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（总课时11）§2.6 实数
【学习目标】了解实数的概念和意义；【学习重难点】能够按要求对实数进行分类.
【导学过程】一.知识回顾:
1、有理数包括整数和分数;
2、什么是无理数？答：无限不循环小数是无理数.带根号的数都是无理数吗？答：不一定.
二.探究新知：
1.引入.把下列各数分别填入相应的集合内：
（两个3之间7的个数逐次增加1）.
有理数集合：，，-，，0...
无理数集合：，，-π，，，-，0.3737737773 .（两个3之间7的个数逐次增加1）.
正数集合：,,,,,,0.3737737773 .（两个3之间7的个数逐次增加1）.
负数集合：,-,-.
2.定义：有理数和无理数统称为实数.即：实数可以分为有理数和无理数.
3.实数分类：
（1）按定义可分为： （2）按数的性质可分为：
4.重要结论：①实数和有理数一样有正负之分；
②在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样；③在有理数范围内的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用.
三.典例与练习：
例1.求下列各数的相反数和绝对值；
（1）； （2）； （3）
解：相反数：(1)- (2) (3)- 绝对值：（1）（2）（3）
练习1.的相反数是_-_；如果│x│=，那么x=_土_.
练习2.绝对值最小的实数为(A )
A 0 B 1 C -1 D 不存在
例2.计算：(1)(+)- (2)∣-∣+2 (3)(+)(-)
解：(1)原式=+-= （2）原式=（3+2）=5
（3）原式=-+2=- （4）原式=（）2-（）2=3-2=1
练习3.计算：(1)××； (2)3(－) 解：（1）原式= （2）3-3
例3.如图所示，认真观察，探讨下列问题：
（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？
解：（1）A点对应的数等于，它介于1与2之间．
如果将所有有理数都标到数轴上，数轴未被填满，
在数轴上还可以表示无理数．
练习4.你能在数轴上找到对应的点吗？
解：A点对应的数是.
结论：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．或者说：数轴被实数填满了.
四.课堂小结:
1.实数的定义：有理数和无理数统称为实数；2.无理数的表现形式：①开方开不尽的数，②特殊字母表示的数，如：π，③有规律但不循环的数，如：0.1010010001....（两个1之间零的个数逐次增加1）.
3.有理数范围内的所有性质、法则、运算律，在实数范围内仍然适用；
五.分层过关:
1.实数-的绝对值是（ B ）A、 B、 C、113 D、
2.和数轴上的点一一对应的是（ D ）A、自然数 B、有理数 C、无理数 D、实数
3.下列说法中正确的是（D）A、带根号的数都是无理数 B、无限小数是无理数
C、不能在数轴上表示的数是无理数 D、不能写成分数形式的数是无理数
4.实数的相反数是（ B ）A、 B、 C、 11 D、
5.如图，在数轴上，点A表示实数3，AB=2，连接OB，以O为圆心，OB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的实数是（ D ）
A．﹣4 B．3.5 C． D．
6.的绝对值是__,的相反数是___，
7.将下列各数填在相应的集合里．
，π，3.1415926，﹣0.456，3.030030003…（相邻的两个3之间0的个数逐渐增加），0，， ， ， ．
有理数集合：{ }；无理数集合：{ }；
正实数集合：{ }；整数集合：{ }．
有理数集合：无理数集合：
正实数集合：整数集合：
8.计算：(1)﹣32+|﹣3+|+． (2)（﹣1）2019++|1﹣|﹣．
解：(1)原式=-9+(3-) (2)原式=-1+3+-1-=1
9.计算：
解：原式=-+1+-1=
10.观察下面的式子：S1=1+，S2=1+，S3=1+…Sn=1+
（1）计算：= ，= ；猜想= （用n的代数式表示）；
（2）计算：S=（用n的代数式表示）．
解（1）∵S1=1+ ，∴；∵S2=1+，∴；
∵S3=1+，∴；∵Sn=1+，∴；
（2）解：S====
无理数
有理数
正有理数
负有理数
零
负无理数
正无理数
有限小数和无限循环小数
无限不循环小数
实数
实数
正实数
负实数
零
正有理数
负无理数
正有理数
正无理数
A
-2
-1
0
1
2
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一.选择题：
1．下列数：，，，，，，…(每两个之间多一个)其中有理数有( B )A． B． C． D．
2．下列语句中，正确的是（ D ）
A．正整数、负整数统称整数B．正数、0、负数统称有理数
C．开方开不尽的数和π统称无理数D．有理数、无理数统称实数
3．下列各数中最小的数是（ B ）A． B． C． D．
4．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心、正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是( B )A．－ B．2－ C．1－ D．1＋
5．下列说法：①无理数都是无限小数；②的算术平方根是3；③数轴上的点与实数一一对应；④平方根与立方根等于它本身的数是0和1.其中正确的个数是( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题：
6．=___2-___.
7．已知为整数，且满足，则_﹣1，0，1_．
8．比较大小：_＜_（填写“＞”或“＜”）．
9．将实数﹣，，π，﹣按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接：_﹣＜﹣＜＜π．
10．若的整数部分为，小数部分为，则的值是__3_.
三.解答题：
11．计算（1） （2）
解：（1）原式=3+2-2+4=（2）原式=6+3-3+2=8
12．计算：（1）已知，求式中x的值； （2）计算：()2＋－
解：（1）解得：x=1或-3
（2）()2＋－=2＋（-3）－2=-3
13．将下列各数的序号填在相应的集合里：①，②2π, ③3.1415926, ④-0.86, ⑤3.030030003…（相邻两个3之间0的个数逐渐多1) ⑥，⑦ ,⑧
有理数集合：{ }无理数集合：{ }
负实数集合：{ }
解：有理数集合：{①，③，④，⑦，⑧}；无理数集合：{②，⑤，⑥}；负实数集合：{④，⑧}．
14．已知数轴上A、B、C三个互不重合的点，若A点对应的数为a，B点对应的数为b，C点对应的数为c．
(1)若a是最大的负整数，B点在A点的左边，且距离A点2个单位长度，把B点向右移动3+个单位长度可与C点重合，请在数轴上标出A，B，C点所对应的数．
(2)在(1)的条件下，化简﹣﹣|a﹣b|+|c﹣a|．
解（1）∵a是最大的负整数，∴a＝﹣1．∵B点在A点的左边，且距离A点2个单位长度，∴﹣1﹣b＝2，∴b＝﹣3．∵把B点向右移动3个单位长度可与C点重合，∴c﹣（3）＝﹣3，∴c．
A，B，C点在数轴上所对应的数如图：
（2）|a﹣b|+|c﹣a|＝﹣a+（a+b）﹣（a﹣b）+（c﹣a）＝﹣a+a+b﹣a+b+c﹣a＝﹣2a+2b+c
当a=﹣1，b=﹣3，c=时，原式＝﹣2×（﹣1）+2×（﹣3）＝﹣4．
15.（1）发现．①；②；③；写出④ ；⑤ ；
（2）归纳与猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律；（3）证明这个猜想．
解：（1）由例子可得，④为：==，⑤=，
（2）如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：= ，
（3）证明：∵n是正整数，∴==．即= ．
故答案为：(1)==，=；(2)= ；
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【学习目标】了解实数的概念和意义；【学习重难点】能够按要求对实数进行分类.
【导学过程】一.知识回顾:
1、有理数包括_____和_____;
2、什么是无理数？答：__________________.带根号的数都是无理数吗？答：_______..
二.探究新知：
1.引入.把下列各数分别填入相应的集合内：
（两个3之间7的个数逐次增加1）.
有理数集合：_____________________________________
无理数集合：____________________________________________.
正数集合：_____________________________________________________________.
负数集合：________________.
2.定义：有理数和无理数统称为实数.即：实数可以分为有理数和无理数.
3.实数分类：
（1）按定义可分为： （2）按数的性质可分为：
4.重要结论：①实数和有理数一样有正负之分；
②在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样；③在有理数范围内的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用.
三.典例与练习：
例1.求下列各数的相反数和绝对值；
（1）； （2）； （3）
解：__________________________________________________________________.
练习1.的相反数是________；如果│x│=，那么x=___________.
练习2.绝对值最小的实数为( )
A 0 B 1 C -1 D 不存在
例2.计算：(1)(+)- (2) ∣-∣+2 (3) (+)(-)
解：(1)原式= （2）原式=
（3）原式=
练习3.计算：(1)××； (2)3(－)
例3.如图所示，认真观察，探讨下列问题：
（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？
解：
练习4.你能在数轴上找到对应的点吗？
解：
结论：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．或者说：数轴被实数填满了.
四.课堂小结:
1.实数的定义：有理数和无理数统称为实数；2.无理数的表现形式：①开方开不尽的数，②特殊字母表示的数，如：π，③有规律但不循环的数，如：0.1010010001....（两个1之间零的个数逐次增加1）.
3.有理数范围内的所有性质、法则、运算律，在实数范围内仍然适用；
五.分层过关:1.实数-的绝对值是（ ）A、 B、 C、113 D、
2.和数轴上的点一一对应的是（ ）A、自然数 B、有理数 C、无理数 D、实数
3.下列说法中正确的是（）A、带根号的数都是无理数 B、无限小数是无理数
C、不能在数轴上表示的数是无理数 D、不能写成分数形式的数是无理数
4.实数的相反数是（ ）A、 B、 C、11 D、
5.如图，在数轴上，点A表示实数3，AB=2，连接OB，以O为圆心，OB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的实数是（ ）A．﹣4 B．3.5 C． D．
6.的绝对值是_________,的相反数是_________，
7.将下列各数填在相应的集合里．
，π，3.1415926，﹣0.456，3.030030003…（相邻的两个3之间0的个数逐渐增加），0，
，，，．有理数集合：{ }；无理数集合：{ }；
正实数集合：{ }；整数集合：{ }．
8.计算：(1)﹣32+|﹣3+|+． (2)（﹣1）2019++|1﹣|﹣．
9.计算：
10.观察下面的式子：S1=1+，S2=1+，S3=1+…Sn=1+
（1）计算：= ，= ；猜想= （用n的代数式表示）；
（2）计算：S=（用n的代数式表示）．
无理数
有理数
正有理数
负有理数
零
负无理数
正无理数
有限小数和无限循环小数
无限不循环小数
实数
实数
正实数
负实数
零
正有理数
负无理数
正有理数
正无理数
-2
-1
0
1
2
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一.选择题：
1．下列数：，，，，，，…(每两个之间多一个)其中有理数有( )A． B． C． D．
2．下列语句中，正确的是（ ）
A．正整数、负整数统称整数B．正数、0、负数统称有理数
C．开方开不尽的数和π统称无理数D．有理数、无理数统称实数
3．下列各数中最小的数是（ ）A． B． C． D．
4．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心、正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是( )A．－ B．2－ C．1－ D．1＋
5．下列说法：①无理数都是无限小数；②的算术平方根是3；③数轴上的点与实数一一对应；④平方根与立方根等于它本身的数是0和1.其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题：
6．=____________.
7．已知为整数，且满足，则________．
8．比较大小：_____（填写“＞”或“＜”）．
9．将实数﹣，，π，﹣按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接：_____．
10．若的整数部分为，小数部分为，则的值是___.
三.解答题：
11．计算（1） （2）
12．计算：（1）已知，求式中x的值； （2）计算：()2＋－
13．将下列各数的序号填在相应的集合里：①，②2π, ③3.1415926, ④-0.86, ⑤3.030030003…（相邻两个3之间0的个数逐渐多1) ⑥，⑦ ,⑧
有理数集合：{ }
无理数集合：{ }
负实数集合：{ }
14．已知数轴上A、B、C三个互不重合的点，若A点对应的数为a，B点对应的数为b，C点对应的数为c．
(1)若a是最大的负整数，B点在A点的左边，且距离A点2个单位长度，把B点向右移动3+个单位长度可与C点重合，请在数轴上标出A，B，C点所对应的数．
(2)在(1)的条件下，化简﹣﹣|a﹣b|+|c﹣a|．
15.（1）发现．①；②；③；写出④ ；⑤ ；
（2）归纳与猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律；
（3）证明这个猜想．
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