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（总课时05）§1.4第一章 勾股定理(复习)
【复习目标】梳理勾股定理及其逆定理的内容.【复习重难点】灵活利用勾股定理及逆定理解决实际问题.
【导学过程】
一.知识网络图:
二.知识点梳理：
1.勾股定理：
勾股定理：_______________________________________.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么__________.公式的变形：a2 =______，b2=________.
2.勾股定理的逆定理：如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足_______，那么△ABC是直角三角形.这个定理叫做勾股定理的逆定理.
3.勾股数：满足_______的三个__________，称为勾股数.
常用的勾股数组有:____________________________________________________.
注意：①勾股数必须是正整数，不能是小数.②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数.
4.应用：①求几何体上的最短路程，②求边长③求图形面积④判定△ABC的形状或求角度⑤综合应用
三.基础练习：1.下列各数中不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．4，5，6 D．5，12，13
2.如图1在4×4的方格中，△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D等腰三角形.
3.如图2，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入________元．
4．如图3，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，垂足为点E，则DE等于_____．
5．如图4，已知长方体的长AC＝2cm，宽BC＝1cm，高AA′＝4cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？
解：_____________________________________________________________.
四.典例与练习：
例1.如图6，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，若斜边AB＝a，图中阴影部分的面积和为___．
练习1.如图7，已知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝4，分别以AB，AC，BC为边向外作等腰直角三角形，面积分别记为S1，S2，S3，则S1+S2+S3的值等于_____.
练习2．如图8，Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝5，BC＝12时，计算阴影部分的面积为_____.
例2.如图9将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,求BF.
练习3.如图10，长方形ABCD中，AB=3，BC=5，如果将该长方形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是多少？
五.分层过关：
1．如图11所示，一棵大树高8米，一场大风过后，大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端落在地上，则此时树的顶端离树的底部有多少米．
2.如图12，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，顶端距离地面的高度AC为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面的高度A′D为2米，求小巷的宽度．
3.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图13，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
4.如图14，长方形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，折叠使其点D与点B重合，折痕为EF，求△BEF的面积.
5.如图15，已知：AB=AC，且AB⊥AC，D在BC上，求证：.
6.阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、13；9、40、41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5；是三个连续正整数组成的勾股数．
解决问题：①在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？
答：___，若存在，试写出一组勾股数：_______．
②在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．
③在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．
勾股定理
勾股定理
的逆定理
直角三角形
验证方法
已知两边求第三边
判定直角三角形
判定勾股数
判定垂直
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图9
图8
图7
图10
图11
图12
图13
图14
图15
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（总课时05）§1.4第一章 勾股定理(复习)
一.选择题：
1．以下列各组数为边，能组成直角三角形的是( B )
A．5，5，10 B．10，6，8 C．5，4，6 D．2，3，4
2．如图1所示，一根长度为17cm的筷子，斜放在底面半径为3cm的圆柱形水杯内，量得露在水杯外面的部分AD的长为7cm，则水杯的高AC是（ B ）A.10cm B.8cm C.9cm D.7cm
3．已知三条线段长a、b、c满足a2＝c2﹣b2，则这三条线段首尾顺次相接组成的三角形的形状是（C）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．如图2示，图中四边形都是正方形，则字母B所代表的正方形的面积是( A )
A．144 B．13 C．12 D．194
5．如图3,有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米。一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ B ）米。A.4 B.5 C.3 D.6
二.填空题:
6．如图4所示，点D为△ABC的边BC上一点，AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则S△ABC=_84_.
7．一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形是_直角三角形_.
已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC=24．
9.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有1个直角三角形．
三.解答题:
10.如图5，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．
求：（1）△ABC的周长；（2）判断△ABC是否是直角三角形？为什么？
解：（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，
又AD=12，BD=16，CD=5，∴AB=20，AC=13，△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BD+DC=20+13+16+5=54．
（2）∵AB=20，AC=13，BC=21，AB2+AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．
11．如图6所示，AC=3，BC=2，AD=5，求正方形的面积.
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=32+22=9+4=13
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD2=AD2-AB2=52-13=12.所以S正方形BEFD=BD2=12.
12．星期天，两组同学从学校出发去郊游.分组后，第一组同学以1.8千米/时的速度向正北方向直线前进，第二组同学以2.4千米/时的速度向另一个方向直线前进半小时后，两组同学同时停了下来，此时他们相距1.5千米，试回答下面的问题：（1）第二组同学行走的方向如何
（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后相遇
解：（1）因为，所以两组同学行走的方向成直角.因此，第二组同学行走的方向为正东或正西.（2）根据题意，得（小时）.即两组同学经过小时后相遇.
13．如图7，有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8cm，点B距杯口3cm，杯子底面半径为4cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？（π取3）
解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC为圆柱体的底面周长，
则AC=2πr≈2×3×4=24（cm），则E′B=E′D′=AC=×24=12（cm）．
又∵EA=8cm，EE′=3cm，∴AE′=EA﹣EE′=8﹣3=5（cm）．
在Rt△ABE′中，AB2=AE′2+E′B2=52+122=132，∴AB=13（cm），
∵两点之间，线段最短，∴蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为13cm．
14.如图8所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．
（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．
解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．
∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm．又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2∴82+BF2=102，∴BF=6cm，∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm．
（2）设EC的长为xcm，则DE=（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2，
∴42+x2=（8﹣x）2，即16+x2=64﹣16x+x2，化简，得16x=48，∴x=3，故EC的长为3cm．
图3
图1
图2
图4
图5
图6
图7
图8
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（总课时05）§1.4 第一章 勾股定理(复习)
【复习目标】梳理勾股定理及其逆定理的内容.【复习重难点】灵活利用勾股定理及逆定理解决实际问题.
【导学过程】
一.知识网络图:
二.知识点梳理：
1.勾股定理：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.公式的变形：a2 =c2-b2，b2=c2-a2.
2.勾股定理的逆定理：如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形.这个定理叫做勾股定理的逆定理.
3.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c，称为勾股数.
常用的勾股数组有:3，4，5；5,12,13；7，24，25；6，8，10；8，15，17.
注意：①勾股数必须是正整数，不能是小数.②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数.
4.应用：①求几何体上的最短路程，②求边长③求图形面积④判定△ABC的形状或求角度⑤综合应用
三.基础练习：1.下列各数中不是勾股数的是（C）A．3，4，5 B．6，8，10 C．4，5，6 D．5，12，13
2.如图1在4×4的方格中，△ABC的形状是（B）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D等腰三角形.
3.如图2，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入7200元．
4．如图3，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，垂足为点E，则DE等于．
5．如图4，已知长方体的长AC＝2cm，宽BC＝1cm，高AA′＝4cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？
解：最短路径应如图5所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．
四.典例与练习：
例1.如图6，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，若斜边AB＝a，图中阴影部分的面积和为a2．
练习1.如图7，已知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝4，分别以AB，AC，BC为边向外作等腰直角三角形，面积分别记为S1，S2，S3，则S1+S2+S3的值等于16.
练习2．如图8，Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝5，BC＝12时，计算阴影部分的面积为30.
例2.如图9将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,求BF.
解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=∠D=90°，由折叠的性质得：AD=AF，DE=EF，∠AFE=∠D=90°，∵CE=3，AB=8，∴EF=DE=8-3=5，在Rt△ECF中，EF=5，EC=3，根据勾股定理得：FC=4，设BF=x，AF=BF+FC=x+4，在Rt△ABF中，AF=x+4，BF=x，AB=8，根据勾股定理得：x2+82=（x+4）2，解得：x=6，则BF=6.
练习3.如图10，长方形ABCD中，AB=3，BC=5，如果将该长方形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是多少？解：根据翻折的性质可知：∠EBD=∠DBC，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠EBD，∴BE=DE，设BE=DE=x，∴AE=8-x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴AE2+AB2=BE2，（8-x）2+42=x2，x=5，∴S△EDB=0.5×5×4=10
五.分层过关：
1．如图11，一棵大树高8米，一场大风过后，大树在离地面3米处折断倒下，树的顶端落在地上，则此时树的顶端离树的底部有多少米．
解：设此时树的顶端离树的底部有x米，由勾股定理得：x2=（8-3）2-32=42解得：x=4，x=-4（舍去）答：此时树顶端离树的底部有4米.
2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，顶端距离地面的高度AC为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面的高度A′D为2米，求小巷的宽度．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25．∴BD=1.5米．∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．答：小巷的宽度CD为2.2米
3．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，∴根据勾股定理得AB＝500米，∵0.5AB CD＝0.5BC AC，∴CD＝240米．∵240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．
4.如图，长方形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，折叠使其点D与点B重合，折痕为EF，
求△BEF的面积.
解：设BE=BF=x,则AE=9-x,顷Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2即：x2+32+(9-x)2解得x=5,BF=5∴△BEF的面积=7.5.
5.如图15，已知：AB=AC，且AB⊥AC，D在BC上，求证：.
解:作AE⊥BC于E，如图所示．∵AB=AC，且AB⊥AC，∴△BAC是等腰直角三角形．∵AE⊥BC，∴BE=AE=EC，∴BD=BE－DE=AE－DE，DC=EC+DE= AE+DE，∴BD2+CD2= （AE－DE）2+（AE+DE）2= AE2+DE2-2AE DE+ AE2+DE2+2AE DE= 2AE2+2DE2= 2（AE2+DE2）=2AD2．
6.阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、13；9、40、41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5；是三个连续正整数组成的勾股数．
解决问题：①在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？
答：存在，若存在，试写出一组勾股数：6，8，10．
②在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．
③在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．
解：⑴①答：存在；6，8，10.②答：不存在．理由：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数.设三个连续正整数分别是：n－1，n，n＋1(n＞1的整数)，则：(n－1)2＋n2＝(n＋1)2，得：n1＝4，n2＝0(舍去)∴当n＝4时，n－1＝3，n＋1＝5，∴三个连续正整数仍然为3，4，5，∴不存在其它的三个连续正整数能组成勾股数．③答：不存在．理由：假设在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股数.
设三个连续奇数分别是：2n－1，2n＋1，2n＋3(n＞1的整数)，∵(奇数)2＋(奇数)2≠(奇数)2∴不存在三个连续奇数能组成勾股数．
勾股定理
勾股定理
的逆定理
直角三角形
验证方法
已知两边求第三边
判定直角三角形
判定勾股数
判定垂直
图5
图1
图2
图3
图4
图6
图9
图8
图7
图10
图11
图12
图13
图14
图15
第5题
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（总课时05）§1.4第一章 勾股定理(复习)
一.选择题：
1．以下列各组数为边，能组成直角三角形的是( )
A．5，5，10 B．10，6，8 C．5，4，6 D．2，3，4
2．如图1所示，一根长度为17cm的筷子，斜放在底面半径为3cm的圆柱形水杯内，量得露在水杯外面的部分AD的长为7cm，则水杯的高AC是（ ）A.10cm B.8cm C.9cm D.7cm
3．已知三条线段长a、b、c满足a2＝c2﹣b2，则这三条线段首尾顺次相接组成的三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．如图2示，图中四边形都是正方形，则字母B所代表的正方形的面积是( )
A．144 B．13 C．12 D．194
5．如图3,有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米。一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米。A.4 B.5 C.3 D.6
二.填空题:
6．如图4所示，点为的边上一点，，，，，则______.
7．一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形是_________.
已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC=_____．
9.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有____个直角三角形．
三.解答题:
10.如图5，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．
求：（1）△ABC的周长；（2）判断△ABC是否是直角三角形？为什么？
11．如图6所示，，，，求正方形的面积.
12．星期天，两组同学从学校出发去郊游.分组后，第一组同学以1.8千米/时的速度向正北方向直线前进，第二组同学以2.4千米/时的速度向另一个方向直线前进半小时后，两组同学同时停了下来，此时他们相距1.5千米，试回答下面的问题：（1）第二组同学行走的方向如何
（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后相遇
13．如图7，有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8cm，点B距杯口3cm，杯子底面半径为4cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？（π取3）
14.如图8所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．
（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．
图3
图1
图2
图4
图5
图6
图7
图8
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