北师大版八上导学案+课时练习 1.1 探索勾股定理 (1)(教师版+学生版)

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名称 北师大版八上导学案+课时练习 1.1 探索勾股定理 (1)(教师版+学生版)
格式 zip
文件大小 5.0MB
资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2023-10-02 12:56:33

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时01)§1.1探索勾股定理 (1)
一.选择题:
1.已知一直角三角形的木版,三边的平方和为1800,则斜边长为 ( )
A.80 B.30 C.90 D.120
2.一个长方形抽屉长12厘米,宽9厘米,贴抽屉底面放一根木棒,那么这根木棒最长(不计木棒粗细)可以是(  )
A.15厘米 B.13厘米 C.9厘米 D.8厘米
3.在△ABC中,AB=15,AC=13,BC上的高AD长为12,则△ABC的面积为(  )
A.84 B.24 C.24或84 D.42或84
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若c=10cm,a:b=3:4,则△ABC的周长(  )
A.12cm B.20cm C.24cm D.48cm
5.如图1的阴影部分是两个正方形,图中还有两个直角三角形和一个大正方形,则阴影部分的面积是(  )
A.16 B.25 C.144 D.169
二.填空题:
6.如图2,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,则EF=_______

7.如图3,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD=_____.
8.在直线上依次摆着七个正方形(如图4),已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积是S1,S2,S3,S4,则S1+S2-S3-S4=___.
9.如图5,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___cm2.
10.如图6,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2等_____.
三.解答题:
11.如图7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,沿AF折叠三角形使得点C落在AB边上的点D处,求CF的长.
12.已知,如图8,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.
13.如图9,长方形ABCD中,AB=5,AD=12,E为AD边上一点,DE=4,动点P从点B出发,沿B→C→D以2个单位/s作匀速运动,设运动时间为t.⑴ 当t为 s时,△ABP与△CDE全等;⑵如图10,EF为△AEP的高,当点P在BC边上运动时,EF的最小值是 ;
⑶ 当点P在EC的垂直平分线上时,求出t的值.
图3
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(总课时01)§1.1探索勾股定理 (1)
一.选择题:
1.已知一直角三角形的木版,三边的平方和为1800,则斜边长为 ( B )
A.80 B.30 C.90 D.120
2.一个长方形抽屉长12厘米,宽9厘米,贴抽屉底面放一根木棒,那么这根木棒最长(不计木棒粗细)可以是( A )
A.15厘米 B.13厘米 C.9厘米 D.8厘米
3.在△ABC中,AB=15,AC=13,BC上的高AD长为12,则△ABC的面积为( C )
A.84 B.24 C.24或84 D.42或84
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若c=10cm,a:b=3:4,则△ABC的周长( C )
A.12cm B.20cm C.24cm D.48cm
5.如图1的阴影部分是两个正方形,图中还有两个直角三角形和一个大正方形,则阴影部分的面积是( B )
A.16 B.25 C.144 D.169
二.填空题:
6.如图2,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,则EF=__5cm_.
7.如图3,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD=3
解:在Rt三角形中,由勾股定理可知:AB=10,由折叠的性质可知:DC=DE,AC=AE,∠DEA=∠C.
∴BE=AB-AE=10-6=4,∠DEB=90°.设DC=x,则BD=8-x.在Rt△BDE中,由勾股定理得:BE2+ED2=BD2,即42+x2=(8-x)2.解得:x=3.∴CD=3.
8.在直线上依次摆着七个正方形(如图4),已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积是S1,S2,S3,S4,则S1+S2-S3-S4=__-2___.
9.如图5,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___49__cm2.
10.如图6,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2等_____.
三.解答题:
11.如图7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,沿AF折叠三角形使得点C落在AB边上的点D处,求CF的长.
解:由折叠的性质可知:CF=DF,AD=AC=3设CF=DF=x,则BF=4﹣x,
∴=5,在Rt△BDF中,DF2+BD2=BF2,即x2+(5-3)2=(4﹣x)2
解得x=1.5.∴CF=1.5.
12.已知,如图8,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.
证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∴AC=BC,CD=CE,
∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,∴∠ACE=∠BCD,
易证:△AEC≌△BDC(SAS);
(2)∵△ACB是等腰直角三角形,∴∠B=∠BAC=45度.∵△ACE≌△BCD,∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,∴AD2+AE2=DE2.由(1)知AE=DB,∴AD2+DB2=DE2,即2CD2=AD2+DB2.
13.如图9,长方形ABCD中,AB=5,AD=12,E为AD边上一点,DE=4,动点P从点B出发,沿B→C→D以2个单位/s作匀速运动,设运动时间为t.
⑴ 当t为 s时,△ABP与△CDE全等;
⑵如图10,EF为△AEP的高,当点P在BC边上运动时,EF的最小值是 ;
⑶当点P在EC的垂直平分线上时,求出t的值.
解:⑴当△ABP与△CDE全等时,BP=DE=4∴,
⑵如图示,依题意得:当P点运动到C点时,EF最小,∵AB=5,AD=12,
∴由勾股定理可得:
根据 ,可得
即:∴
⑶∵点P在EC的垂直平分线上∴ PC=PE
A.如图,当点P在BC上时,过点P作PF⊥AD于点F
则PF=5,AF=BP=2t,PC=12-2t,EF=8-2t
Rt△PFE中,
∴ 解得:.
B.当点P在CD上时,PE=PC=2t-12,PD=17-2t
∵∠D=90°
∴ 解得:
综上所述:当点P在EC的垂直平分线上时,t的值为或
图3
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(总课时01)§1.1探索勾股定理 (1)
【学习目标】掌握勾股定理的内容;【学习重难点】能用勾股定理解决简单的问题.
【导学过程】
一.知识回顾:
1.已知Rt△ABC,∠C=90°,∠B=32°,则∠A=58°.
2.如图1小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是(用割补法)( B )
A. 25 B. 13 C. 9 D. 8.5
二.探究新知:
做一做:1.(1)画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长.
(2)再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长.
(3)上面两个三角形的三边长的平方之间有怎样的关系?再画几个直角三角形验证下是否仍然有这种关系?答:两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.观察:图2,SA=_4_,SB=_9_,SC=13;猜想:SA+SB=SC.
图3,SA=_16_,SB=_9_,SC=25;猜想:SA+SB=SC
4.归纳:通过上面的活动,发现:A正方形边长的平方+B正方形边长的平方=C正方形边长的平方.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果用分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
三.典例与练习:
例1.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度:
例2.如图7,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,CD⊥AB于点D,
求:(1)AC的长;(2)CD的长.
解:(1)∵∠ACB=90°AB=10cm,BC=6cm∴由勾股定理得:
AC2=AB2-BC2=100-36=64∴AC=8,(2)∵CD⊥AB于点D,∴CD=AC×BC÷AB=4.8.
练习2.如图8,求等腰三角形ABC的面积.
解:如图作CD⊥AB于点D,
则AD=BD=3,由勾股定理得:CD=4∴三角形ABC的面积=12.
例3.如图9,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD,根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”,建立方程模型求出x,利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形的面积.
解:如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,
设BD=x,则有CD=14﹣x,由勾股定理得:AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2,AD2=AC2﹣CD2=132﹣(14﹣x)2,∴152﹣x2=132﹣(14﹣x)2,解之得:x=9,∴AD=12,∴S△ABC=BC AD=×14×12=84.
练习3.如图10,计算四边形ABCD的面积.
解:在Rt△ABD中,BD为斜边,AD=12,AB=16,则BD2=AD2+AB2=400,∴BD=20,故四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD=×12×16+×15×20=96+150=246.
答:四边形ABCD的面积为246.
四.课堂小结:
1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
2.在直角三角形的三条边中,若已知任意两条边的长,都可以求出第三条边的长.
五.分层过关:
1.如图11,若a、b、c是Rt△ABC的三边,∠A=90°,则下列说法正确的是(C)
A. B. C. D.
2.一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是(A)
A.斜边长为5 B.三角形的周长为25 C.斜边长为25 D.三角形的面积为20
3.如图12,在中,,,,将折叠,使点与的中点重合,折痕为,则线段的长为(C)
A. B. C. D.
4.如图13,在长方形纸片ABCD中,AB=8,AD=6,把长方形纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,则AF的长为(A)A.6.25cm B.7.5cm C.7cm D.6.5cm
5.如图14,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABEF,ACPQ,BDMC,记四块阴影部分的面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4等于(C)A.14 B.16 C.18 D.20
6.老师准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿露出水面的部分刚好0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水而刚好相齐,请你帮老师计算河水的深度是多少米?
解:设河水的深度为h米.由勾股定理得:h2+1.52=(h+0.5)2
h2+2.25=h2+h+0.25,h=2答:河水的深度为2米.
思考题:如图,AB⊥BC,射线CM⊥BC,且BC=5,AB=1,点P是线段BC (不与点B、C重合)上的动点,过点P作DP⊥AP交射线CM于点D,连结AD.
(1)如图1,当BP=   时,△ADP是等腰直角三角形.(请直接写出答案)
(2)如图2,若DP平分∠ADC,试猜测PB和PC的数量关系,并加以证明.
(3)若△PDC是等腰三角形,作点B关于AP的对称点B′,连结B′D,请画出图形,并求线段B′D的长度.(参考定理:若直角△ABC中,∠C是直角,则BC2+AC2=AB2)
解:(1)当BP=4时,CP=BC﹣BP=5=4=1,∵AB=1,∴AB=PC,∵AB⊥BC,DP⊥AP,CM⊥BC,∴∠B=∠C=90°,∠APB+∠DPC=90°=∠PDC+∠DPC,∴∠APB=∠PDC,易得:△APB≌△PDC(AAS),∴AP=DP,又∵∠APD=90°∴△ADP是等腰直角三角形,故答案为:4;
(2)PB和PC的数量关系:PB=PC,
证明:如图2,延长线段AP、DC交于点E,∵DP平分∠ADC,∴∠ADP=∠EDP.
∵DP⊥AP,∴∠DPA=∠DPE=90°.易得:△DPA≌△DPE(ASA),∴PA=PE.∵AB⊥BP,CM⊥CP,
∴∠ABP=∠ECP=90°.易得:∴△APB≌△EPC(AAS),∴PB=PC;
(3)如图,连接B'P,过点B'作B'F⊥CD于F,则∠B'FC=∠C=90°,∵△PDC是等腰三角形,∴△PCD为等腰直角三角形,即∠DPC=45°,又∵DP⊥AP,∴∠APB=45°,∵点B关于AP的对称点为点B′,
∴∠BPB'=90°,∠APB=45°,BP=B'P,∴△ABP为等腰直角三角形,四边形B'PCF是矩形,∴BP=AB=1=B'P,PC=5=1=4=B'F,CF=B'P=1,∴B'F=4,DF=4﹣1=3,∴Rt△B'FD中,B'D=5,故线段B′D的长度为5.
图1
A
B
C
D
E
F
G
H
3.思考:如何求SC?答:图2,∵四边形EFGH的面积=25,
∴SC=25-3-3-3-3=13.
图3,同理可得:SC=25
图3
图2
图5
图6
练习1.观察下图,探究图中三角形的三边长是否满足
图3
图4
解:图5不滿足
图6不滿足
解:图3中正方形的面积=325;图4中的x=8
图7
D
图8
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图15
图14
图13
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(总课时01)§1.1探索勾股定理 (1)
【学习目标】掌握勾股定理的内容;【学习重难点】能用勾股定理解决简单的问题.
【导学过程】
一.知识回顾:
1.已知Rt△ABC,∠C=90°,∠B=32°,则∠A=_____.
2.如图1小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是(用割补法)( )
A. 25 B. 13 C. 9 D. 8.5
二.探究新知:
做一做:1.(1)画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长.
(2)再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长.
(3)上面两个三角形的三边长的平方之间有怎样的关系?再画几个直角三角形验证下是否仍然有这种关系?答:______________________________.
2.观察:图2,SA=____,SB=____,SC=__;猜想:____=___.
图3,SA=____,SB=____,SC=___;猜想:_____=___
4.归纳:通过上面的活动,发现:____________________________________________________
勾股定理:直角三角形两直角边的______等于斜边的_____.
如果用分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么_________.
三.典例与练习:
例1.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度:
例2.如图7,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,CD⊥AB于点D,
求:(1)AC的长;(2)CD的长.
解:____________________________________________________________
________________________________________________________________.
练习2.如图8,求等腰三角形ABC的面积.
_______________________________________________________________.
例3.如图9,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD,根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”,建立方程模型求出x,利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形的面积.
解:_______________________________________________________________
_______________________________________________________
__________________________________________________________________
练习3.如图10,计算四边形ABCD的面积.
解:______________________________________________________________
___________________________________________________________________
____________________________________________________________________.
四.课堂小结:1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.
2.在直角三角形的三条边中,若已知任意两条边的长,都可以求出第三条边的长.
五.分层过关:
1.如图11,若a、b、c是Rt△ABC的三边,∠A=90°,则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
2.一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )
A.斜边长为5 B.三角形的周长为25 C.斜边长为25 D.三角形的面积为20
3.如图12,在中,,,,将折叠,使点与的中点重合,折痕为,则线段的长为()A. B. C. D.
4.如图13,在长方形纸片ABCD中,AB=8,AD=6,把长方形纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,则AF的长为()A.6.25cm B.7.5cm C.7cm D.6.5cm
5.如图14,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABEF,ACPQ,BDMC,记四块阴影部分的面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4等于()
A.14 B.16 C.18 D.20
6.如图15老师准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿露出水面的部分刚好0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水而刚好相齐,请你帮老师计算河水的深度是多少米?
解:
思考题:如图,AB⊥BC,射线CM⊥BC,且BC=5,AB=1,点P是线段BC (不与点B、C重合)上的动点,过点P作DP⊥AP交射线CM于点D,连结AD.
(1)如图1,当BP=   时,△ADP是等腰直角三角形.(请直接写出答案)
(2)如图2,若DP平分∠ADC,试猜测PB和PC的数量关系,并加以证明.
(3)若△PDC是等腰三角形,作点B关于AP的对称点B′,连结B′D,请画出图形,并求线段B′D的长度.(参考定理:若直角△ABC中,∠C是直角,则BC2+AC2=AB2)
解:
图1
A
B
C
D
E
F
G
H
3.思考:如何求SC?答:_____________________________.
图3
图2
练习1.观察下图,探究图中三角形的三边长是否满足
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图6
图3
图4
解:_________
解:_______________________________________
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图14
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