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（总课时02）§1.1探索勾股定理 (2)
【学习目标】掌握勾股定理解决一些实际应用.【学习重难点】利用勾股定理解决实际问题.
【导学过程】
一.知识回顾：
1.勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的_____.
2.已知一个Rt△的两边长分别为5和12，则第三边长的平方是（ ）A.169 B.13 C.119 D.169或119.
3.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )A.13 B.8 C.25 D.64
4.如果梯子的底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可以到达建筑的高度是 m.
二.探究新知：
1.为了计算下图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到图1和图2.
（1）将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；
（2）你能分别利用图1或图2验证勾股定理吗？
SHAPE \* MERGEFORMAT
2.观察图3，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2
三.典例与练习：
例1.如图4我方侦察员小王在距离东西向公路400mA处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400m,10s后,汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗
练习1.如图5，1876年4月1日，美国总统伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证法(如右图)。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。你能利用它验证勾股定理吗？
例3.如图6，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
练习2.如图7，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
四.课堂小结：勾股定理证明有很多种方法，目前公布的有：1.赵爽证明，2.美国总统证明，3.梅文鼎证明，4.邹元志证明，5.项明达证明，6.欧几里得证明，7.辛卜松证明.....有16种之多.
五.分层过关：
1．如图8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．4π C．8π D．8
2．如图9，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（）
A．18 B．36 C．65 D．72
3．如图10，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为，，，则，，之间的关系是（）
A． B． C． D．无法确定
4．如图11，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC沿DE折叠，使点C与点A重合，求BE的长．
5．某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召,决定公路相距25km的A,B两站之间E点修建一个土特产加工基地,如图12,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要使C、D两村到E点的距离相等,那么基地E应建在离A站多少km的地方
思考题：如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3.(1)如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE=x，则DE=____(用含x的代数式表示)，CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE=____.(2)如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长；(3)如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E.F，且DF=A′F，请直接写出此时CE的长.
解：(1)
(2)
图1
A
B
C
D
C1
B1
A1
D1
E
F
G
H
图2
A
A
C
B
D
E
F
G
H
B1
A1
C1
D1
结论：1.当△ABC是直角三角形时，三边关系：_____
2.当△ABC是锐角三角形时，三边关系：______，
3.当△ABC是钝角三角形时，三边关系：_______.
A
B
C
图3
图4
图5
图6
图9
图7
图10
图8
图11
图12
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（总课时02）§1.1探索勾股定理 （2）
一.选择题：
1．如图1,山坡AB的高BC=5m，水平距离AC=12m，若在山坡上每隔0.65m栽一棵茶树,则从上到下共栽了( )A．19棵 B．20棵 C．21棵 D．22棵
2．已知直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则此三角形的周长是（ ）．
A．22 B．23 C．21 D．24
3．我国古代数学家赵爽的《勾股方圆图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b那么（a+b）2的值为（ ）A．16 B．29 C．19 D．48
4．如图3是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是5、7、3、5，则最大的正方形E的面积是( )A．108 B．50 C．20 D．12
5.如图4，在△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于点D，AC=3，BC=4，则CD的长是( )．
A．2.4 B．2 C．2.5 D．3
二.填空题：
6．若直角三角形的两边长为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|=0，则该直角三角形的斜边长为_______．
7．如图5，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为______米.
8．如图6在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN＝______．
9．如图7，在直线上依次摆放着3个正方形，已知正着放置的2个正方形的面积分别为10，9，则斜着放置的那个正方形的面积为____．
10．如图8，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，若AC=2，CE=3，则AD2+BE2=____．
三.解答题：
11．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则线段AD的长度为多少？
12．如图11,2017年9月3日21时30分，台风“玛娃”在广东汕尾陆丰市登陆，给人们的生活环境造成极大的破坏。台风“玛娃”将一颗竖直9米高的参天古树吹折（如图），事后测得树尖距树底6米远，求断裂处距树底的高度.
13．(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为勾股定理.
证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，，又可表示为S＝4×ab＋(b－a)2，
∴4×ab＋(b－a)2＝c2.∴______________即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.
(3)如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2＋b2＝c2.
图5
图4
图3
图2
图1
图9
图8
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图11
图1
图2
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（总课时02）§1.1探索勾股定理 （2）
一.选择题：
1．如图1,山坡AB的高BC=5m，水平距离AC=12m，若在山坡上每隔0.65m栽一棵茶树,则从上到下共栽了( C )A．19棵 B．20棵 C．21棵 D．22棵
2．已知直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则此三角形的周长是（ D ）．
A．22 B．23 C．21 D．24
3．我国古代数学家赵爽的《勾股方圆图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图2），如果大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b那么（a+b）2的值为（ B ）A．16 B．29 C．19 D．48
4．如图3是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是5、7、3、5，则最大的正方形E的面积是( C )
A．108 B．50 C．20 D．12
5.如图4，在△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于点D，AC=3，BC=4，则CD的长是( A )．
A．2.4 B．2 C．2.5 D．3
二.填空题：
6．若直角三角形的两边长为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|=0，则该直角三角形的斜边长为_5或4_．
7．如图5，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为__7__米.
8．如图6,在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN＝_2m__．
9．如图7，在直线上依次摆放着3个正方形，已知正着放置的2个正方形的面积分别为10，9，则斜着放置的那个正方形的面积为__19__．
10．如图8，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，若AC=2，CE=3，则AD2+BE2=_26_．
三.解答题：
11．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则线段AD的长度为多少？
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10
在Rt△ACD中，AD=6.4
12．如图11,2017年9月3日21时30分，台风“玛娃”在广东汕尾陆丰市登陆，给人们的生活环境造成极大的破坏。台风“玛娃”将一颗竖直9米高的参天古树吹折（如图），事后测得树尖距树底6米远，求断裂处距树底的高度.
解：设断裂处距树底的高度为，则树尖距吹折处为9-x，如图，即BC=x，AB=9-x，AC=6，∵在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，∴ ，解得：x=2.5，即断裂处距树底的高度为2.5米.
13．(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2＋b2＝c2，称为勾股定理.
证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，，又可表示为S＝4×ab＋(b－a)2，
∴4×ab＋(b－a)2＝c2.∴______________
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程.
(3)如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2＋b2＝c2.
证明：（1）∵大正方形面积表示为S＝，又可表示为S＝4×，
∴4×=．∴，∴，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为：；
（2）证明：由图得，大正方形面积＝×ab×4＋＝（a＋b）×（a＋b），
整理得，，即 ；
（3）如图，过A作AF⊥AB，过E作EF⊥AF于F，交BC的延长线于D，则四边形ABDF是矩形，
∵△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB＋∠ECD，
∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，
∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，
S矩形ABDF＝b（a＋b）＝2×，∴．
图5
图4
图3
图2
图1
图6
图7
图8
图9
图11
图1
图2
图3
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（总课时02）§1.1探索勾股定理 (2)
【学习目标】掌握勾股定理解决一些实际应用.【学习重难点】利用勾股定理解决实际问题.
【导学过程】
一.知识回顾：
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.已知一个Rt△的两边长分别为5和12，则第三边长的平方是（D）A.169 B.13 C.119 D.169或119.
3.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( B )A.13 B.8 C.25 D.64
4.如果梯子的底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可以到达建筑的高度是 12 m.
二.探究新知：
1.为了计算下图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到图1和图2.
（1）将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；
（2）你能分别利用图1或图2验证勾股定理吗？
SHAPE \* MERGEFORMAT
2.观察图3，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2
三.典例与练习：
例1.如图4我方侦察员小王在距离东西向公路400mA处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400m,10s后,汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗
解：由题意得，AC=400米，AB=500米，由勾股定理得，BC2=AB2+AC2=90000米，
BC=300米300÷10=30米/秒=108千米/小时，答：敌方汽车的速度是108千米/小时
练习1.如图5，1876年4月1日，美国总统伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证法(如右图)。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。你能利用它验证勾股定理吗？
解：由题可知梯形面积为0.5（a+b）（a+b）；此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即0.5（ab×2+c2）．因此0.5（a+b）（a+b）＝0.5（ab×2+c2）即a2+b2＝c2．
例2.如图6，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
解；在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m，则AC2=AB2-BC2=5.76，AC=2.4m，
∵AC=AA1+CA1∴CA1=2m，∵在直角△A1B1C中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，
∴CB12=AB2-A1C2=2.25，CB1=1.5m，∴BB1=CB1-CB=1.5-0.7=0.8m
答：梯足向外移动了0.8m
练习2.如图7，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8cm，AD＝CB＝10cm．由折叠方法可知：AD＝AF＝10cm，DE＝EF，
设EC＝xcm，则EF＝ED＝（8﹣x）cm，AF＝AD＝10cm，在Rt△ABF中，由勾股定理可知：BF2=AF2-AB2＝64（cm），BF=6（cm），则CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm）．在Rt△CEF中，由勾股定理可知：CF2+CE2＝EF2，即42+x2＝（6﹣x）2，解得x＝3，即EC＝3cm．
四.课堂小结：勾股定理证明有很多种方法，目前公布的有：1.赵爽证明，2.美国总统证明，3.梅文鼎证明，4.邹元志证明，5.项明达证明，6.欧几里得证明，7.辛卜松证明.....有16种之多.
五.分层过关：
1．如图8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ A ）
A．4 B．4π C．8π D．8
2.如图9，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（C）
A．18 B．36 C．65 D．72
3．如图10，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为，，，则，，之间的关系是（A）
A． B． C． D．无法确定
4．如图11，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC沿DE折叠，使点C与点A重合，求BE的长．
解：∵∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，∴BC＝4，由题意得：AE＝CE，则BE＝4 CE；
由勾股定理得：CE2＝（4 CE）2＋32，解得：CE＝，
∴BE＝4 CE＝．故答案为：.
5．某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召,决定公路相距25km的A,B两站之间E点修建一个土特产加工基地,如图12,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要使C、D两村到E点的距离相等,那么基地E应建在离A站多少km的地方
解:设AE=x千米，则BE=(25-x)千米，在Rt△DAE中，DA2+AE2=DE2
在Rt△EBC中，BE2+BC2=CE2∵CE=DE∴DA2+AE2=BE2+BC2
∴152+x2=102+(25-x)2 解得x=10答：基地应建在离A站10千米的地方.
思考题：如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3.
(1)如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE=x，则DE=5-x(用含x的代数式表示)，CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE=.
(2)如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长；
(3)如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E. F，且DF=A′F，请直接写出此时CE的长.
解：（2）如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴DE=EB，设CE =y，则DE=EB=5 y，在Rt△BEC中,，解得，所以CE=
(3)如图③中,设PA=PA′=m.在△DFP和△A′FE中，
∴，∴，，
∵，∴，，，
在Rt△ECB中,，解得，∴
解：(1)正方形ABCD的面积=（a+b）2，正方形EFGH的面积=c2，正方形A1B1BF的面积=b2，正方形BCDG的面积=a2，
(2)如图1∵△AEF≌△DHE≌△CGH≌△BFG∴正方形ABCD的面积=正方形EFGH的面积+4×△AEF的面积.
即：（a+b）2=c2+4×0.5ab化简得：a2+b2=c2
如图2，∵△AA1D1≌△DD1C1≌△CC1B1≌△BB1A1∴四边形A1B1C1D1的面积=4×0.5×△AA1D1的面积+正方形ABCD的面积，即c2=4×0.5ab+(b-a)2,化简得：a2+b2=c2.
图1
A
B
C
D
C1
B1
A1
D1
E
F
G
H
图2
A
A
C
B
D
E
F
G
H
B1
A1
C1
D1
结论：1.当△ABC是直角三角形时，三边关系：a2+b2=c2，
2.当△ABC是锐角三角形时，三边关系：a2+b2>c2，
3.当△ABC是钝角三角形时，三边关系：a2+b2A
B
C
图3
图4
图5
图6
图7
图9
图10
图8
图11
图12
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