13.1.2.1 线段的垂直平分线的性质与判定同步讲练（含答案）
文档属性
| 名称 | 13.1.2.1 线段的垂直平分线的性质与判定同步讲练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-02 13:17:33 | ||
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文档简介
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
【知识重点】
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1. 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
条件：点在线段的垂直平分线上.
结论：这个点到线段两端点的距离相等.
2. 几何语言 如图，
∵ AD⊥BC，BD＝CD，∴ AB＝AC.
特别解读
用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法.
知识点2 线段的垂直平分线的判定
1. 判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
条件：点到线段两个端点距离相等.
结论：点在线段的垂直平分线上.
2. 几何语言 如图，∵ AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上.
3. 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等.
特别解读
1. 证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是作垂直，证平分. 二是取中点，证垂直.
2. 证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在垂直平分线上.
【经典例题】
【例1】如图，在△ABC中，AB＝5 cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD的周长为8cm. 求线段AC的长.
解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求的线段向已知条件转化.
【例2】如图，AD为∠BAC的平分线，交BC于点D， AE＝AF，请判断线段AD所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的判定证明直线AD上的点A和点D到线段EF的两个端点的距离相等即可.
【例3】如图，OE，OF所在直线分别是△ABC中AB，AC边的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判断OI与BC的位置关系，并给予证明.
解题秘方：根据“三角形三边的垂直平分线相交于一点，三个内角的平分线也相交于一点”这两条性质进行证明.
【同步练习】
一、选择题
1．下列命题中正确的有 ( )
①P是线段AB上的一点，直线l经过点P，且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③经过线段AB的中点P且垂直于线段AB的直线l是线段AB的垂直平分线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
3．如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，若AC＝2.3cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是( )
A. 3.9 cm B. 7.8 cm C. 3.2 cm D. 4.6 cm
第3题图 第4题图 第5题图
4．【2021·淮安】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，l是线段AB的垂直平分线，垂足为C，P，Q分别为l上的两点，则下列说法中正确的是 ( )
A．PA＜QB B．PA＝QB C．PA＞QB D．PA与QB的大小关系不能确定
6．【2020·益阳】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．以上都不正确
8．如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，则有下列说法：①直线AO⊥BC；②直线AO平分线段BC；③直线AO是线段BC的垂直平分线；④AO平分∠BAC.其中说法正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段( )的垂直平分线上．
A．AB B．AC C．BC D．不确定
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，M是∠AOB内的一点，C和D是∠AOB外的点，OA垂直平分CM，OB垂直平分DM.连接CD，分别交OA，OB于点E，F，若CD的长为10 cm，则△MEF的周长为( )
A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．不能确定
11．【2021·河北】如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且OP＝2.8，若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是( )
A．0 B．5 C．6 D．7
二、填空题
12．理解线段垂直平分线上的点的性质要注意两点：
(1)点一定在线段的______________上；
(2)距离指的是点到线段的两个________的距离．
13．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的______________上．
第14题图 第15题图
14．如图，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索AB与AC的长度相等，需添加条件 ，理由是 .
15．【2021·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是________．
三、解答题
16．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长．
17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，点E在线段AD上，且∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AD垂直平分BC.
18．已知如图，AB＝AC，DB＝DC，P是AD上的一点．求证：∠ABP＝∠ACP.
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE，BC交于点F.求证：
(1)AD＝FC；
(2)AB＝BC＋AD.
20．已知，如图所示，AB＞AC，∠A的平分线与CB的垂直平分线GD交于点D，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F.试猜想BE与CF的关系，并给予证明．
21．如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G.求证：
(1)BF＝CG；
(2)AF＝(AB＋AC)．
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参考答案
【知识重点】
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1. 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
条件：点在线段的垂直平分线上.
结论：这个点到线段两端点的距离相等.
2. 几何语言 如图，
∵ AD⊥BC，BD＝CD，∴ AB＝AC.
特别解读
用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法.
知识点2 线段的垂直平分线的判定
1. 判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
条件：点到线段两个端点距离相等.
结论：点在线段的垂直平分线上.
2. 几何语言 如图，∵ AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上.
3. 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等.
特别解读
1. 证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是作垂直，证平分. 二是取中点，证垂直.
2. 证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在垂直平分线上.
【经典例题】
【例1】如图，在△ABC中，AB＝5 cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD的周长为8cm. 求线段AC的长.
解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求的线段向已知条件转化.
解：∵ DE为BC的垂直平分线，
∴ CD＝BD.
∴△ACD的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB＝8 cm.
∵ AB＝5 cm，∴ AC＝3 cm.
【例2】如图，AD为∠BAC的平分线，交BC于点D， AE＝AF，请判断线段AD所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的判定证明直线AD上的点A和点D到线段EF的两个端点的距离相等即可.
解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.
证明：如图，连接DE，DF.
∵ AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(SAS). ∴ DE＝DF.
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF 的垂直平分线.
【例3】如图，OE，OF所在直线分别是△ABC中AB，AC边的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判断OI与BC的位置关系，并给予证明.
解题秘方：根据“三角形三边的垂直平分线相交于一点，三个内角的平分线也相交于一点”这两条性质进行证明.
解：OI⊥BC. 证明：如图13.1-18，延长OI交BC于点M.
∵ OE垂直平分AB，OF垂直平分AC，
∴ O点在BC的垂直平分线上. ∴ OB＝OC.
又∵ BI平分∠OBC，CI平分∠OCB，
∴ OI平分∠BOC，即∠BOI＝∠COI.
在△BOM和△COM中，
∴△BOM≌△COM(SAS). ∴∠BMO＝∠CMO.
∵∠BMO＋∠CMO＝180°，∴∠BMO＝∠CMO＝90°，即OI⊥BC.
【同步练习】
一、选择题
1．下列命题中正确的有 ( B )
①P是线段AB上的一点，直线l经过点P，且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③经过线段AB的中点P且垂直于线段AB的直线l是线段AB的垂直平分线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( D )
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
3．如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，若AC＝2.3cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是( B )
A. 3.9 cm B. 7.8 cm C. 3.2 cm D. 4.6 cm
第3题图 第4题图 第5题图
4．【2021·淮安】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是( C )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，l是线段AB的垂直平分线，垂足为C，P，Q分别为l上的两点，则下列说法中正确的是 ( D )
A．PA＜QB B．PA＝QB C．PA＞QB D．PA与QB的大小关系不能确定
6．【2020·益阳】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为( B )
A．25° B．30° C．35° D．40°
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( A )
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．以上都不正确
8．如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，则有下列说法：①直线AO⊥BC；②直线AO平分线段BC；③直线AO是线段BC的垂直平分线；④AO平分∠BAC.其中说法正确的有 ( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段( B )的垂直平分线上．
A．AB B．AC C．BC D．不确定
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，M是∠AOB内的一点，C和D是∠AOB外的点，OA垂直平分CM，OB垂直平分DM.连接CD，分别交OA，OB于点E，F，若CD的长为10 cm，则△MEF的周长为( B )
A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．不能确定
11．【2021·河北】如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且OP＝2.8，若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是( B )
A．0 B．5 C．6 D．7
【解析】如图，连接OP1，OP2，P1P2.
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP2＝OP＝2.8.
∵OP1＋OP2>P1P2，∴0二、填空题
12．理解线段垂直平分线上的点的性质要注意两点：
(1)点一定在线段的______________上；
(2)距离指的是点到线段的两个________的距离．
【答案】垂直平分线 端点
13．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的______________上．
【答案】垂直平分线
第14题图 第15题图
14．如图，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索AB与AC的长度相等，需添加条件 ，理由是 .
【答案】BD＝CD 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
15．【2021·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是________．
【答案】12
【解析】∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC.
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝12.
三、解答题
16．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长．
解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC，∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE，∵AB＝5cm，∴CE＝5cm，∵DC＝BD＝3cm，∴BE＝3×2＋5＝11(cm)．
17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，点E在线段AD上，且∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AD垂直平分BC.
【易错分析】易因对线段垂直平分线的判定定理理解不透彻而出错．要说明一条直线是已知线段的垂直平分线，需要知道这条直线上的两个点，且这两个点到已知线段两个端点的距离相等，这样才能保证这条直线是已知线段的垂直平分线．而在实际做题时，有时会把一个点在线段的垂直平分线上与一条直线是线段的垂直平分线混为一谈．
证明：作△BEC的角平分线ED′，则∠BED′＝∠CED′.
又∵∠1＝∠2，ED′＝ED′，∴△EBD′≌△ECD′.
∴EB＝EC. ∴点E在线段BC的垂直平分线上．
又∵∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB.
同理可证AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∴AD垂直平分BC.
18．已知如图，AB＝AC，DB＝DC，P是AD上的一点．求证：∠ABP＝∠ACP.
证明：连接BC.
∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．
∴直线AD是线段BC的垂直平分线．
∵点P在直线AD上，∴PB＝PC.
在△ABP和△ACP中，
∴△ABP≌△ACP(SSS)．
∴∠ABP＝∠ACP.
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE，BC交于点F.求证：
(1)AD＝FC；
证明：∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF.
∵E为CD的中点，∴DE＝CE.
又∵∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)．∴AD＝FC.
(2)AB＝BC＋AD.
证明：由(1)知△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE.
又∵BE⊥AF，∴AB＝FB.
∵CF＝AD，∴FB＝BC＋CF＝BC＋AD.
∴AB＝BC＋AD.
20．已知，如图所示，AB＞AC，∠A的平分线与CB的垂直平分线GD交于点D，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F.试猜想BE与CF的关系，并给予证明．
解：BE＝CF.连接BD和CD，由已知条件易证BD＝CD，DE＝DF，再用“HL”证Rt△BED≌Rt△CFD，∴BE＝CF.
21．如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G.求证：
(1)BF＝CG；
【思路分析】构造以BF，CG为对应边的全等三角形；
【方法分析】化分为倍法即将要证的含几分之几的式子转化为倍数关系的式子，再运用证倍数关系的方法解决问题.
证明：如图，连接BE，CE.
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG.
∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE.
在Rt△EBF和Rt△ECG中，
∴Rt△EBF≌Rt△ECG(HL)．∴BF＝CG.
(2)AF＝(AB＋AC)．
【思路分析】采用“化分为倍法”，将结论转化为证2AF＝AB＋AC即可．
证明：AB＋AC＝(AF－BF)＋(AG＋CG)＝AF＋AG.
在Rt△AEF和Rt△AEG中，
∴Rt△AEF≌Rt△AEG(HL)．∴AF＝AG.
∴2AF＝AB＋AC，即AF＝(AB＋AC)．
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
【知识重点】
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1. 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
条件：点在线段的垂直平分线上.
结论：这个点到线段两端点的距离相等.
2. 几何语言 如图，
∵ AD⊥BC，BD＝CD，∴ AB＝AC.
特别解读
用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法.
知识点2 线段的垂直平分线的判定
1. 判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
条件：点到线段两个端点距离相等.
结论：点在线段的垂直平分线上.
2. 几何语言 如图，∵ AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上.
3. 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等.
特别解读
1. 证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是作垂直，证平分. 二是取中点，证垂直.
2. 证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在垂直平分线上.
【经典例题】
【例1】如图，在△ABC中，AB＝5 cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD的周长为8cm. 求线段AC的长.
解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求的线段向已知条件转化.
【例2】如图，AD为∠BAC的平分线，交BC于点D， AE＝AF，请判断线段AD所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的判定证明直线AD上的点A和点D到线段EF的两个端点的距离相等即可.
【例3】如图，OE，OF所在直线分别是△ABC中AB，AC边的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判断OI与BC的位置关系，并给予证明.
解题秘方：根据“三角形三边的垂直平分线相交于一点，三个内角的平分线也相交于一点”这两条性质进行证明.
【同步练习】
一、选择题
1．下列命题中正确的有 ( )
①P是线段AB上的一点，直线l经过点P，且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③经过线段AB的中点P且垂直于线段AB的直线l是线段AB的垂直平分线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
3．如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，若AC＝2.3cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是( )
A. 3.9 cm B. 7.8 cm C. 3.2 cm D. 4.6 cm
第3题图 第4题图 第5题图
4．【2021·淮安】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，l是线段AB的垂直平分线，垂足为C，P，Q分别为l上的两点，则下列说法中正确的是 ( )
A．PA＜QB B．PA＝QB C．PA＞QB D．PA与QB的大小关系不能确定
6．【2020·益阳】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．以上都不正确
8．如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，则有下列说法：①直线AO⊥BC；②直线AO平分线段BC；③直线AO是线段BC的垂直平分线；④AO平分∠BAC.其中说法正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段( )的垂直平分线上．
A．AB B．AC C．BC D．不确定
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，M是∠AOB内的一点，C和D是∠AOB外的点，OA垂直平分CM，OB垂直平分DM.连接CD，分别交OA，OB于点E，F，若CD的长为10 cm，则△MEF的周长为( )
A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．不能确定
11．【2021·河北】如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且OP＝2.8，若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是( )
A．0 B．5 C．6 D．7
二、填空题
12．理解线段垂直平分线上的点的性质要注意两点：
(1)点一定在线段的______________上；
(2)距离指的是点到线段的两个________的距离．
13．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的______________上．
第14题图 第15题图
14．如图，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索AB与AC的长度相等，需添加条件 ，理由是 .
15．【2021·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是________．
三、解答题
16．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长．
17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，点E在线段AD上，且∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AD垂直平分BC.
18．已知如图，AB＝AC，DB＝DC，P是AD上的一点．求证：∠ABP＝∠ACP.
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE，BC交于点F.求证：
(1)AD＝FC；
(2)AB＝BC＋AD.
20．已知，如图所示，AB＞AC，∠A的平分线与CB的垂直平分线GD交于点D，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F.试猜想BE与CF的关系，并给予证明．
21．如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G.求证：
(1)BF＝CG；
(2)AF＝(AB＋AC)．
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参考答案
【知识重点】
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1. 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
条件：点在线段的垂直平分线上.
结论：这个点到线段两端点的距离相等.
2. 几何语言 如图，
∵ AD⊥BC，BD＝CD，∴ AB＝AC.
特别解读
用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法.
知识点2 线段的垂直平分线的判定
1. 判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
条件：点到线段两个端点距离相等.
结论：点在线段的垂直平分线上.
2. 几何语言 如图，∵ AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上.
3. 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等.
特别解读
1. 证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是作垂直，证平分. 二是取中点，证垂直.
2. 证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在垂直平分线上.
【经典例题】
【例1】如图，在△ABC中，AB＝5 cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD的周长为8cm. 求线段AC的长.
解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求的线段向已知条件转化.
解：∵ DE为BC的垂直平分线，
∴ CD＝BD.
∴△ACD的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB＝8 cm.
∵ AB＝5 cm，∴ AC＝3 cm.
【例2】如图，AD为∠BAC的平分线，交BC于点D， AE＝AF，请判断线段AD所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的判定证明直线AD上的点A和点D到线段EF的两个端点的距离相等即可.
解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.
证明：如图，连接DE，DF.
∵ AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(SAS). ∴ DE＝DF.
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF 的垂直平分线.
【例3】如图，OE，OF所在直线分别是△ABC中AB，AC边的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判断OI与BC的位置关系，并给予证明.
解题秘方：根据“三角形三边的垂直平分线相交于一点，三个内角的平分线也相交于一点”这两条性质进行证明.
解：OI⊥BC. 证明：如图13.1-18，延长OI交BC于点M.
∵ OE垂直平分AB，OF垂直平分AC，
∴ O点在BC的垂直平分线上. ∴ OB＝OC.
又∵ BI平分∠OBC，CI平分∠OCB，
∴ OI平分∠BOC，即∠BOI＝∠COI.
在△BOM和△COM中，
∴△BOM≌△COM(SAS). ∴∠BMO＝∠CMO.
∵∠BMO＋∠CMO＝180°，∴∠BMO＝∠CMO＝90°，即OI⊥BC.
【同步练习】
一、选择题
1．下列命题中正确的有 ( B )
①P是线段AB上的一点，直线l经过点P，且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③经过线段AB的中点P且垂直于线段AB的直线l是线段AB的垂直平分线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( D )
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
3．如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，若AC＝2.3cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是( B )
A. 3.9 cm B. 7.8 cm C. 3.2 cm D. 4.6 cm
第3题图 第4题图 第5题图
4．【2021·淮安】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是( C )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，l是线段AB的垂直平分线，垂足为C，P，Q分别为l上的两点，则下列说法中正确的是 ( D )
A．PA＜QB B．PA＝QB C．PA＞QB D．PA与QB的大小关系不能确定
6．【2020·益阳】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为( B )
A．25° B．30° C．35° D．40°
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( A )
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．以上都不正确
8．如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，则有下列说法：①直线AO⊥BC；②直线AO平分线段BC；③直线AO是线段BC的垂直平分线；④AO平分∠BAC.其中说法正确的有 ( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段( B )的垂直平分线上．
A．AB B．AC C．BC D．不确定
第9题图 第10题图 第11题图
10．如图，M是∠AOB内的一点，C和D是∠AOB外的点，OA垂直平分CM，OB垂直平分DM.连接CD，分别交OA，OB于点E，F，若CD的长为10 cm，则△MEF的周长为( B )
A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．不能确定
11．【2021·河北】如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且OP＝2.8，若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是( B )
A．0 B．5 C．6 D．7
【解析】如图，连接OP1，OP2，P1P2.
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP2＝OP＝2.8.
∵OP1＋OP2>P1P2，∴0
12．理解线段垂直平分线上的点的性质要注意两点：
(1)点一定在线段的______________上；
(2)距离指的是点到线段的两个________的距离．
【答案】垂直平分线 端点
13．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的______________上．
【答案】垂直平分线
第14题图 第15题图
14．如图，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索AB与AC的长度相等，需添加条件 ，理由是 .
【答案】BD＝CD 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
15．【2021·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是________．
【答案】12
【解析】∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC.
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝12.
三、解答题
16．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长．
解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC，∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE，∵AB＝5cm，∴CE＝5cm，∵DC＝BD＝3cm，∴BE＝3×2＋5＝11(cm)．
17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，点E在线段AD上，且∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AD垂直平分BC.
【易错分析】易因对线段垂直平分线的判定定理理解不透彻而出错．要说明一条直线是已知线段的垂直平分线，需要知道这条直线上的两个点，且这两个点到已知线段两个端点的距离相等，这样才能保证这条直线是已知线段的垂直平分线．而在实际做题时，有时会把一个点在线段的垂直平分线上与一条直线是线段的垂直平分线混为一谈．
证明：作△BEC的角平分线ED′，则∠BED′＝∠CED′.
又∵∠1＝∠2，ED′＝ED′，∴△EBD′≌△ECD′.
∴EB＝EC. ∴点E在线段BC的垂直平分线上．
又∵∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB.
同理可证AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∴AD垂直平分BC.
18．已知如图，AB＝AC，DB＝DC，P是AD上的一点．求证：∠ABP＝∠ACP.
证明：连接BC.
∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．
∴直线AD是线段BC的垂直平分线．
∵点P在直线AD上，∴PB＝PC.
在△ABP和△ACP中，
∴△ABP≌△ACP(SSS)．
∴∠ABP＝∠ACP.
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE，BC交于点F.求证：
(1)AD＝FC；
证明：∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF.
∵E为CD的中点，∴DE＝CE.
又∵∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)．∴AD＝FC.
(2)AB＝BC＋AD.
证明：由(1)知△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE.
又∵BE⊥AF，∴AB＝FB.
∵CF＝AD，∴FB＝BC＋CF＝BC＋AD.
∴AB＝BC＋AD.
20．已知，如图所示，AB＞AC，∠A的平分线与CB的垂直平分线GD交于点D，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F.试猜想BE与CF的关系，并给予证明．
解：BE＝CF.连接BD和CD，由已知条件易证BD＝CD，DE＝DF，再用“HL”证Rt△BED≌Rt△CFD，∴BE＝CF.
21．如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G.求证：
(1)BF＝CG；
【思路分析】构造以BF，CG为对应边的全等三角形；
【方法分析】化分为倍法即将要证的含几分之几的式子转化为倍数关系的式子，再运用证倍数关系的方法解决问题.
证明：如图，连接BE，CE.
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG.
∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE.
在Rt△EBF和Rt△ECG中，
∴Rt△EBF≌Rt△ECG(HL)．∴BF＝CG.
(2)AF＝(AB＋AC)．
【思路分析】采用“化分为倍法”，将结论转化为证2AF＝AB＋AC即可．
证明：AB＋AC＝(AF－BF)＋(AG＋CG)＝AF＋AG.
在Rt△AEF和Rt△AEG中，
∴Rt△AEF≌Rt△AEG(HL)．∴AF＝AG.
∴2AF＝AB＋AC，即AF＝(AB＋AC)．