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（总课时09）§2.3立方根
一．选择题：
1.﹣8的立方根是（ ）A. 2 B. ﹣2 C. ±2 D. ﹣
解：-8立方根是.故选B.
2.下列等式成立的是( )A. =±1 B. =15 C. =—5 D. =—3
解：∵(－5)3＝－125，∴－125的立方根是－5，故选C．
3.下列语句正确的是( )
A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B.一个数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根 D.一个不为零的数的立方根和这个数同号,0的立方根是0
解：A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或﹣1，故错误；
B．一个数的立方根不是正数就是负数，错误；还有0；C．负数有立方根，故错误；D．正确；故选D．
4.若a、b均为正整数，且a＞ ，b＞，则a+b的最小值是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
解：先根据平方根和立方根估算出a，b的范围，再确定a，b的最小正整数值，即可解答．
∵9＜11＜16，∴3＜＜4，而a＞，∴正整数a的最小值为4，∵8＜9＜27，
∴2＜＜3，而b>，∴正整数b的最小值为3，∴a+b的最小值是3+4=7．故选：B．
5.下列运算中，正确的个数是（ ）
①=1；②=﹣=﹣2；③ ④=±4；⑤ =﹣5．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
解①= ，故错误；②没有意义 ，故错误；③ ，故错误；④=4，故错误；⑤ =﹣5，正确 ，所以正确的有1个，故选B．
二.填空题：
6.若x-1是125的立方根,则x-7的立方根是_______.
解：∵x﹣1是125的立方根，∴x﹣1=5，∴x=6，∴x﹣7=﹣1，∴x﹣7的立方根是﹣1．故答案为：﹣1．
7.若是一个正整数，满足条件的最小正整数n= ．
解：72n=8×9n=23×32·n，要想是整数，则满足条件的最小正整数n的值应为3，故答案为：3.
8.若x2=16，则x= ；若x3=﹣8，则x= ；的平方根是 ．
解：若x2=16，则x=±4；若x3=﹣8，则x=﹣2；=3，3的平方根是±．故答案为：±4；﹣2；±．
9.5个同样大小的正方体的体积是135cm3,则每个正方体的棱长为_______.
解：设正方体的棱长为a，则，∴，解得：a=3．故答案为：3㎝．
10.若，则x= 【答案】0或1.
三.解答题：
11.求下列各数的立方根.(1)27000 (2)-27000 (3)-0.064 (4)-1
解：(1)27的立方根是：=30, (2)-27的立方根是：=-30
(3)-0.064的立方根是：=-0.4 (4)-1的立方根是：=-1
12.解方程：（1）4（x﹣3）2＝64； （2）3（x﹣1）3＝81．
解：（1）由题意得：x﹣3＝±4，∴x＝7或x＝﹣1；（2）由题意得：x﹣1＝3，∴x＝4．
13.一个正方体的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍,这个正方体的棱长是多少
解：根据题意得：=6，则这个正方体的棱长为6．
14.已知m+2的算术平方根是4，2m+n+1的立方根是3，求m﹣n的平方根．
解：由题意得，，解得：，∴m﹣n=16，m﹣n的平方根是±4．
15.某金属冶炼厂,将8000个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭,量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160cm、80cm和40cm,求原来立方体钢锭的边长为多少
解：根据题意得：==4（cm），则原来正方体钢锭的棱长为4cm．
16.某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可 以用下面的公式来估计:，其中d(km)是雷雨区域的直径.(1)如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间 (结果如果有根号，请保留根号)(2)如果一场雷雨持续了0.9h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少
解：（1）∵，∴，当d=6时，，即这场雷雨大约能持续h；(2)当t=0.9时，即这场雷雨区域的直径大约是9km.
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（总课时09）§2.3立方根
【学习目标】了解立方根的概念，会求一个数的立方根.【学习重难点】会求一个数的立方根.
【导学过程】一.知识回顾：
1.求下列各数的平方根和算术平方根：
2.求满足下列各式的未知数x
解：x=___________;解:x=__________
3.求下列各式的值。
解：(1)=________,(2)=________，（3）=_________
二.探究新知：
引例1.（1）棱长为4cm的正方体纸盒，它的体积是多少？解：______________________________.
现有一只体积为64cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？解：_________________________.
(3)已知球体积为36πm3,求它的半径r.(球的体积公式为：)解：_____________________.引例2：某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？如果新储气罐的体积是原来的4倍呢？
定义1：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做
a的立方根（也叫三次方根）.记作：,读作：三次根号a.
例如：①∵23=8，∴2是8的立方根；②∵(-3)3=-27，∴=-3；③∵03=0∴0的立方根是0.
定义2：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，a叫做被开方数.
归纳：一个正数有____个立方根，一个负数有___个立方根，0有____个立方根.
三.典例与练习：
例1.求下列各数的立方根：
(1)-27； (2)； (3)0.216； (4)－5；
问：除-3以外，还有什么数的立方等于-27 也就是说，负数-27还有别的立方根吗
练习1.你能说出下列各式的意义吗？你能求出它们的值吗？
_________， ________， _________ __________
=_________ =___________ =_________.
例2.求下列各式中的x：
(2)x3=-0.125 (3)(-x)3=-17, (4)x3=17
解：x=__________ 解：x=____________,解：x=_________,解：x=____________,.
练习2.（1）若，则x=____；（2）若有意义，则的取值范围是________．
（3）若，则=_______；（4）若，则m=___________.
例3.将体积分别为600cm3和129m3的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？
练习3.一个正方形的边长变为原来的m倍，则面积变为原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的n倍，则棱长变为原来的________倍
四.课堂小结:1.平方根和立方根的异同点:
被开方数 平 方 根 立 方 根
正数 有两个平方根，互为相反数. 有一个立方根，是正数.
负数 没有平方根. 有一个立方根，是负数.
0 0 0
2.符号中根指数“3”不能省略; 3.重要结论：①,②.
五.分层过关：
1.下列说法正确的是( )A.一个数的立方根有2个，它们互为相反数．B.非零数的立方根与这个数同号．
C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根．D．一个数的立方根是非负数．
2.的算术平方根是（ ）A、 B、3 C、 D、
3.若是的立方根，则下列说法正确的是（ ）
A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根
4.若，则（ ）A．9 B．10 C．11 D．12
5.平方根等于本身的数是__ ___;立方根是本身的数是_ ____.
6.已知的算术平方根是3，则的立方根是__ ___．
7．已知x2＝9，y3＝8，则x﹣y的值是_________．
8求下列各数的立方根：（1）-125；（2）0.027；（3）（53）2.
9.求下列各式的值:
(1); (2)-; (3); (4)-.
10.求下列各式中x的值：（1）4x2-25=0 (2)1+(x-1)2=-7
11.已知m-2的平方根是，2m+n+7的立方根是3，求的算术平方根.
12.我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根.华罗庚脱口而出,你知道怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由,确定的立方根是 位数；
（2）由的个位数是确定的立方根的个位数是 ；
（3）如果划去后面的三位得到数,而,由此能确定的立方根的十位数是 ；所以的立方根是 ；
（4）用类似的方法，请说出的立方根是 .
4.正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数
零的立方根是零
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（总课时09）§2.3立方根
【学习目标】了解立方根的概念，会求一个数的立方根.【学习重难点】会求一个数的立方根.
【导学过程】一.知识回顾：
1.求下列各数的平方根和算术平方根：
解：169的平方根是：土=土13，算术平方根是：13;10-6的平方根是：土10-3，算术平方根是：10-3;
的平方根是：土,算术平方根是：; 的平方根是：土,算术平方根是：.
2.求满足下列各式的未知数x
解：;解:
3.求下列各式的值。
解：（1） （2） （3）
二.探究新知：
引例1.（1）棱长为4cm的正方体纸盒，它的体积是多少？解：它的体积是：64cm3
（2）现有一只体积为64cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？解：它的每一条棱长是：4cm.
(3)已知球体积为36πm3,求它的半径r.(球的体积公式为：)解：r=3m
引例2：某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？如果新储气罐的体积是原来的4倍呢？
解：设现在球形的半径是a米，体积是,原来的球形体积是,
由题意得：V1=8V2即：a3=8,∴a=2;如果新储气罐的体积是原来的4倍则有：a3=4,a=
定义1：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做
a的立方根（也叫三次方根）.记作：,读作：三次根号a.
例如：①∵23=8，∴2是8的立方根；②∵(-3)3=-27，∴=-3；③∵03=0∴0的立方根是0.
定义2：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，a叫做被开方数.
归纳：一个正数有_1_个立方根，一个负数有_1_个立方根，0有_1_个立方根.
三.典例与练习：
例1.求下列各数的立方根：
(1)-27； (2)； (3)0.216； (4)－5；
解(1)因为=-27，所以-27的立方根是-3，即=-3.
问：除-3以外，还有什么数的立方等于-27 也就是说，负数-27还有别的立方根吗
答：除-3以外，没有其它的数的立方等于-27，也就是说，-27的立方根只有一个,就是-3.
(2)因为=，所以的立方根是即=.
(3)因为=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即=0.6.(4)－5的立方根是.
练习1.你能说出下列各式的意义吗？你能求出它们的值吗？
解：(1)-8的立方根=-2， （2）0.0064的立方根=0.4 （3）-的立方根=-,
(4)9的立方根的立方=9. （5）9的立方的立方根=9 (6)a的立方的立方根=a, (7)a的立方根的立方=a.
例2.求下列各式中的x：
解：x=5 (2)x3=-0.125 解：x=-0.5 (3)(-x)3=-17,解：x=-，(4)x3=17解：x=.
注：=-
练习2.（1）若，则x=27；（2）若有意义，则的取值范围是全体（实）数．
（3）若，则= 4 ；（4）若，则m= 1或0
例3.将体积分别为600cm3和129m3的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？
解：因为600+129=729，729的立方根是9，所以正方体的棱长为9cm.
练习3.一个正方形的边长变为原来的m倍，则面积变为原来的 m2 倍；一个立方体的体积变为原来的n倍，则棱长变为原来的 倍
四.课堂小结:1.平方根和立方根的异同点:
被开方数 平 方 根 立 方 根
正数 有两个平方根，互为相反数. 有一个立方根，是正数.
负数 没有平方根. 有一个立方根，是负数.
0 0 0
2.符号中根指数“3”不能省略; 3.重要结论：①,②.
五.分层过关：
1.下列说法正确的是(B)A.一个数的立方根有2个，它们互为相反数．B.非零数的立方根与这个数同号．
C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根．D．一个数的立方根是非负数．
2.的算术平方根是（ C ）A、 B、3 C、 D、
3.若是的立方根，则下列说法正确的是（ C ）
A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根
4.若，则（ C ）A．9 B．10 C．11 D．12
5.平方根等于本身的数是__0___;立方根是本身的数是__0,土1____.
6.已知的算术平方根是3，则的立方根是__﹣2____．
7．已知x2＝9，y3＝8，则x﹣y的值是_1或﹣5_．
8求下列各数的立方根：（1）-125；（2）0.027；（3）（53）2.
解：（1）∵（-5）3=-125∴-125的立方根为-5；（2）∵0.33=0.027∴0.027的立方根为0.3
（3）∵（53）2=（52）3∴（53）2立方根为52=25.
9.求下列各式的值:
(1); (2)-; (3); (4)-.
解(1)=1.2;(2)-=-0.3;(3)=;(4)-=1.2-1.1=0.1.
10.求下列各式中x的值：（1）4x2-25=0 (2)1+(x-1)2=-7
解（1）4x2=25，，．（2）（x﹣1）3=－8，x﹣1=－2，x=－1．
11.已知m-2的平方根是，2m+n+7的立方根是3，求的算术平方根.
解：∵m-2的平方根是±2，∴m-2=4，∴m=6，∵2m+n+7的立方根是3。∴2m+n+7=27，
把m的值代入解得：n=8，∴m2+n2的算术平方根为10.
12.我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根.华罗庚脱口而出,你知道怎样迅速准确地计算出结果的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由,确定的立方根是 位数；
（2）由的个位数是确定的立方根的个位数是 ；
（3）如果划去后面的三位得到数,而,由此能确定的立方根的十位数是 ；所以的立方根是 ；
（4）用类似的方法，请说出的立方根是 .
解：（1）∵1000＜59319＜1000000，∴，
∴的立方根是两位数，故答案为：两；
（2）只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，∴的立方根的个位数是9，故答案为：9；（3）∵27＜59＜64，∴，∴的十位数是3，∴，故答案为：3，39；
（4）根据上述知识可知，∴是个负两位数，十位上的数是4，
个位上的数是8，则，故答案为：-48.
4.正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数
零的立方根是零
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（总课时09）§2.3立方根
一．选择题：
1.﹣8的立方根是（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. ±2 D. ﹣
2.下列等式成立的是( )
A. =±1 B. =15 C. =—5 D. =—3
3.下列语句正确的是( )
A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B.一个数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根 D.一个不为零的数的立方根和这个数同号,0的立方根是0
4.若a、b均为正整数，且a＞ ，b＞，则a+b的最小值是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5.下列运算中，正确的个数是（ ）
①=1；②=﹣=﹣2；③ ④=±4；⑤ =﹣5．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二.填空题：
6.若x-1是125的立方根,则x-7的立方根是_______.
7.若是一个正整数，满足条件的最小正整数n= ．
8.若x2=16，则x= ；若x3=﹣8，则x= ；的平方根是 ．
9.5个同样大小的正方体的体积是135cm3,则每个正方体的棱长为_______.
10.若，则x=
三.解答题：
11.求下列各数的立方根.(1)27000 (2)-27000 (3)-0.064 (4)-1
12.解方程：（1）4（x﹣3）2＝64； （2）3（x﹣1）3＝81．
13.一个正方体的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍,这个正方体的棱长是多少
14.已知m+2的算术平方根是4，2m+n+1的立方根是3，求m﹣n的平方根．
15.某金属冶炼厂,将8000个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭,量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160cm、80cm和40cm,求原来立方体钢锭的边长为多少
16.某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:，其中d(km)是雷雨区域的直径.(1)如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间 (结果如果有根号，请保留根号)(2)如果一场雷雨持续了0.9h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少
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