2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步测试第四章 指数函数与对数函数 单元质量测评（解析版）

第四章 指数函数与对数函数
　单元质量测评
　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是(　　)
A．y＝2x2－x＋3 ．y＝x
C．y＝x eq \s\up15( ) ．y＝logx
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．[0,2) B．[0,1)∪(1,2)
C．(1,2) D．[0,1)
3．计算log225·log32·log59的结果为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
4．设a＝50.8，b＝0.67，c＝log0.74，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为(　　)
A．(0,0.5)　f(0.25) B．(0,1)　f(0.25)
C．(0.5,1)　f(0.75) D．(0,0.5)　f(0.125)
6．2011年全球经济开始转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是(　　)
A．y＝0.2x ．y＝(x2＋2x)
C．y＝ ．y＝0.2＋log16x
7．函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(1,2)与(2,3)
8．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f(lg x)>f(1)，则x的取值范围是(　　)
A.1
C.10
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知等式log2m＝log3n，m，n∈(0，＋∞)成立，那么下列结论可能成立的为(　　)
A．m＝n ．nC．110．已知函数f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，则以下结论正确的是(　　)
A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有>0
B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有<0
C．f(x)有最小值，无最大值
D．g(x)有最小值，无最大值
11．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点，则实数m可以是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
12．设函数f(x)＝logx，下列四个命题正确的是(　　)
A．函数f(|x|)为偶函数
B．若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则ab＝1
C．函数f(－x2＋2x)在(1,3)上为单调递增函数
D．若0三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．化简：eq \f(a eq \s\up15( ) －8a eq \s\up15( ) b,4b eq \s\up15( ) ＋2\r(3,ab)＋a eq \s\up15( ) )÷×＝________.
14．函数f(x)＝x2－2x的单调递减区间是________，单调递增区间是________．
15．不等式x<的解集是________．
16．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)计算：(0.25)0－－0.75＋ ＋ ＋ln ＋22＋log23；
(2)已知14a＝6,14b＝7，用a，b表示log4256.
18．(本小题满分12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上单调递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg (3＋x)＋lg (3－x)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(2m－1)20．(本小题满分12分)某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，决定用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时比礼品价值为n元(n∈N*)时的销售量增加10%.
(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；
(2)请你设计礼品的价值，以便商店获得最大利润．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝b·ax(a，b为常数，且a>0，a≠1，b≠0)的图象经过点A(1,8)，B(3,32)．
(1)试求a，b的值；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
22．(本小题满分12分)设f(x)＝log＋x为奇函数，a为常数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在x∈(1，＋∞)上的单调性，并说明理由；
(3)若对于区间[3,4]上的每一个x值，不等式f(x)>x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
第四章 指数函数与对数函数
　单元质量测评
　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是(　　)
A．y＝2x2－x＋3 ．y＝x
C．y＝x eq \s\up15( ) ．y＝logx
答案　C
解析　∵y＝2x2－x＋3的对称轴为x＝，∴在区间(0,1)上不是增函数，故A错误；y＝x的底数大于0小于1，在(0,1)上为减函数，故B错误；因为0<<1，所以y＝logx在(0,1)上为减函数，故D错误；y＝x eq \s\up15( ) 中，指数＞0，在(0,1)上单调递增，C正确．故选C.
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．[0,2) B．[0,1)∪(1,2)
C．(1,2) D．[0,1)
答案　B
解析　若使函数有意义，则解得0≤x<2且x≠1.选B.
3．计算log225·log32·log59的结果为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　D
解析　利用换底公式，则原式＝××＝××＝2××2＝6.
4．设a＝50.8，b＝0.67，c＝log0.74，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b答案　D
解析　∵a＝50.8>50＝1,05．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为(　　)
A．(0,0.5)　f(0.25) B．(0,1)　f(0.25)
C．(0.5,1)　f(0.75) D．(0,0.5)　f(0.125)
答案　A
解析　由于f(0)f(0.5)<0，故x0∈(0,0.5)，依二分法第二次应计算f(0.25)．故选A.
6．2011年全球经济开始转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是(　　)
A．y＝0.2x ．y＝(x2＋2x)
C．y＝ ．y＝0.2＋log16x
答案　C
解析　当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.
7．函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(1,2)与(2,3)
答案　B
解析　易知f(x)在(1，＋∞)上单调递减，f(2)＝1>0，f(3)＝＋ln＝－ln 2<0，所以f(x)在(2,3)内只有一个零点．
8．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f(lg x)>f(1)，则x的取值范围是(　　)
A.1
C.10
答案　C
解析　∵f(x)为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∴f(x)在(－∞，0)上是增函数．由函数的对称性且f(lg x)>f(1)，∴－1二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知等式log2m＝log3n，m，n∈(0，＋∞)成立，那么下列结论可能成立的为(　　)
A．m＝n ．nC．1答案　ABD
解析　设log2m＝log3n＝t，则2t＝m,3t＝n，当t＝0时，m＝n＝1，故A正确；当t<0时，00时，n>m>1，故D正确．故选ABD.
10．已知函数f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，则以下结论正确的是(　　)
A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有>0
B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有<0
C．f(x)有最小值，无最大值
D．g(x)有最小值，无最大值
答案　AD
解析　f(x)＝ex－在R上单调递增，无最值，故A正确，C错误；g(x)＝ex＋为偶函数，易知其在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，且在x＝0处取得最小值，无最大值，故B错误，D正确．故选AD.
11．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点，则实数m可以是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　ABC
解析　画出函数f(x)的图象，当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝－(x－2)2＋1.若函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点，则实数m＝1或m≤0.结合选项，因此m可以为－1，0,1.故选ABC.
12．设函数f(x)＝logx，下列四个命题正确的是(　　)
A．函数f(|x|)为偶函数
B．若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则ab＝1
C．函数f(－x2＋2x)在(1,3)上为单调递增函数
D．若0答案　ABD
解析　f(x)＝logx，x>0.函数f(|x|)＝log|x|，f(|x|)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)为偶函数，A正确；若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，∵a≠b，∴f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，∴loga＋logb＝log (ab)＝0，∴ab＝1，B正确；函数f(－x2＋2x)＝log (－x2＋2x)＝log [－(x－1)2＋1]，由－x2＋2x>0，解得01>1－a>0,0<1－a2<1，∴f(1＋a)<0三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．化简：eq \f(a eq \s\up15( ) －8a eq \s\up15( ) b,4b eq \s\up15( ) ＋2\r(3,ab)＋a eq \s\up15( ) )÷×＝________.
答案　a
解析　原式＝eq \f(a eq \s\up15( ) a－8b , 2b eq \s\up15( ) 2＋2a eq \s\up15( ) b eq \s\up15( ) ＋ a eq \s\up15( ) 2)×eq \f(a eq \s\up15( ) ,a eq \s\up15( ) －2b eq \s\up15( ) )×a eq \s\up15( ) b eq \s\up15( ) ＝eq \f(a eq \s\up15( ) a－8b ,a－8b)×a eq \s\up15( ) ×a eq \s\up15( ) b eq \s\up15( ) ＝a.
14．函数f(x)＝x2－2x的单调递减区间是________，单调递增区间是________．
答案　[1，＋∞)　(－∞，1)
解析　令u＝x2－2x，其递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，1)，根据函数y＝u是定义域上的减函数知，函数f(x)的单调递减区间是[1，＋∞)，单调递增区间是(－∞，1)．
15．不等式x<的解集是________．
答案　(0,1)∪(2，＋∞)
解析　由x<，得x当x>1时，log<－1，即logx∴x>2.
当0－1，即logx>log2，
∴x<2，即0综上得，不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)．
16．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
答案　(0,1)
解析　若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，等价于直线y＝m和y＝f(x)的图象有三个交点，数形结合可知m的取值范围是(0,1)．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)计算：(0.25)0－－0.75＋ ＋ ＋ln ＋22＋log23；
(2)已知14a＝6,14b＝7，用a，b表示log4256.
解　(1)原式＝1－(2－4) eq \s\up15(－) ＋(－1)＋＋ln e eq \s\up15( ) ＋22×2log23＝1－23＋－1＋2－＋＋4×3＝.
(2)∵14a＝6,14b＝7，∴log146＝a，log147＝b，
∴log4256＝＝＝＝＝＝＝.
18．(本小题满分12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上单调递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值范围．
解　∵－是函数的一个零点，∴f＝0.∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上单调递增，∴当logx≤0，即x≥1时，logx≥－，解得x≤2，即1≤x≤2.由对称性可知，当logx>0时，即019．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg (3＋x)＋lg (3－x)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(2m－1)解　(1)要使函数有意义，则
解得－3故函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)．
(2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)，关于原点对称．
对任意x∈(－3,3)，则－x∈(－3,3)，
∴f(－x)＝lg (3－x)＋lg (3＋x)＝f(x)，
∴由函数奇偶性可知，函数y＝f(x)为偶函数．
(3)∵函数f(x)＝lg (3＋x)＋lg (3－x)＝lg (9－x2)，
由复合函数单调性判断法则知，当0≤x<3时，函数y＝f(x)为减函数．
又函数y＝f(x)为偶函数，
∴不等式f(2m－1)解得－120．(本小题满分12分)某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，决定用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时比礼品价值为n元(n∈N*)时的销售量增加10%.
(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；
(2)请你设计礼品的价值，以便商店获得最大利润．
解　(1)设未赠礼品时的销售量为m个，
则当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10%)n个；
利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n
＝(20－n)·m·1.1n(0(2)令yn＋1－yn≥0，即(19－n)·m·1.1n＋1－(20－n)·m·1.1n≥0，解得n≤9.
∴y1令yn＋1－yn＋2≥0，即(19－n)·m·1.1n＋1－(18－n)·m·1.1n＋2≥0，解得n≥8.
∴y9＝y10>y11>y12>y13>…>y19，
∴礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝b·ax(a，b为常数，且a>0，a≠1，b≠0)的图象经过点A(1,8)，B(3,32)．
(1)试求a，b的值；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)∵函数f(x)＝b·ax的图象经过点A(1,8)，B(3,32)，
∴又a>0，∴a＝2，b＝4.
(2)由题意，知m≤x＋x在x∈(－∞，1]时恒成立．
设g(x)＝x＋x，x∈(－∞，1]，
则m≤g(x)min.
∵g(x)在(－∞，1]上是减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝＋＝，
∴m≤.故实数m的取值范围为.
22．(本小题满分12分)设f(x)＝log＋x为奇函数，a为常数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在x∈(1，＋∞)上的单调性，并说明理由；
(3)若对于区间[3,4]上的每一个x值，不等式f(x)>x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)∵f(x)＝log＋x为奇函数，
∴f(－x)＋f(x)＝0对定义域内的任意x都成立，
∴log－x＋log＋x＝0，
∴·＝1，解得a＝－1或a＝1(舍去)．
(2)由(1)知，f(x)＝log＋x，任取x1，x2∈(1，＋∞)，
设x1∴＞＞0，∴log＜log，
∴log＋x1＜log＋x2，
∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数．
(3)令g(x)＝f(x)－x，x∈[3,4]，
∵y＝x在x∈[3,4]上是减函数，
∴由(2)知，g(x)＝f(x)－x在x∈[3,4]上是增函数，
∴g(x)min＝g(3)＝，
∵对于区间[3,4]上的每一个x值，
不等式f(x)>x＋m恒成立，
即m＜g(x)恒成立，
∴m＜，即m的取值范围是.