2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步测试第四章 4.4.3不同函数增长的差异（解析版）

4.4.3　不同函数增长的差异
一、单项选择题
1．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是(　　)
A．y＝50 B．y＝1000x
C．y＝50x2 D．y＝ex
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)
3．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为(　　)
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
4．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，按此规律，2020年的湖水量为m，从2020年起经过x年后湖水量y与x的函数关系是(　　)
A．y＝0.9 eq \s\up15( ) ·m B．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－0.1 eq \s\up15( ) ))·m
C．y＝0.950x·m D．y＝(1－0.150x)·m
5. 向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(　　)
6．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用(　　)
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
7．下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是(　　)
A．y＝10×1.05x B．y＝20＋x1.5
C．y＝30＋lg (x－1) D．y＝50
8．下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝x eq \s\up15(－) 在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是(　　)
A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
二、多项选择题
9. 在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A．前5 min温度增加越来越快
B．前5 min温度增加越来越慢
C．5 min后温度保持匀速增加
D．5 min后温度保持不变
10．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，下列各项中图象与容器相匹配的是(　　)
A．a对应④ B．b对应③
C．c对应① D．d对应②
11．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则(　　)
A．投资3天以内(含3天)，采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案一
D．投资12天，采用方案二
12．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．下列结论中正确的是(　　)
A．当x>1时，甲走在最前面
B．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
三、填空题
13．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
答案　y＝x2
解析　当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快．
14．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
15．函数y＝2x－x2的图象大致是________．(填序号)
16．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间 t 60 100 180
种植成本 Q 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.你选取的函数是________，西红柿种植成本最低时的上市天数是________．
四、解答题
17．我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂．其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)存在函数关系，并得到相关数据如下表：
时间t 2 4
高度h 10 25 17
(1)根据上表数据，从下列函数中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系：y1＝kt＋b，y2＝at2＋bt＋c，y3＝abt，确定此函数解析式，并简单说明理由；
(2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度．
18．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10～1000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案的函数模型为f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的条件；
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①f(x) ＝＋2；②f(x)＝4lg x－2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．
4.4.3　不同函数增长的差异
一、单项选择题
1．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是(　　)
A．y＝50 B．y＝1000x
C．y＝50x2 D．y＝ex
答案　D
解析　通过观察图象可知，y＝ex随着x的增长，y的增长速度最快．
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)
答案　D
解析　设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．
3．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为(　　)
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
答案　A
解析　随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．故选A.
4．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，按此规律，2020年的湖水量为m，从2020年起经过x年后湖水量y与x的函数关系是(　　)
A．y＝0.9 eq \s\up15( ) ·m B．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－0.1 eq \s\up15( ) ))·m
C．y＝0.950x·m D．y＝(1－0.150x)·m
答案　A
解析　由已知50年减少10%，则x年后湖水量为原来的0.9 eq \s\up15( ) ，所以湖水量为y＝0.9 eq \s\up15( ) m，故选A.
5. 向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(　　)
答案　B
解析　取OH的中点(如右图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半，易知B符合题意．
6．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用(　　)
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
答案　D
解析　一次函数模型增长均匀，不符合题意；二次函数模型在对称轴的两侧有增也有降，不符合题意；指数函数模型是“爆炸式”增长，不符合题意．故只有对数函数模型最符合题意，先快速增长，后来增长越来越慢．
7．下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是(　　)
A．y＝10×1.05x B．y＝20＋x1.5
C．y＝30＋lg (x－1) D．y＝50
答案　A
解析　结合三类函数的增长差异可知A的预期收益最大．
8．下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝x eq \s\up15(－) 在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是(　　)
A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
答案　C
解析　观察函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝x eq \s\up15(－) 在区间(0，＋∞)上的大致图象(如图)，可知函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上递减较慢，且越来越慢，故选C.
二、多项选择题
9. 在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A．前5 min温度增加越来越快
B．前5 min温度增加越来越慢
C．5 min后温度保持匀速增加
D．5 min后温度保持不变
答案　BC
解析　根据图象信息可得，前5 min温度y随x的增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x变化的曲线是直线，即温度匀速增加．
10．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，下列各项中图象与容器相匹配的是(　　)
A．a对应④ B．b对应③
C．c对应① D．d对应②
答案　AD
解析　a容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与④对应；b容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与①对应；c，d容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但c容器细，d容器粗，故水高度的变化为c容器快，与③对应，d容器慢，与②对应．故选AD.
11．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则(　　)
A．投资3天以内(含3天)，采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案一
D．投资12天，采用方案二
答案　ABC
解析　由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．故选ABC.
12．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．下列结论中正确的是(　　)
A．当x>1时，甲走在最前面
B．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
答案　BCD
解析　四个函数的大致图象如图所示，根据图象易如，B，C，D正确．
三、填空题
13．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
答案　y＝x2
解析　当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快．
14．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
答案　甲
解析　把x＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．
15．函数y＝2x－x2的图象大致是________．(填序号)
答案　①
解析　在同一平面直角坐标系中作出y＝2x，y＝x2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x∈(0,2)时，2x>x2，即此时y>0；当x∈(2,4)时，2xx2，即y>0.当x＝－1时，f(－1)＝2－1－1<0，据此可知只有选项①中的图象符合条件．
16．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间 t 60 100 180
种植成本 Q 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.你选取的函数是________，西红柿种植成本最低时的上市天数是________．
答案　Q＝at2＋bt＋c　120
解析　由提供的数据可知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数，而函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝a·logbt，在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，故选取二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述，将表格所提供的三组数据(60,116)，(100,84)，(180,116)分别代入Q可得解得a＝，b＝－，c＝224，∴Q＝ t2－t＋224，该函数图象的对称轴为直线t＝120，开口向上，在对称轴处即t＝120时函数取得最小值．故选取的函数是Q＝at2＋bt＋c，西红柿种植成本最低时的上市天数为120.
四、解答题
17．我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂．其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)存在函数关系，并得到相关数据如下表：
时间t 2 4
高度h 10 25 17
(1)根据上表数据，从下列函数中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系：y1＝kt＋b，y2＝at2＋bt＋c，y3＝abt，确定此函数解析式，并简单说明理由；
(2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度．
解　(1)由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，而在给定的三类函数中，只有y2可能满足，故选取该函数．
设h(t)＝at2＋bt＋c，
有
∴h(t)＝－4t2＋20t＋1(t≥0)．
(2)h(t)＝－4t2＋20t＋1＝－4(t2－5t)＋1＝－42＋26，
∴当烟花冲出后2.5 s 时是爆裂的最佳时刻，此时烟花距地面的高度为26米．
18．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10～1000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案的函数模型为f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的条件；
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①f(x) ＝＋2；②f(x)＝4lg x－2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．
解　(1)由题意，知公司对奖励方案的基本要求是：当x∈[10,1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≥1恒成立；③f(x)≤恒成立．
(2)①对于函数模型f(x)＝＋2：
当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，
且f(x)≥f(10)＝≥1，即f(x)≥1恒成立，
而若使函数f(x)＝＋2≤在[10,1000]上恒成立，
则29x≥300在[10,1000]上恒成立．
又当x＝10时，29x＝29×10＝290<300，
所以f(x)≤在[10,1000]上不恒成立．
故该函数模型不符合公司的要求．
②对于函数模型f(x)＝4lg x－2：
当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，
且f(x)≥f(10)＝4lg 10－2＝2≥1，
所以f(x)≥1在[10,1000]上恒成立．
在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝4lg x－2和y＝的图象，如图所示．
由图象可知当x∈[10,1000]时，4lg x－2≤恒成立．
故该函数模型符合公司的要求．