2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步测试 4.5.1函数的零点与方程的解+4.5.2用二分法求方程的近似解（解析版）

4.5　函数的应用(二)
4．5.1　函数的零点与方程的解
4．5.2　用二分法求方程的近似解
一、单项选择题
1．下列函数没有零点的是(　　)
A．f(x)＝0 B．f(x)＝2
C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x－
2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内(　　)
A．至少有一个实根 B．至多有一个实根
C．没有实根 D．有唯一实根
3．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x，f(x)对应值：
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 11.238
由表可知函数y＝f(x)在区间(1,7)内的零点个数至少为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．用二分法求关于x的方程ln x＋2x－6＝0的近似解时，能确定为解所在的初始区间的是(　　)
A．(2,3) B．(0,2)
C．(1,2) D．(0，＋∞)
5．方程lg x＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是 (　　)
A．[1,4] B．[－2,1]
C. D.
7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.6000)＝0.200 f(1.5875)＝0.133 f(1.5750)＝0.067
f(1.5625)＝0.003 f(1.5562)＝－0.029 f(1.5500)＝－0.060
据此数据，可知f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值约为(精确到0.01)(　　)
A．1.55 B．1.56 C．1.57 D．1.58
8．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　)
A．a二、多项选择题
9．已知函数f(x)有唯一的零点x0，现有下列三种说法：x0∈(1,3)，x0∈(1,4)，x0∈(1,5)都正确，那么下面命题正确的是(　　)
A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点
B．函数f(x)在(3,5)内无零点
C．函数f(x)在(2,5)内有零点
D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点
10．下列关于函数零点的说法正确的是(　　)
A．函数零点就是函数图象与x轴的交点
B．函数f(x)有几个零点，其图象与x轴就有几个交点
C．不存在没有零点的函数
D．若f(x)＝0有且仅有两个相等的实根，则函数f(x)＝0有一个零点
11．已知f(x)是定义在[－10,10]上的奇函数，且f(x)＝f(4－x)，则函数f(x)的零点可能是(　　)
A．0 B．±4 C．±6 D．±8
12．关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间(1,2)上单调递增
B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4
D．函数f(x)有且仅有两个零点
三、填空题
13．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)×f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)×f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
14．函数f(x)＝的零点是________．
15．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．
16．设函数f(x)＝若a＝1，则f(x)的最小值为________；若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
17．试判断方程x4－x2＋2x＝1在区间[0,2]上是否有实数根？并说明理由．
18．利用计算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度为0.1)．
19．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1)．
20．已知函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
4.5　函数的应用(二)
4．5.1　函数的零点与方程的解
4．5.2　用二分法求方程的近似解
一、单项选择题
1．下列函数没有零点的是(　　)
A．f(x)＝0 B．f(x)＝2
C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x－
答案　B
解析　函数f(x)＝2不能满足方程f(x)＝0，因此没有零点．
2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内(　　)
A．至少有一个实根 B．至多有一个实根
C．没有实根 D．有唯一实根
答案　D
解析　f(x)＝－x－x3在[a，b]上单调递减，且f(a)·f(b)<0，∴f(x)＝0在[a，b]内有唯一解．
3．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x，f(x)对应值：
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 136.136 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064 11.238
由表可知函数y＝f(x)在区间(1,7)内的零点个数至少为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　由表可知：f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0，所以函数y＝f(x)在区间(1,7)内至少有4个零点．
4．用二分法求关于x的方程ln x＋2x－6＝0的近似解时，能确定为解所在的初始区间的是(　　)
A．(2,3) B．(0,2)
C．(1,2) D．(0，＋∞)
答案　A
解析　令函数f(x)＝ln x＋2x－6，可判断在(0，＋∞)上单调递增，∴f(1)＝－4<0，f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，∴根据函数的零点判断方法可得：零点在(2,3)内，方程ln x＋2x－6＝0的近似解在(2,3)内，故选A.
5．方程lg x＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　B
解析　令f(x)＝lg x＋2x－8，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且在(0，＋∞)上连续，因为f(1)＝－6<0，f(2)＝lg 2－4<0，f(3)＝lg 3－2<0，f(4)＝lg 4>0，所以f(3)·f(4)<0，函数零点所在的区间是(3,4)，所以k＝3.
6．在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是 (　　)
A．[1,4] B．[－2,1]
C. D.
答案　D
解析　∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.
7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.6000)＝0.200 f(1.5875)＝0.133 f(1.5750)＝0.067
f(1.5625)＝0.003 f(1.5562)＝－0.029 f(1.5500)＝－0.060
据此数据，可知f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值约为(精确到0.01)(　　)
A．1.55 B．1.56 C．1.57 D．1.58
答案　B
解析　由二分法，可知零点在(1.5562,1.5625)内，所以零点的近似值约为1.56.
8．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　)
A．a答案　B
解析　由于f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．由于g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2.
由于h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0，故h(x)的零点c∈，因此a二、多项选择题
9．已知函数f(x)有唯一的零点x0，现有下列三种说法：x0∈(1,3)，x0∈(1,4)，x0∈(1,5)都正确，那么下面命题正确的是(　　)
A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点
B．函数f(x)在(3,5)内无零点
C．函数f(x)在(2,5)内有零点
D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点
答案　ABD
解析　由x0∈(1,3)，x0∈(1,4)，x0∈(1,5)都正确，可知x0∈(1,3)，由此可判断A，B，D正确．
10．下列关于函数零点的说法正确的是(　　)
A．函数零点就是函数图象与x轴的交点
B．函数f(x)有几个零点，其图象与x轴就有几个交点
C．不存在没有零点的函数
D．若f(x)＝0有且仅有两个相等的实根，则函数f(x)＝0有一个零点
答案　BD
解析　函数零点指的是使f(x)＝0的x的值，即函数图象与x轴交点的横坐标，所以A不正确，B正确；并不是所有的函数都有零点，比如函数y＝2，所以C不正确；两个相等的实根只算一个零点，所以D正确．故选BD.
11．已知f(x)是定义在[－10,10]上的奇函数，且f(x)＝f(4－x)，则函数f(x)的零点可能是(　　)
A．0 B．±4 C．±6 D．±8
答案　ABD
解析　根据题意，f(x)是定义在[－10,10]上的奇函数，则有f(0)＝0；又由f(x)＝f(4－x)，令x＝0可得f(4)＝f(0)＝0；又函数f(x)为奇函数，则f(－4)＝－f(4)＝0；令x＝8可得f(8)＝f(4－8)＝f(－4)＝0，同理有f(－8)＝0.综上可得，函数的零点至少有0，±4，±8，故选ABD.
12．关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间(1,2)上单调递增
B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4
D．函数f(x)有且仅有两个零点
答案　ABD
解析　函数f(x)＝|ln |2－x||的图象如下图所示．
由图可得：
函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，A正确；
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；
若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，x1＋x2＝4不一定成立，C错误；
函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．故选ABD.
三、填空题
13．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)×f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)×f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
答案　(2,3)
解析　∵f(2)×f(3)<0，∴零点在区间(2,3)内．
14．函数f(x)＝的零点是________．
答案　－2
解析　由f(x)＝＝x＋2＝0，解得x＝－2, ∴f(x)的零点是－2.
15．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．
答案　3
解析　由题意可知，函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．
由图象可知有3个交点，
即f(x)＝x2－2x有3个零点．
16．设函数f(x)＝若a＝1，则f(x)的最小值为________；若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
答案　－1　∪[2，＋∞)
解析　若a＝1，则f(x)＝作出函数f(x)的图象如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．
四、解答题
17．试判断方程x4－x2＋2x＝1在区间[0,2]上是否有实数根？并说明理由．
解　原方程可化为x4－x2＋2x－1＝0.
令f(x)＝x4－x2＋2x－1.
∵f(0)＝－1<0，f(2)＝15>0，且函数f(x)的图象在[0,2]上是连续曲线，∴f(x)在区间[0,2]上有零点，故方程x4－x2＋2x＝1在[0,2]上有实数根．
18．利用计算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度为0.1)．
解　设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，又f(x)在(2,3)内单调递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根，记为x0.
取2与3的平均数2.5，
∵f(2.5)＝0.25>0，
∴x0∈(2,2.5)．再取2与2.5的平均数2.25，
∵f(2.25)＝－0.4375<0，∴x0∈(2.25,2.5)．
同理可得，x0∈(2.375,2.5)，x0∈(2.375,2.4375)．
∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，
∴方程x2－2x－1＝0的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.
19．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1)．
解　由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)在[1,2]内是增函数，所以函数f(x)在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1,2]．下面用二分法求解．
(a，b) (a，b)的中点 f(a) f(b) f
(1,2) 1.5 f(1)<0 f(2)>0 f(1.5)>0
(1,1.5) 1.25 f(1)<0 f(1.5)>0 f(1.25)>0
(1,1.25) 1.125 f(1)<0 f(1.25)>0 f(1.125)<0
(1.125,1.25) 1.1875 f(1.125)<0 f(1.25)>0 f(1.1875)<0
因为|1.1875－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.1875.
20．已知函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
解　(1)当m＋6＝0时，函数为f(x)＝－14x－5，显然有零点，
当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－.
∴m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．
综上，m≤－.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，
则有x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3，
且当m＝－3时，m≠－6，Δ>0，符合题意．
∴m＝－3.