章 轴对称图形和等腰三角形单元测试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 第15章 轴对称图形和等腰三角形单元测试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-02 13:11:54 | ||
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文档简介
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2024沪科版八年级数学上学期单元测试卷
第15章 轴对称图形与等腰三角形
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2022·辽宁大连期中)冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会,每四年举办一届.第24届奥运会于2022年在北京和张家口举办.下列四个图分别是四届冬奥会图标中的部分图案,其中是轴对称图形的是 ( )
A B C D
2.(2021·天津河东区期末)已知点P(3,a)关于x轴的对称点为Q(b,-2),那么点(a,b)为 ( )
A.(2,-3) B.(2,3) C.(3,2) D.(3,-2)
3.(2022·广东广州越秀区期中)到三角形三边的距离相等的点是三角形 ( )
A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高线的交点
D.三边的垂直平分线的交点
4.(2022·福建厦门思明区期中)如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,且PD⊥OB,垂足为点D,若PD=3 cm,则点P到OA的距离d满足 ( )
A.d<3 cm B.d>3 cm C.d=3 cm D.无法确定
5.(2021·重庆綦江区期末)已知等腰三角形的两边长分别是3和6,则它的周长等于 ( )
A.15 B.12或15 C.15或18 D.12
6.(2022·山东临清期中)如图,等边三角形ABC中,BD是中线,延长BC至点E,使CE=CD,则下列结论错误的是 ( )
A.∠CED=30° B.∠BDE=120° C.DE=BD D.DE=AB
(第6题) (第7题)
7.(2021·浙江温州期中)如图,△ABC的周长为30,把△ABC的边AC对折,使点C与点A重合,折痕为DE,若AE=4,则△ABD的周长是 ( )
A.22 B.20 C.18 D.15
8.(2022·浙江杭州外国语学校期中)如图,△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,过点D作DE∥BC交AB于点E,过D作DF⊥BC于点F,DF=5 cm,∠EDB=15°,则DE= ( )
A.12.5 cm B.5 cm C.7.5 cm D.10 cm
(第8题) (第9题)
9.如图,直线a,b相交形成的夹角中,锐角为52°,交点为O,点A在直线a上,直线b上存在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,这样的点B有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P为其底角平分线的交点,若D为AC边上一点,连接PD,∠PDC=∠PBC,DA=DP,则∠A的度数为 ( )
A.36° B.30° C.32° D.20°
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.(2022·北京延庆区期末)如图,小明用一把直尺压住射线OB,另一把同样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,连接OP,此时射线OP就是∠BOA的平分线.小明得到这一结论的依据是 .
(第11题) (第12题)
12.(2021·浙江杭州西湖区期中)如图,在△ABC中,∠BAC>∠C,∠C=40°,点D在线段AC的垂直平分线上,则∠ADB= .
13.(2022·山东菏泽期中)如图,AD,BE分别是△ABC的中线和角平分线,AB=AC,
∠CAD=20°,则∠ABE= .
(第13题) (第14题)
14.(2021·北京西城区期中)如图,在等边三角形ABC中,BC=2,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点E,则BE的长为 .
15.(2022·河南三门峡期中)在平面直角坐标系中,对△ABC进行如图所示的轴对称变换,若原来点A的坐标是(a,b),则第2 022次变换后,点A所对应的坐标是 .
…
16.(2022·江苏扬州期中)如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于点M,N.
(1)若AB=12 cm,则△MCN的周长为 ;
(2)若∠ACB=118°,则∠MCN= .
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
填空 11. 12. 13.
14. 15. 16.(1) (2)
三、解答题(本大题共6小题,满分52分)
17.(7分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,DE是AB的垂直平分线,∠CAE∶∠EAB=4∶1,求∠B的度数.
18.(8分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
(2)将△ABC向右平移6个单位,画出平移后的△A2B2C2.
(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2,它们是否关于某条直线对称 若是,请在图上画出这条直线.
19.(8分)(2022·山东邹城期中)如图,在△ABC中,点D是AB的中点,点F是BC延长线上一点,连接DF,交AC于点E,连接BE,∠A=∠ABE.
(1)求证:DF是线段AB的垂直平分线.
(2)当AB=AC,∠A=46°时,求∠EBC及∠F的度数.
20.(8分)(2022·浙江杭州余杭区期中)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求证:△CEF是等腰三角形;
(2)若CD=3,求DF的长.
21. (10分)(2021·湖北恩施期中改编)如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,点G是BC边的中点,DG⊥BC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F.
(1)求证:BE=CF.
(2)若AB=8,AC=4,求AE的长.
22.(11分) 新风向 探究性试题数学课上,学习了角平分线后,王老师给同学们出了如下题目:已知MN⊥PQ,垂足为点O,点A在直线PQ上运动,点B在直线MN上运动,连接AB.
(1)如图(1),AE,BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线,点A,B在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化 若变化,请说明变化的情况;若不变化,请求出∠AEB的大小.
(2)如图(2),点F是∠BAP和∠ABM的平分线的交点,点A,B在运动的过程中,∠F的大小是否会发生变化 若变化,请说明变化的情况;若不变,请求出∠F的大小.
(3)如图(3),点F是平面内一点,连接AF,BF,将∠F沿直线CD翻折,点F与点E重合,已知AB不平行于CD,请直接写出∠E,∠BCE,∠ADE之间存在的数量关系.
图(1) 图(2)
图(3)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
选择填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B B C A D A D C A
11.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 12.80° 13.35°
14. 15.(-a,-b) 16.(1)12 cm (2)56°
1.D 2.B 3.B
4.C 过点P作PE⊥OA于点E.∵OC平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,∴d=PE=PD=3 cm.
5.A
6.D (排除法)∵△ABC是等边三角形,BD是中线,
∴∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠ABD=∠ABC=30°.
【题眼】等边三角形“三线合一”,每个角为60°
∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.∵∠BCD=∠CDE+∠CED=60°,∴∠CDE=∠CED=30°,故选项A不符合题意.∵∠DBC=∠DEC=30°,∴DB=DE,∠BDE=120°,故选项B,C不符合题意.
7.A
8.D 过点D作DH⊥AB于点H.∵BD平分∠ABC,DF⊥BC,∴DH=DF=5 cm,∠DBE=∠DBC.
∵DE∥BC,∴∠DBC=∠EDB,∴∠DBE=∠EDB=15°,∴∠AED=30°.∵∠DHE=90°,
∴DE=2DH=10 cm.
9.C
图示速解
如图,要使△OAB为等腰三角形,应分三种情况讨论:①当OB=AB时,作线段OA的垂直平分线,与直线b的交点为B1;②当OA=AB时,以点A为圆心,OA的长为半径作圆,与直线b交于点B2;③当OA=OB时,以点O为圆心,OA的长为半径作圆,与直线b交于点B3,B4.故选C.
A 连接AP,∵点P为等腰三角形ABC底角平分线的交点,∴AP平分∠BAC,即∠BAP=∠PAC.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABP=∠PBC=∠PCB=∠PCA.∵AD=DP,∴∠APD=∠PAC,∴∠DPA=∠BAP,∴AB∥PD,∴∠PDC=∠BAC.∵∠PDC=∠PBC,∴∠BAC=∠ABP=∠PBC=∠PCB=∠PCA.∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,∴5∠BAC=180°,
∴∠BAC=36°.
11.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
12.80°
13.35° ∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.∵AD是△ABC的中线,∠CAD=20°,
∴∠CAB=2∠CAD=40°,∴∠ABC=(180°-∠CAB)=70°.∵BE是△ABC的角平分线,∴∠ABE=∠ABC=35°.
∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠C=60°,AB=AC=BC=2.
∵DF⊥AC,FE⊥BC,∴∠AFD=∠CEF=90°,∴∠ADF=∠CFE=30°,∴AF=AD,CE=CF.
∵D是AB的中点,∴AD=1,∴AF=,CF=,∴CE=,∴BE=BC-CE=2-=.
15.(-a,-b) 由题意得,每4次变换为一组循环.因为 2 022÷4=505……2,所以第 2 022次变换后,点A在第三象限,坐标为(-a,-b).
16.(1)12 cm (2)56° (1)∵DM,EN分别垂直平分AC和BC,∴AM=CM,BN=CN.
∵AB=12 cm,△MCN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=12 cm.(2)∵∠ACB=118°,∴∠A+∠B=180°-∠ACB=62°.由(1)知AM=CM,BN=CN,∴∠A=∠ACM,∠B=∠BCN,∴∠ACM+∠BCN=∠A+∠B=62°.
∵∠ACB=118°,∴∠MCN=∠ACB-(∠ACM+∠BCN)=118°-62°=56°.
17.【参考答案】∵DE是AB的垂直平分线,
∴∠EAB=∠ABE. (2分)
设∠EAB=x,则∠CAE=4x,∠ABE=x. (4分)
∵∠ACB=90°,
∴∠ABE+∠CAE+∠EAB=90°,
即x+4x+x=90°, 解得x=15°,∴∠B=15°. (7分)
18.【参考答案】(1)如图,△A1B1C1为所求. (3分)
(2)如图,△A2B2C2为所求. (6分)
(3)△A1B1C1和△A2B2C2关于直线x=3对称,所画直线如图所示. (8分)
19.【参考答案】(1)证明:∵∠A=∠ABE,
∴EA=EB. (2分)
∵AD=DB,
∴DF是线段AB的垂直平分线. (4分)
(2)∵∠A=46°,∴∠ABE=∠A=46°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=67°, (6分)
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=21°.
在△DBF中,∠FDB=90°,
∴∠F=90°-∠ABC=23°. (8分)
20.【参考答案】(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°. (2分)
∵EF⊥ED,∴∠DEF=90°,
∴∠F=30°,∴∠FEC=∠ACB-∠F=30°,
∴CE=CF,∴△CEF为等腰三角形. (5分)
(2)由(1)可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°,CE=CF,∴CE=DC=3,∴CF=3,
∴DF=DC+CF=3+3=6. (8分)
思路导图
(1)连接DB,DCDB=DCDE=DF
BE=CFRt△BDE≌Rt△CDF
(2)∠EAD=∠FAD△ADE≌△ADF→AE=AF
【参考答案】
(1)证明:如图,连接DB,DC. (1分)
∵点G是BC边的中点,DG⊥BC,
∴DB=DC.
∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴BE=CF. (5分)
(2)∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠EAD=∠FAD.
又∠AED=∠AFD=90°,DE=DF,
∴△ADE≌△ADF,∴AE=AF, (7分)
∴AB-BE=AC+CF,
即8-BE=4+BE.解得BE=2,
∴AE=AB-BE=8-2=6. (10分)
22.【参考答案】(1)∠AEB的大小不变,为135°.(1分)
∵∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°.
∵AE,BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线,
∴∠EAB=∠OAB,∠EBA=∠OBA,
∴∠EAB+∠EBA=(∠OAB+∠OBA)=45°,
∴∠AEB=180°-45°=135°. (4分)
(2)∠F的大小不变. (5分)
∵∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠BAP+∠ABM=270°.
∵AF,BF分别是∠BAP和∠ABM的平分线,
∴∠FAB=∠PAB,∠FBA=∠MBA,
∴∠FAB+∠FBA=(∠PAB+∠MBA)=135°,
∴∠F=180°-135°=45°. (8分)
(3)∠ADE+∠BCE=2∠E. (11分)
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第15章 轴对称图形与等腰三角形
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.(2022·辽宁大连期中)冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会,每四年举办一届.第24届奥运会于2022年在北京和张家口举办.下列四个图分别是四届冬奥会图标中的部分图案,其中是轴对称图形的是 ( )
A B C D
2.(2021·天津河东区期末)已知点P(3,a)关于x轴的对称点为Q(b,-2),那么点(a,b)为 ( )
A.(2,-3) B.(2,3) C.(3,2) D.(3,-2)
3.(2022·广东广州越秀区期中)到三角形三边的距离相等的点是三角形 ( )
A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高线的交点
D.三边的垂直平分线的交点
4.(2022·福建厦门思明区期中)如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,且PD⊥OB,垂足为点D,若PD=3 cm,则点P到OA的距离d满足 ( )
A.d<3 cm B.d>3 cm C.d=3 cm D.无法确定
5.(2021·重庆綦江区期末)已知等腰三角形的两边长分别是3和6,则它的周长等于 ( )
A.15 B.12或15 C.15或18 D.12
6.(2022·山东临清期中)如图,等边三角形ABC中,BD是中线,延长BC至点E,使CE=CD,则下列结论错误的是 ( )
A.∠CED=30° B.∠BDE=120° C.DE=BD D.DE=AB
(第6题) (第7题)
7.(2021·浙江温州期中)如图,△ABC的周长为30,把△ABC的边AC对折,使点C与点A重合,折痕为DE,若AE=4,则△ABD的周长是 ( )
A.22 B.20 C.18 D.15
8.(2022·浙江杭州外国语学校期中)如图,△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,过点D作DE∥BC交AB于点E,过D作DF⊥BC于点F,DF=5 cm,∠EDB=15°,则DE= ( )
A.12.5 cm B.5 cm C.7.5 cm D.10 cm
(第8题) (第9题)
9.如图,直线a,b相交形成的夹角中,锐角为52°,交点为O,点A在直线a上,直线b上存在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,这样的点B有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P为其底角平分线的交点,若D为AC边上一点,连接PD,∠PDC=∠PBC,DA=DP,则∠A的度数为 ( )
A.36° B.30° C.32° D.20°
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
11.(2022·北京延庆区期末)如图,小明用一把直尺压住射线OB,另一把同样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,连接OP,此时射线OP就是∠BOA的平分线.小明得到这一结论的依据是 .
(第11题) (第12题)
12.(2021·浙江杭州西湖区期中)如图,在△ABC中,∠BAC>∠C,∠C=40°,点D在线段AC的垂直平分线上,则∠ADB= .
13.(2022·山东菏泽期中)如图,AD,BE分别是△ABC的中线和角平分线,AB=AC,
∠CAD=20°,则∠ABE= .
(第13题) (第14题)
14.(2021·北京西城区期中)如图,在等边三角形ABC中,BC=2,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点E,则BE的长为 .
15.(2022·河南三门峡期中)在平面直角坐标系中,对△ABC进行如图所示的轴对称变换,若原来点A的坐标是(a,b),则第2 022次变换后,点A所对应的坐标是 .
…
16.(2022·江苏扬州期中)如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于点M,N.
(1)若AB=12 cm,则△MCN的周长为 ;
(2)若∠ACB=118°,则∠MCN= .
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
填空 11. 12. 13.
14. 15. 16.(1) (2)
三、解答题(本大题共6小题,满分52分)
17.(7分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,DE是AB的垂直平分线,∠CAE∶∠EAB=4∶1,求∠B的度数.
18.(8分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
(2)将△ABC向右平移6个单位,画出平移后的△A2B2C2.
(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2,它们是否关于某条直线对称 若是,请在图上画出这条直线.
19.(8分)(2022·山东邹城期中)如图,在△ABC中,点D是AB的中点,点F是BC延长线上一点,连接DF,交AC于点E,连接BE,∠A=∠ABE.
(1)求证:DF是线段AB的垂直平分线.
(2)当AB=AC,∠A=46°时,求∠EBC及∠F的度数.
20.(8分)(2022·浙江杭州余杭区期中)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求证:△CEF是等腰三角形;
(2)若CD=3,求DF的长.
21. (10分)(2021·湖北恩施期中改编)如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,点G是BC边的中点,DG⊥BC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F.
(1)求证:BE=CF.
(2)若AB=8,AC=4,求AE的长.
22.(11分) 新风向 探究性试题数学课上,学习了角平分线后,王老师给同学们出了如下题目:已知MN⊥PQ,垂足为点O,点A在直线PQ上运动,点B在直线MN上运动,连接AB.
(1)如图(1),AE,BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线,点A,B在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化 若变化,请说明变化的情况;若不变化,请求出∠AEB的大小.
(2)如图(2),点F是∠BAP和∠ABM的平分线的交点,点A,B在运动的过程中,∠F的大小是否会发生变化 若变化,请说明变化的情况;若不变,请求出∠F的大小.
(3)如图(3),点F是平面内一点,连接AF,BF,将∠F沿直线CD翻折,点F与点E重合,已知AB不平行于CD,请直接写出∠E,∠BCE,∠ADE之间存在的数量关系.
图(1) 图(2)
图(3)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
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D B B C A D A D C A
11.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 12.80° 13.35°
14. 15.(-a,-b) 16.(1)12 cm (2)56°
1.D 2.B 3.B
4.C 过点P作PE⊥OA于点E.∵OC平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,∴d=PE=PD=3 cm.
5.A
6.D (排除法)∵△ABC是等边三角形,BD是中线,
∴∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠ABD=∠ABC=30°.
【题眼】等边三角形“三线合一”,每个角为60°
∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.∵∠BCD=∠CDE+∠CED=60°,∴∠CDE=∠CED=30°,故选项A不符合题意.∵∠DBC=∠DEC=30°,∴DB=DE,∠BDE=120°,故选项B,C不符合题意.
7.A
8.D 过点D作DH⊥AB于点H.∵BD平分∠ABC,DF⊥BC,∴DH=DF=5 cm,∠DBE=∠DBC.
∵DE∥BC,∴∠DBC=∠EDB,∴∠DBE=∠EDB=15°,∴∠AED=30°.∵∠DHE=90°,
∴DE=2DH=10 cm.
9.C
图示速解
如图,要使△OAB为等腰三角形,应分三种情况讨论:①当OB=AB时,作线段OA的垂直平分线,与直线b的交点为B1;②当OA=AB时,以点A为圆心,OA的长为半径作圆,与直线b交于点B2;③当OA=OB时,以点O为圆心,OA的长为半径作圆,与直线b交于点B3,B4.故选C.
A 连接AP,∵点P为等腰三角形ABC底角平分线的交点,∴AP平分∠BAC,即∠BAP=∠PAC.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABP=∠PBC=∠PCB=∠PCA.∵AD=DP,∴∠APD=∠PAC,∴∠DPA=∠BAP,∴AB∥PD,∴∠PDC=∠BAC.∵∠PDC=∠PBC,∴∠BAC=∠ABP=∠PBC=∠PCB=∠PCA.∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,∴5∠BAC=180°,
∴∠BAC=36°.
11.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
12.80°
13.35° ∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.∵AD是△ABC的中线,∠CAD=20°,
∴∠CAB=2∠CAD=40°,∴∠ABC=(180°-∠CAB)=70°.∵BE是△ABC的角平分线,∴∠ABE=∠ABC=35°.
∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠C=60°,AB=AC=BC=2.
∵DF⊥AC,FE⊥BC,∴∠AFD=∠CEF=90°,∴∠ADF=∠CFE=30°,∴AF=AD,CE=CF.
∵D是AB的中点,∴AD=1,∴AF=,CF=,∴CE=,∴BE=BC-CE=2-=.
15.(-a,-b) 由题意得,每4次变换为一组循环.因为 2 022÷4=505……2,所以第 2 022次变换后,点A在第三象限,坐标为(-a,-b).
16.(1)12 cm (2)56° (1)∵DM,EN分别垂直平分AC和BC,∴AM=CM,BN=CN.
∵AB=12 cm,△MCN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=12 cm.(2)∵∠ACB=118°,∴∠A+∠B=180°-∠ACB=62°.由(1)知AM=CM,BN=CN,∴∠A=∠ACM,∠B=∠BCN,∴∠ACM+∠BCN=∠A+∠B=62°.
∵∠ACB=118°,∴∠MCN=∠ACB-(∠ACM+∠BCN)=118°-62°=56°.
17.【参考答案】∵DE是AB的垂直平分线,
∴∠EAB=∠ABE. (2分)
设∠EAB=x,则∠CAE=4x,∠ABE=x. (4分)
∵∠ACB=90°,
∴∠ABE+∠CAE+∠EAB=90°,
即x+4x+x=90°, 解得x=15°,∴∠B=15°. (7分)
18.【参考答案】(1)如图,△A1B1C1为所求. (3分)
(2)如图,△A2B2C2为所求. (6分)
(3)△A1B1C1和△A2B2C2关于直线x=3对称,所画直线如图所示. (8分)
19.【参考答案】(1)证明:∵∠A=∠ABE,
∴EA=EB. (2分)
∵AD=DB,
∴DF是线段AB的垂直平分线. (4分)
(2)∵∠A=46°,∴∠ABE=∠A=46°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=67°, (6分)
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=21°.
在△DBF中,∠FDB=90°,
∴∠F=90°-∠ABC=23°. (8分)
20.【参考答案】(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°. (2分)
∵EF⊥ED,∴∠DEF=90°,
∴∠F=30°,∴∠FEC=∠ACB-∠F=30°,
∴CE=CF,∴△CEF为等腰三角形. (5分)
(2)由(1)可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°,CE=CF,∴CE=DC=3,∴CF=3,
∴DF=DC+CF=3+3=6. (8分)
思路导图
(1)连接DB,DCDB=DCDE=DF
BE=CFRt△BDE≌Rt△CDF
(2)∠EAD=∠FAD△ADE≌△ADF→AE=AF
【参考答案】
(1)证明:如图,连接DB,DC. (1分)
∵点G是BC边的中点,DG⊥BC,
∴DB=DC.
∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴BE=CF. (5分)
(2)∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠EAD=∠FAD.
又∠AED=∠AFD=90°,DE=DF,
∴△ADE≌△ADF,∴AE=AF, (7分)
∴AB-BE=AC+CF,
即8-BE=4+BE.解得BE=2,
∴AE=AB-BE=8-2=6. (10分)
22.【参考答案】(1)∠AEB的大小不变,为135°.(1分)
∵∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°.
∵AE,BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线,
∴∠EAB=∠OAB,∠EBA=∠OBA,
∴∠EAB+∠EBA=(∠OAB+∠OBA)=45°,
∴∠AEB=180°-45°=135°. (4分)
(2)∠F的大小不变. (5分)
∵∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠BAP+∠ABM=270°.
∵AF,BF分别是∠BAP和∠ABM的平分线,
∴∠FAB=∠PAB,∠FBA=∠MBA,
∴∠FAB+∠FBA=(∠PAB+∠MBA)=135°,
∴∠F=180°-135°=45°. (8分)
(3)∠ADE+∠BCE=2∠E. (11分)
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