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（总课时10）§2.4估算、§2.5用计算器开方 作业本
一.选择题：
1．估计的值在（ C ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
2．3+的结果在下列哪两个整数之间（ A ）
A．6和7 B．5和6 C．4和5 D．3和4
3．已知的整数部分为，的小数部分为b，则a+b的值为( D )
A．10 B． C． D．
4．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ B ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
5．若a，b均为正整数，且，，则a+b的最小值是（ B ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二.填空题：
6．若a，b为连续整数，且，则a+b=__7__．
7．m，n分别是的整数部分和小数部分，则2m+n=____．
8．若a＜＜b，且a，b为连续正整数，则b2﹣a2=7．
9．已知无理数若 若其中a,b为两个连续的整数，则b的值为_3__.
三.解答题:10．已知m,n分别表示的整数部分和小数部分，a是m2+n2的小数部分，求a的值。
解：∵，∴，∴m=2，，
∴，∵，∴，，即.
11．是一个无理数,它是一个无限不循环小数,且1<<2,我们把1叫做的整数部分,-1叫做的小数部分.利用上面的知识,请你确定下列各无理数的整数部分和小数部分:(1);(2).
解：(1)∵3＜＜4，∴的整数部分是3，小数部分是－3.
(2)∵9＜＜10，∴的整数部分是9，小数部分是－9.
12．已知5+与5﹣的小数部分分别是a和b，求（a+b）（a﹣b）的值．
解：∵2＜＜3，
∴7＜5+＜8，2＜5﹣＜3，
∴a=5+﹣7=﹣2，b=5﹣﹣2=3﹣
∴原式=（﹣2+3﹣）（﹣2﹣3+）=1×（2﹣5）=2﹣5．
13．已知2a+4的立方根是2，3a+b-1的算术平方根是3，的小数部分为．
（1）分别求出a,b,c的值；（2）求的平方根．
解（1）∵2a+4的立方根是2，3a+b-1的算术平方根是3，的小数部分为c，∴2a+4=8，3a+b-1=9，，解得：a=2，b=4，；（2），即的平方根为．
14．已知实数+1的整数部分为m，小数部分为n．（1）求m，n的值；（2）若m，n+1为一个直角三角形的斜边与一条直角边的长，求这个直角三角形的面积．解（1）∵1＜＜2，∴2＜+1＜3，∴m＝2，n＝=；（2）由题意可知，直角三角形的斜边长为2，一条直角边长为，
由勾股定理可得另一条直角边为1，∴直角三角形的面积为：.
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（总课时10）§2.4估算、§2.5用计算器开方
【学习目标】能估计一个无理数的大致范围，会比较两个数的大小；会用计算器求平方根和立方根.
【学习重难点】会比较两个数的大小.
【导学过程】
一.知识回顾
1.面积为4的正方形的边长是多少？面积是9的正方形的边长是多少？由此，你能确定面积是7的正方形的边长在哪两个整数之间吗？
二.探究新知：
引例1.某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园．已知这块地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米．此时公园的宽是多少 公园的宽有1000米吗？
解：
引例2.估算一个无理数的近似值
估算－2的值( )
A．在1和2之间 B．在2和3之间C．在3和4之间 D．在4和5之间
方法总结：利用被开方数两边比较接近的完全平方数的算术平方根估计这个数的算术平方根的大小．
（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求(－a)3＋(b＋2)2的值．
方法总结：首先确定的整数部分和小数部分(用这个无理数减去它的整数部分即为小数部分)．
引例3.用估算法比较两数的大小
（1）通过估算比较下列各组数的大小：①与1.5; ②与2.1.
解：
方法总结：比较两数的大小常用方法有：①作差比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．
引例4.利用计算器比较与的大小.
解：
三.典例与练习：
例1.你能比较与的大小吗？你是怎么想的？
练习1.已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋，乙＝3＋，丙＝1＋，则甲、乙、丙的大小关系，下列正确的是( )
A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙
练习2比较大小．(用“＞”或“＜”来表示)
(1)3____； (2)－____－； (3)______.
练习3.设的整数部分用表示，小数部分用表示，
的整数部分用表示，小数部分用表示，则的值为（ ）
A. B. C. D.
例2.生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定．现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，他的顶端能达到5.6米的高度吗？
练习4.如图所示，要在离地面5m处的电线杆上的两侧引拉线AB和AC，固定电线杆．生活经验表明，当拉线的固定点B(或C)与电线杆底端点D的距离为其一侧拉线长度的时，电线杆比较稳定．现要使电线杆稳定，问拉线至少需要多长才能符合要求？(精确到1m)
例3.通过估算，比较与2.5的大小.
练习5.通过估算，比较下面各数的大小．（1）与；（2）与3.85．
四.课堂小结:
1.估算无理数大小的方法：利用乘方来确定无理数的整数部分；根据所要求的误差确定小数部分.
2.两个带根号的无理数比较大小的结论：①.
②③若a,b都为正数，则
五.分层过关：
1.下面四个数中与最接近的数是（ ）A、5 B、4 C、 3 D、2
2.估计的值在（ ）.A、2和3之间 B、3和4之间 C、4和5之间 D、5和6之间
3.比较的大小为_________.
4.已知a,b为两个连续的整数，且，则a+b=_______.
5.大于而小于的整数有_________.
6.如果，那么m的取值范围是___________
7.一个人每天平均要饮用大约0.0015立方米的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量大约40立方米，如果用直径等于高的圆柱体来装这些液体，这个容器大约有多高？（结果精确到1m）
8.设的整数部分用x表示，的小数部分用y表示。
(1)用x的代数式表示y;(2)求代数式的值。
9.数学活动课上，张老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用（﹣1）表示它的小数部分．接着，张老师出示了一道练习题：“已知8+=x+y，其中x是一个整数，且0＜y＜1，请你求出2x+（﹣y）2016的值”．请聪明的你给出正确
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（总课时10）§2.4估算、§2.5用计算器开方
【学习目标】能估计一个无理数的大致范围，会比较两个数的大小；会用计算器求平方根和立方根.
【学习重难点】会比较两个数的大小.
【导学过程】一.知识回顾
1.面积为4的正方形的边长是多少？面积是9的正方形的边长是多少？由此，你能确定面积是7的正方形的边长在哪两个整数之间吗？
解：面积为4的正方形的边长是2.面积是9的正方形的边长是3. 2<<3
二.探究新知：
引例1.某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园．已知这块地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米．此时公园的宽是多少 公园的宽有1000米吗？
解：设公园的宽为x米，则它的长为2x米，由题意得：
x·2x=400000，2x2=400000，x=．那么= 如果要求误差小于10m,它的宽大约是？(大约440m或450m,其实440m与450m之间的值都可以)
引例2.估算一个无理数的近似值
（1）估算－2的值( )
A．在1和2之间 B．在2和3之间C．在3和4之间 D．在4和5之间
解：∵42<19<52（向完全平方数靠近），∴4<<5，∴2<－2<3.故选B.
方法总结：利用被开方数两边比较接近的完全平方数的算术平方根估计这个数的算术平方根的大小．
（2）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求(－a)3＋(b＋2)2的值．
解∵2<<3（向完全平方数靠近），∴的整数部分是2，
∴a＝2，是无限不循环小数，它的小数部分应是－2，
∴b＝－2，∴(－a)3＋(b＋2)2＝(－2)3＋(－2＋2)2＝－8＋8＝0.
方法总结：首先确定的整数部分和小数部分(用这个无理数减去它的整数部分即为小数部分)．
引例3.用估算法比较两数的大小
（1）通过估算比较下列各组数的大小：①与1.5; ②与2.1.
解：①∵6>4（向完全平方数靠近），∴>，∴>2，∴>＝1.5，即>1.5；
②∵26<27，∴<.即<3，但接近于3，∴>2.1.
方法总结：比较两数的大小常用方法有：①作差比较法；②求值比较法；③移因式于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．
引例4.利用计算器比较与的大小.
解：计算器算得=1.442，=1.414，∵1.442>1.414∴>
三.典例与练习：
例1.你能比较与的大小吗？你是怎么想的？
解：∵2<<3，∴1<-1<2，∴>
练习1.已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋，乙＝3＋，丙＝1＋，
则甲、乙、丙的大小关系，下列正确的是( A )
A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙
练习2比较大小．(用“＞”或“＜”来表示)(1)3>； (2)－>－； (3)>.
练习3.设的整数部分用表示，小数部分用表示，的整数部分用表示，小数部分用表示，则的值为（ C ）A. B. C. D.
例2.生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定．现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，他的顶端能达到5.6米的高度吗？
解：设梯子放平稳时，可以到达x米高的墙头，得x2＝62﹣（6×）2．
解得：x＝﹣4或x＝4，∵5.62＝31.36＞32，∴它的顶端不能到达5.6米高的墙头．
练习4.如图所示，要在离地面5m处的电线杆上的两侧引拉线AB和AC，固定电线杆．生活经验表明，当拉线的固定点B(或C)与电线杆底端点D的距离为其一侧拉线长度的时，电线杆比较稳定．现要使电线杆稳定，问拉线至少需要多长才能符合要求？(精确到1m)
解：设拉线至少需要xm才符合要求，由题意，得BD＝xm.
根据题图，由勾股定理，得x2＝(x)2＋52.化简，得x2＝.所以x＝.
当结果精确到1m时，借助计算器求的x＝≈6(m)．答：拉线至少要6m，才能符合要求．
例3.通过估算，比较与2.5的大小.解：∵2.5＝，∴>2.5
练习5.通过估算，比较下面各数的大小．（1）与；（2）与3.85．
解答：（1）∵＜2，∴-1＜1，即＜．（2）∵3.85=14.8225，∴＞3.85．
四.课堂小结:
1.估算无理数大小的方法：利用乘方来确定无理数的整数部分；
根据所要求的误差确定小数部分.
2.两个带根号的无理数比较大小的结论：①.
②③若a,b都为正数，则
五.分层过关：
1.下面四个数中与最接近的数是（ B ）A、5 B、4 C、 3 D、2
2.估计的值在（ A ）.A、2和3之间 B、3和4之间 C、4和5之间 D、5和6之间
3.比较的大小为___.∵2=＜，＜=2∴
4.已知a,b为两个连续的整数，且，则a+b=__15__.
5.大于而小于的整数有-1,0,1,2.
6.如果，那么m的取值范围是__1 m 2___
7.一个人每天平均要饮用大约0.0015立方米的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量大约40立方米，如果用直径等于高的圆柱体来装这些液体，这个容器大约有多高？（结果精确到1m）
解：设圆柱体的高为x米，由题得：π()2x=40,解得：x≈3.5答：这个容器大约有3.5米高
8.设的整数部分用x表示，的小数部分用y表示。用x的代数式表示y;(2)求代数式的值。解：(1)x=5,y=-x,(2)(-5)(+5)=1
9.数学活动课上，张老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用（﹣1）表示它的小数部分．接着，张老师出示了一道练习题：“已知8+=x+y，其中x是一个整数，且0＜y＜1，请你求出2x+（﹣y）2016的值”．请聪明的你给出正确
解：∵1＜＜2，∴9＜8+＜10，∵8+=x+y，其中x是一个整数，
且0＜y＜1，∴x=9，y=8+﹣9=﹣1，
∴2x+（﹣y）2016=2×9+[﹣（﹣1）]2016=18+1=19．
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一.选择题：1．估计的值在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
2．3+ 的结果在下列哪两个整数之间（ ）
A．6和7 B．5和6 C．4和5 D．3和4
3．已知的整数部分为，的小数部分为，则a+b的值为( )
A．10 B． C． D．
4．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
5．若a，b均为正整数，且，，则a+b的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二.填空题：
6．若，为连续整数，且，则__________．
7．m，n分别是的整数部分和小数部分，则2m+n=________．
8．若a＜＜b，且a，b为连续正整数，则b2﹣a2= ．
9．已知无理数若 若其中a,b为两个连续的整数，则b的值为________.
三.解答题:10．已知m,n分别表示的整数部分和小数部分，a是m2+n2的小数部分，求a的值。
11．是一个无理数,它是一个无限不循环小数,且1<<2,我们把1叫做的整数部分,-1叫做的小数部分.利用上面的知识,请你确定下列各无理数的整数部分和小数部分:(1);(2).
12．已知5+与5﹣的小数部分分别是a和b，求（a+b）（a﹣b）的值．
13．已知2a+4的立方根是2，3a+b-1的算术平方根是3，的小数部分为c．
（1）分别求出a，b，c的值；（2）求的平方根．
14．已知实数+1的整数部分为m，小数部分为n．
（1）求m，n的值；
（2）若m，n+1为一个直角三角形的斜边与一条直角边的长，求这个直角三角形的面积．
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