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（总课时06）§2.1认识无理数 （1）（2）
【学习目标】会判断一个数是有理数还是无理数。
【学习重难点】理解无理数的探究过程。
【导学过程】
一.知识回顾：
1.到目前为止，我们学过哪些数？
2.如图1，已知∠C=90°，AC=8，AB=10，则BC=_6_.
二.探究新知：
【算一算】:如图2，已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，斜边长为x,算一算x2值；x是整数（或分数）吗？答：x2=5.x既不是整数也不是分数.
【找一找】：如图3，在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段.
答:是有理数的线段：AB=10，EF=5；不是有理数的线段：CD，GH，MN.
【议一议】：（1）如果正方形A的面积为2，你能确定正方形的边长a吗？a是整数吗？是分数吗？是有理数？答：a2=2，正方形边长a既不是整数，也不是分数.
（2）面积为2的正方形的边长讨论：
边长a 面积S
1
1.41.411.4141.4142【猜想】：a可能是无限循环小数吗？事实上：a=1.41421356.....它是一个无限不循环的小数.
【概念】：无限不循环小数叫无理数.在上面讨论的问题中，a是一个无限不循环小数，a是无理数.
【概念辨析】
1.有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示，反过来，任何有限小数或无限循环小数也都表示有理数.
2.无理数还有象π，0.1010010001....（两个1之间零的个数逐次增加1）这样的形式.
三.典例与练习：
例1：（1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？（3）b是有理数吗？为什么？(4)b是无理数吗？
解：（1）正方形的面积是5.（2）b2=5.（3）不是，因为b既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.
（4）b是无理数.
练习1.长、宽分别是3,2的长方形，它的对角线可能是整数吗？可能是分数吗？是无理数吗？
解：∵它的对角线的平方=13，∴它不是整数，也不是分数，它是无理数.
例2下列各数中，哪些数是有理数？哪些数是无理数？
3.14159，-,,0.202002000200002.....（相邻两个2之间0的个数逐次加1）
解：有理数：3.14159，-；无理数：,0.202002000200002.....（相邻两个2之间0的个数逐次加1）.
练习2.下列说法中正确的是（ D ）
A.无理数是无限小数； B.无限小数是无理数；
C.无理数是无限循环小数； D.无理数是无限不循环小数。
例3.如图5是由边长为1的小正方形拼成的，作出以下线段，请说出这些线段中长度是有理数的有几条？长度是无理数的有几条？
解：长度是有理数的有：BC，EF，AE，DF，BE，DE，BD；
长度是无理数的有：AB，CD.
练习3.正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的有（ D ）
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
四.课堂小结：1.到目前为止我们学了的哪些数？分类:
2.无理数：无限不循环小数（圆周率π，有规律但不循环的小数）.
五.分层过关：
1．边长为5的正方形对角线的长是（ C ）A．整数 B．分数 C．无理数 D．有理数
2.下列各数中，属于无理数的是( A )A． B.0.1010010001 C.-2 D.0
3.体积分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方体，棱长是有理数的正方体有_2_个
4.如图7是由边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干顶点，可得到一些线段。分别找出三条长度是有理数的线段和三条长度是无理数的线段。
解：长度是有理数的线段：AB，AD，AC；
长度是无理数的线段：AC，BD，CD.
5.如图8，在的正方形网格中，每个正方形的边长都为1，请在所给网格中按要求画出图形。
（1）以点A为端点画一条线段，使它的另一个端点落在格点上，且长度为无理数，大小介于2和3之间；
（2）以（1）中的AB为边画一个等腰△ABC，使点C在格点上，且另两边的长度都是无理数。
解：(1)线段AB,226.若a、b都是无理数，且a+b=2，则a、b的值可以是1+π，1-π（填上一组满足条件的值即可）．
7.下列各数中，﹣2.5，0，8，﹣2，，0.7，，﹣1.121121112…（两个2之间1的个数逐次加1），，，有理数有几个？无理数有几个？
解：有理数有：﹣2.5，0，8，﹣2，0.7，，，，无理数有，﹣1.121121112…（两个2之间1的个数逐次加1），共2个，故答案为：2．
8.设边长为4的正方形的对角线长为x.
(1)x是有理数吗？说说你的理由； (2)请你估计一下x在哪两个相邻整数之间？
(3)估计x的值(结果精确到十分位)； (4)如果结果精确到百分位呢？
解：(1)x不是有理数．理由：由勾股定理可知x2＝42＋42＝32，首先x不可能是整数(因为52＝25，62＝36，所以x在5和6之间)，其次x也不可能是分数(因为若x是最简分数，则()2，仍是一个分数，不等于32)，综上可知：x既不是整数，也不是分数，所以x不是有理数
(2)x在5和6之间
(3)5.7
(4)5.66
整数
分数
有理数
正整数
负整数
负分数
正分数
零
图1
x
1
2
图2
图3
<
<
图4
图5
图6
A
B
C
D
图7
C
B
图8
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（总课时06）§2.1认识无理数 （1）（2）
【学习目标】会判断一个数是有理数还是无理数。
【学习重难点】理解无理数的探究过程。
【导学过程】
一.知识回顾：
1.到目前为止，我们学过哪些数？
2.如图1，已知∠C=90°，AC=8，AB=10，则BC=___.
二.探究新知：
【算一算】:如图2，已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，斜边长为x,算一算x2值；x是整数（或分数）吗？答：___________________________________________
【找一找】：如图3，在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段.
答:______________________________________________________________
【议一议】：（1）如果正方形A的面积为2，你能确定正方形的边长a吗？a是整数吗？是分数吗？是有理数？答：__________________________________________.
（2）面积为2的正方形的边长讨论：
边长a 面积S
11.41.411.4141.4142【猜想】：a可能是无限循环小数吗？事实上：a=1.41421356.....它是一个无限不循环的小数.
【概念】：无限不循环小数叫无理数.在上面讨论的问题中，a是一个无限不循环小数，a是无理数.
【概念辨析】
1.有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示，反过来，任何有限小数或无限循环小数也都表示有理数.
2.无理数还有象π，0.1010010001....（两个1之间零的个数逐次增加1）这样的形式.
三.典例与练习：
例1：（1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？（3）b是有理数吗？为什么？(4)b是无理数吗？
解：
练习1.长、宽分别是3,2的长方形，它的对角线可能是整数吗？可能是分数吗？是无理数吗？
解：______________________________________________________________________.
例2下列各数中，哪些数是有理数？哪些数是无理数？
3.14159，-,,0.202002000200002.....（相邻两个2之间0的个数逐次加1）
解：_____________________________________________________________________.
练习2.下列说法中正确的是（ ）
A.无理数是无限小数； B.无限小数是无理数；
C.无理数是无限循环小数； D.无理数是无限不循环小数。
例3.如图5是由边长为1的小正方形拼成的，作出以下线段，请说出这些线段中长度是有理数的有几条？长度是无理数的有几条？
解：
练习3.如图6正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的有（ ）
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
四.课堂小结：1.到目前为止我们学了的哪些数？分类:
2.无理数：无限不循环小数（圆周率π，有规律但不循环的小数）.
五.分层过关：
1．边长为5的正方形对角线的长是（ ）A.整数 B.分数 C.无理数 D.有理数
2.下列各数中，属于无理数的是( )A． B.0.1010010001 C.-2 D.0
3.体积分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方体，棱长是有理数的正方体有____个
4.如图7是由边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干顶点，可得到一些线段。分别找出三条长度是有理数的线段和三条长度是无理数的线段。
解：
5.如图8，在的正方形网格中，每个正方形的边长都为1，请在所给网格中按要
求画出图形。
（1）以点A为端点画一条线段，使它的另一个端点落在格点上，且长度为无理数，大小介于2和3之间；
（2）以（1）中的AB为边画一个等腰△ABC，使点C在格点上，且另两边的长度都是无理数。
6.若a、b都是无理数，且a+b=2，则a、b的值可以是________（填上一组满足条件的值即可）．
7.下列各数中，﹣2.5，0，8，﹣2，，0.7，，﹣1.121121112…（两个2之间1的个数逐次加1），，，有理数有几个？无理数有几个？
解：
8.设边长为4的正方形的对角线长为x.
(1)x是有理数吗？说说你的理由； (2)请你估计一下x在哪两个相邻整数之间？
(3)估计x的值(结果精确到十分位)； (4)如果结果精确到百分位呢？
解：
整数
分数
有理数
正整数
负整数
负分数
正分数
零
图1
x
1
2
图2
图3
<
<
图4
图5
图6
图7
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（总课时06）§2.1认识无理数（1）（2）
一.选择题：
1．在一组数－4，0.5，0，π，－，，0.1010010001．．．(相邻两个1之间依次增加1个0)中，无理数有(B)个A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个
2．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（B）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
3．下列说法正确的是（B）
A．所有无限小数都是无理数 B．所有无理数都是无限小数
C．有理数都是有限小数 D．不是有限小数的不是有理数
4．如图1，将直径为1的圆放置在数轴上原点O的位置，从原点开始向右滚动一周（圆没有在数轴上滑动）到达数轴上点A的位置，则A点表示的数是( D )
A．小数 B．整数 C．分数 D．无理数
二.填空题：
5．写出一个比3大且比4小的无理数：__π___．
6．把下列各数分别填入相应的集合内：
﹣2.5，0，8，﹣2，，， ﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）．
（1）正数集合：{8，，…}；（2）负数集合：{﹣2.5，﹣2，﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）…}；（3）整数集合：{0，8，﹣2，…}；（4）无理数集合：{，﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2），…}．
7.如图2，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共_4_个．
8.写出两个无理数，使它们的和为有理数_2+π_，_2-π._
三.解答题
9．李大爷有一块长方形菜地，且菜地的长是宽的2倍.
(1)若菜地的面积为98m2,求菜地的长与宽；(2)若菜地的面积为90m2,这块菜地的宽是多少？你能告诉李大爷这块菜地的宽在哪两个整数之间吗？
解：（1）设菜地的宽为xm，则菜地的长为2xm，由题意得，x×2x=98，∴2x2=98，
∴x2=49，∵x>0 ∴x=7，∴2x=14，∴菜地的长为14m，宽为7m。
（2）设菜地的宽为xm，则菜地的长为2xm，由题意得，
x×2x=90，∴2x2=90，∴x2=45，∴菜地的宽平方为45.
∵36<45<49，∴李大爷的菜地的宽在6与7之间。
10．观察图3,每个小正方形的边长均为1.
(1)图中阴影部分(正方形)的面积是多少 (2)估计阴影部分(正方形)的边长在哪两个整数之间
解：(1)由图可知，图中阴影正方形的面积是：，则阴影正方形的面积为10，即图中阴影正方形的面积是10.(2)∵9<10<16，∴3＜边长＜4,即边长的值在3与4之间.
11．如图4，分别以Rt△ABC的边为一边向外作正方形，已知AB＝2，BC＝1.
(1)求图中以AC为一边的正方形的面积；
(2)AC的长是不是无理数？若是无理数，请求出它的整数部分？
解：（1）∵Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC2=AB2+BC2=4+1=5，∴以AC为一边的正方形的面积为5；（2）∵AC2=5，∴4<5<9，∴2∴AC的长是无理数，它的整数部分是2.
12.如图5是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．（要求：所作线段不得与图中已有的线重合）
解：如图，AB=5，CD2=5．则AB为一条长度是有理数的线段，
CD为一条长度是无理数的线段．
14．如图7，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积为5；
（2）如图8，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示 的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是无理数吗？它的取值范围是1.2图1
图9
图8
图7
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（总课时06）§2.1认识无理数(1,2)
一.选择题：
1．在一组数－4，0.5，0，π，－，，0.1010010001．．．(相邻两个1之间依次增加1个0)中，无理数有( )个A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个
2．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
3．下列说法正确的是（ ）
A．所有无限小数都是无理数 B．所有无理数都是无限小数
C．有理数都是有限小数 D．不是有限小数的不是有理数
4．如图1，将直径为1的圆放置在数轴上原点O的位置，从原点开始向右滚动一周（圆没有在数轴上滑动）到达数轴上点A的位置，则A点表示的数是( )
A．小数 B．整数 C．分数 D．无理数
二.填空题：
5．写出一个比3大且比4小的无理数：________．
6．把下列各数分别填入相应的集合内：
﹣2.5，0，8，﹣2，，， ﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）．
（1）正数集合：{ …}；（2）负数集合：{ …}；
（3）整数集合：{ }；（4）无理数集合：{ }．
7.如图2，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共__个．
8.写出两个无理数，使它们的和为有理数__，__
三.解答题：
9．李大爷有一块长方形菜地，且菜地的长是宽的2倍.
(1)若菜地的面积为98m2,求菜地的长与宽；(2)若菜地的面积为90m2,这块菜地的宽是多少？你能告诉李大爷这块菜地的宽在哪两个整数之间吗？
10．观察图3,每个小正方形的边长均为1.
(1)图中阴影部分(正方形)的面积是多少 (2)估计阴影部分(正方形)的边长在哪两个整数之间
11．如图4，分别以Rt△ABC的边为一边向外作正方形，已知AB＝2，BC＝1.
(1)求图中以AC为一边的正方形的面积；
(2)AC的长是不是无理数？若是无理数，请求出它的整数部分？
12．如图5是由边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．（要求：所作线段不得与图中已有的线重合）
13．如图6，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积为 .（2）如图7，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示 的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是无理数吗？它的取值范围是 （精确到0.1）.（3）如图9，网格中每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长的取值范围是 .
图1
图8
图7
图6
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