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（总课时03）§1.2一定是直角三角形吗？
一.选择题：
1．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ D ）
A.b2=c2－a2 B.a∶b∶c=3∶4∶5 C.∠C=∠A－∠B D.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
2．（2019·江苏初二期中）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（ B ）A．3，4，5 B．4，5，6 C．，，1 D．9，12，15
3．给出下列四个说法：
①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；
②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；
③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有；
④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数.
其中正确的是（ C ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
如图1，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（ D ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
（2019·江苏初二期中）如图2，四个边长为5的大正方形按如图方式摆放，在中间形成一个边长为3的小正方形，则正方形ABCD的面积为( B )
A．16 B．29 C．34 D．39
二.填空题：
6．如图3，由四个直角边分别为8和6的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为_4_．
7．如图4，在△ABC中，AC=12，∠B=90°，BC=6, 一个边长为2的正方形DEFH沿边CA方向向下平移，平移开始时点F与点C重合，当正方形DEFH的平移距离为____时，有DC2=AE2+BC2成立，
8．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为_（x﹣3）2+64＝x2__．
9．古算题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竿，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”若设竿长为 x 尺，则可列方程为_（x 2）2＋（x 4）2＝x2__（方程无需化简）.
10．如图5所示的网格是正方形网格，△ABC是锐角三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
三.解答题：
11．如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，以CD为直径作半圆O，AB=4cm，BC=3cm，AD=13cm，求图中阴影部分的面积.
解∵AB⊥BC，AB=4，BC=3，∴AC=5．
∵AC⊥CD，AC=5，AD=13，∴CD=12，
∴S阴影=×（）2=18，∴阴影部分的面积为18cm2．
12．一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2．
证明：∵四边形ABCD和四边形AB′C′D′为矩形，
∴四边形BCC′D′为直角梯形，△ACC′为等腰直角三角形，
∵AB=a，BC=b，AC=c，∴四边形BCC′D′的面积=，
则四边形BCC′D′的面积还可以表示为△AC′D′、△ABC、△ACC′的面积和，
∴，化简整理得：，即.
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点，且PA=3,PB=1,CD=PC=2，CD⊥CP；求∠BPC的度数.
解：如图，连接BD∵CD⊥CP，CD=PC=2∴△PCD为等腰直角三角形．
∴∠CPD=45°.∵∠ACP+∠BCP=∠BCP+∠BCD=90°
∴∠ACP=∠BCD∵CA=CB∴△CAP≌△CBD(SAS)∴DB=PA=3
在Rt△CPD中,DP2=CP2+CD2=8.又∵PB=1,DP2=8
∴.
∴∠DPB=90°∴∠CPB=∠CPD+∠DPB=45°+90°=135°.
图4
图1
图2
图3
图5
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（总课时03）§1.2一定是直角三角形吗？
一.选择题：
1．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A.b2=c2－a2 B.a∶b∶c=3∶4∶5 C.∠C=∠A－∠B D.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
2．（2019·江苏初二期中）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（ ）A．3，4，5 B．4，5，6 C．，，1 D．9，12，15
3．给出下列四个说法：
①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；
②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；
③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有；
④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数.
其中正确的是（ ）A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．如图1，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（ ）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
5.（2019·江苏初二期中）如图2，四个边长为5的大正方形按如图方式摆放，在中间形成一个边长为3的小正方形，则正方形ABCD的面积为( )A．16 B．29 C．34 D．39
二.填空题：
6．如图3，由四个直角边分别为8和6的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为__．
7．如图4，在△ABC中，AC=12，∠B=90°，BC=6, 一个边长为2的正方形DEFH沿边CA方向向下平移，平移开始时点F与点C重合，当正方形DEFH的平移距离为____时，有DC2=AE2+BC2成立，
8．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为______________．
9．古算题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竿，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”若设竿长为 x 尺，则可列方程为______________（方程无需化简）.
10．如图5所示的网格是正方形网格，△ABC是____三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
三.解答题：
11．如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，以CD为直径作半圆O，AB=4cm，BC=3cm，AD=13cm，求图中阴影部分的面积.
12．一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2．
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点，且PA=3,PB=1,CD=PC=2，CD⊥CP；求∠BPC的度数.
图1
图2
图3
图4
图5
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（总课时03）§1.2一定是直角三角形吗？
【学习目标】理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；
【学习重难点】能利用勾股定理逆定理判断三角形形状.
【导学过程】
一.知识回顾:
1．直角三角形中，_____________=斜边的平方.
2.等腰三角形的腰长为10cm，底边16cm，则底边上的高是______．
3.利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的问题．
常见的方法有：
(1)利用高(作垂线)构造直角三角形；(2)利用已知直角构造直角三角形；(3)利用勾股定理构造直角三角形．
二.探究新知：
1.猜想：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
2.实验：下面有三组数，分别是一个三角形的三边长a,b,c，①5，12，13；②3，4，5；③8，15，17；回答下面两个问题：（1）这三组数都满足吗？
（2）分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
实验结果：
①_____________________________________；
②_____________________________________;
③_____________________________________.
3.探究：已知：如右图在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.判断△ABC是直角三角形？并说明理由.
4.结论：如果一个三角形的三边长，满足______，那么这个三角形
是直角三角形
5.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
思考：常见的勾股数有哪些？_______；________.
规律：①.勾股数的正整数倍仍是勾股数，例如：9，12，15；②.三个数中最小的是偶数，偶数一半的平方加1或减1得到另外两数，则这三个数是勾股数，例如：8，15，17；③.三个数中最小的是奇数，另外两个连续整数的和是奇数的平方，则这三个数是勾股数.例如：7，24，25.
三.典例与练习：
例1．下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。
①9，12，15； ②15，36，39； ③12，35，36； ④12，18，22
练习1如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，BC＝4，CD＝3，AB＝13，AD＝12，
求证：∠C＝90°．
例2.一个零件的形状如图a所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（b）所示，这个零件合格吗？
练习2.如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm，AB＝13cm，BC＝12cm，求这个四边形的面积？
四.课堂小结：1.勾股定理的逆定理与勾股定理的关系：
定理 勾股定理 勾股定理的逆定理
内容 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
题设 直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c 三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2
结论 a2＋b2＝c2 三角形是直角三角形
用途 是直角三角形的一个性质 判定直角三角形的一种方法
2.到目前为止判定直角三角形的方法有：①说明三角形中有一个直角；②说明三角形中有两边互相垂直；③勾股定理的逆定理.
五.分层过关：
1．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，要使△ABC为直角三角形，需满足的条件可以是（ ）
A.∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B.a：b：c＝2：3：4 C.∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D.a：b：c＝4：5：6
2．三角形的三边长为（b+c）2＝a2+2bc，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
3．如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
4.已知：如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，AD是BC边上的高．
（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）求AD的长．
5.如图，在四边形ABCD中，BC＝DC＝2，AD＝3，AB＝1，且∠C＝90°，求∠B的度数．
6.（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝______，弦25＝________.
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝______，弦＝_______．
（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；根据应用举例获得的经验进行填空：
（3）如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，a=2m（m表示大于1的整数），则b=_____，_____，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．
（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：___，24,___;第二组：________37．
图a
图b
①
②
③
⑥
⑤
④
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（总课时03）§1.2一定是直角三角形吗？
【学习目标】理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；
【学习重难点】能利用勾股定理逆定理判断三角形形状.
【导学过程】
一.知识回顾:
1．直角三角形中，两直角边的平方和=斜边的平方.
2.等腰三角形的腰长为10cm，底边16cm，则底边上的高是6cm．
3.利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的问题．
常见的方法有：
(1)利用高(作垂线)构造直角三角形；(2)利用已知直角构造直角三角形；(3)利用勾股定理构造直角三角形．
二.探究新知：
1.猜想：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？
2.实验：下面有三组数，分别是一个三角形的三边长a,b,c，①5，12，13；②3，4，5；③8，15，17；回答下面两个问题：（1）这三组数都满足吗？
（2）分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
实验结果：
① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
③ 8,15,17满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形.
3.探究：已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.判断△ABC是直角三角形？并说明理由.
证明：如右图，作一个直角∠MC′N，在C′M上截取B′C′=a=CB,
在C′N上截取A′C′=b=CA,连接A′B′.在Rt△A′B′C′中，由勾股定理,得
A′B′2=a2+b2=AB2.∴A′B′=AB.∴△ABC≌△A′B′C′.（SSS）
∴∠C=∠C′=90°.∴△ABC是直角三角形.
4.结论：如果一个三角形的三边长，满足a2+b2=c2，那么这个三角形
是直角三角形
5.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
思考：常见的勾股数有哪些？3，4，5；6，8，10.
规律：①.勾股数的正整数倍仍是勾股数，例如：9，12，15；②.三个数中最小的是偶数，偶数一半的平方加1或减1得到另外两数，则这三个数是勾股数，例如：8，15，17；③.三个数中最小的是奇数，另外两个连续整数的和是奇数的平方，则这三个数是勾股数.例如：7，24，25.
三.典例与练习：
例1．下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。
①9，12，15； ②15，36，39； ③12，35，36； ④12，18，22
解：①能，3×3=9，3×4=12，3×5=15；∵3，4，5三数能，∴其倍数也能作为直角三角形的三边长；②能，3×5=15，3×12=36，3×13=39.∵5，12，13是52=12+13即三数能，∴其倍数也能作为直角三角形的三边长.
练习1.如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，BC＝4，CD＝3，AB＝13，AD＝12，
求证：∠C＝90°．
证明：∵AD⊥BD，AB=13，AD=12，∴BD=5．
又∵BC=4，CD=3，∴CD2+BC2=BD2．
∴∠C=90°。
例2.一个零件的形状如图a所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（b）所示，这个零件合格吗？
解：∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，∴AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=DC2，∴△ABD、△BDC是直角三角形，∴∠A=90°，∠DBC=90°，故这个零件符合要求.
练习2.如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm，AB＝13cm，BC＝12cm，求这个四边形的面积？
解：连接AC，∵AD＝4cm，CD＝3cm，∠ADC＝90°，
∴AC2=CD2+AD2＝25，AC＝5（cm）∴S△ACD＝CD AD＝6（cm2）．
在△ABC中，∵52+122＝132即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即∠ACB＝90°，
∴S△ABC＝AC BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝30﹣6＝24（cm2）．答：四边形ABCD的面积为24cm2．
四.课堂小结：1.勾股定理的逆定理与勾股定理的关系：
定理 勾股定理 勾股定理的逆定理
内容 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
题设 直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c 三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2
结论 a2＋b2＝c2 三角形是直角三角形
用途 是直角三角形的一个性质 判定直角三角形的一种方法
2.到目前为止判定直角三角形的方法有：①说明三角形中有一个直角；②说明三角形中有两边互相垂直；③勾股定理的逆定理.
五.分层过关：
1．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，要使△ABC为直角三角形，需满足的条件可以是（A）
A.∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B.a：b：c＝2：3：4 C.∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D.a：b：c＝4：5：6
2．三角形的三边长为（b+c）2＝a2+2bc，则这个三角形是（C）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
3．如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
解：①不是5+8=13≠9，②不是10+9=19≠25，③不是5+10=15≠17，
⑥不是10+13=23≠17，④是直角三形10+10=20，⑤是直角三形13+13=26.
4.已知：如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，AD是BC边上的高．
（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）求AD的长．
（1）证明∵AC＝9 AB＝12 BC＝15，∴AC2＝81，AB2＝144，BC2＝225，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）∵S△ABC＝AB AC＝BC AD，∴AD＝＝．
5.如图，在四边形ABCD中，BC＝DC＝2，AD＝3，AB＝1，且∠C＝90°，求∠B的度数．
解：连接BD，在Rt△BCD中，BD2=BC2+DC2=8．∵BC=DC，∴∠BDC=∠DBC=45°．
在△ABD中，∵AB2+BD2=8+12=9=32=AD2，∴△ABD为直角三角形，故∠ABD=90°，
∴∠B=∠ABD+∠DBC=90°+45°=135°
6.（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝弦25＝
（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．
（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；根据应用举例获得的经验进行填空：
（3）如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，a=2m（m表示大于1的整数），则b=，，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．
（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：10,24,26;第二组：12,35,37．
图a
图b
①
②
③
⑥
⑤
④
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