2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步测试第四章4.4.2对数函数的图象和性质（解析版）

4.4.2　对数函数的图象和性质
一、单项选择题
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x B. C．logx D．2x－2
2．若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　)
A．b3．已知函数f(x)＝lg ，f(a)＝b，则f(－a)等于(　　)
A．b B．－b C. D．－
4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
5．若定义在(－1,0)上的函数f(x)＝log2a(x＋1)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(0，＋∞)
6．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(　　)
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．先减后增
7．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，9) D．(－∞，－1)∪(9，＋∞)
8．若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y＝loga(x2＋2)的最大值为－1，则实数a的值为(　　)
A．2 B. C．3 D.
二、多项选择题
9．下列函数中值域为R的是(　　)
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg (x2－2)
C．f(x)＝ D．f(x)＝ln (x2＋1)
10．若a>b>0,0A．logcacb
C．ac>bc D．logc(a＋b)>0
11．函数y＝ax2＋bx与y＝x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
12．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，a≠1)，则(　　)
A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)
B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称
C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0
D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数
三、填空题
13．已知f(x)＝log(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
14．若定义域为(－2，－1)的函数f(x)＝log(2a－3)(x＋2)，满足f(x)<0，则实数a的取值范围是________．
15．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
16．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log －x ，x<0，))则f(－8)＝________；若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
17．求y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
18．已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)＞f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
19．已知f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域．
20．设a>0，且a≠1，函数y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x)的单调区间．
4.4.2　对数函数的图象和性质
一、单项选择题
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x B. C．logx D．2x－2
答案　A
解析　∵y＝ax的反函数为y＝logax，∴f(x)＝logax，∵f(2)＝1，即loga2＝1，∴a＝2，则f(x)＝log2x，选A.
2．若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是(　　)
A．b答案　D
解析　因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b3．已知函数f(x)＝lg ，f(a)＝b，则f(－a)等于(　　)
A．b B．－b C. D．－
答案　B
解析　易知f(x)为奇函数，故f(－a)＝－f(a)＝－b.
4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案　A
解析　∵3x>0，∴3x＋1>1.∴log2(3x＋1)>0.∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．
5．若定义在(－1,0)上的函数f(x)＝log2a(x＋1)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(0，＋∞)
答案　A
解析　当x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)，而函数f(x)＝log2a(x＋1)>0，故0<2a<1，即06．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(　　)
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．先减后增
答案　A
解析　当a>1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1都是增函数，所以f(x)是增函数；当07．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，9) D．(－∞，－1)∪(9，＋∞)
答案　D
解析　当x0≤0时，由x>1得x0<－1；当x0>0时，由lg (x0＋1)>1得x0>9.综上，x0<－1或x0>9.
8．若ax≥1的解集为{x|x≤0}且函数y＝loga(x2＋2)的最大值为－1，则实数a的值为(　　)
A．2 B. C．3 D.
答案　B
解析　因为ax≥1＝a0的解集为{x|x≤0}，所以0二、多项选择题
9．下列函数中值域为R的是(　　)
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝lg (x2－2)
C．f(x)＝ D．f(x)＝ln (x2＋1)
答案　AB
解析　A，B的值域为R，C中当0≤x≤2时，值域为[0,4]，当x>2时，值域为(4，＋∞)，故f(x)的值域为[0，＋∞)；D中，x2＋1≥1，值域为[0，＋∞)．故选AB.
10．若a>b>0,0A．logcacb
C．ac>bc D．logc(a＋b)>0
答案　AC
解析　∵0b>0，得logcab>0，得cab>0，∴>1.又01，∴ac>bc，故C正确；取c＝，a＋b＝2，则logc(a＋b)＝log2＝－1<0，故D错误．故选AC.
11．函数y＝ax2＋bx与y＝x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
答案　BC
解析　若>1，则函数y＝x的图象为选项A，B中所示过点(1,0)的曲线，且>，故函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴x＝－应在区间或内，A不正确，B正确；若0<<1，则函数y＝x的图象为选项C，D中所示过点(1,0)的曲线，且0<<，故函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴x＝－应在区间或内，D不正确，C正确．故选BC.
12．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，a≠1)，则(　　)
A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)
B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称
C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0
D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数
答案　AB
解析　∵f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(a>0，a≠1)，∴f(x)＋g(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)，由x＋1>0且1－x>0，得－11时，函数f(x)＋g(x)在(－1,0)上单调递增，在[0,1)上单调递减，无最小值，故C错误；∵f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，当01时，f(x)＝loga(x＋1)在(0,1)上单调递增，g(x)＝loga(1－x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增，故D错误．故选AB.
三、填空题
13．已知f(x)＝log(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
答案　(－4,4]
解析　二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即解得－414．若定义域为(－2，－1)的函数f(x)＝log(2a－3)(x＋2)，满足f(x)<0，则实数a的取值范围是________．
答案　(2，＋∞)
解析　由x∈(－2，－1)，得0又log(2a－3)(x＋2)<0，所以2a－3>1，解得a>2.
15．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
答案　{a|2＜a≤3}
解析　∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
∴a的取值需满足
解得2＜a≤3.
16．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log －x ，x<0，))则f(－8)＝________；若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________．
答案　－3　(－1,0)∪(1，＋∞)
解析　当x＝－8时，f(－8)＝log8＝－3.若a>0，则由f(a)>f(－a)得log2a>loga，即2log2a>0，得a>1；若a<0，则由f(a)>f(－a)得log (－a)>log2(－a)，即2log2(－a)<0，得－11或－1四、解答题
17．求y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
解　因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，
即－1≥logx≥－2.
设t＝logx，则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.
18．已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)＞f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
解　(1)∵g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(9,2)，
∴loga9＝2，解得a＝3，∴g(x)＝log3x.
又函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，∴f(x)＝logx.
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，即log (3x－1)>log (－x＋5)，则解得＜x＜，
∴x的取值范围为.
19．已知f(x)＝log4(4x－1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求f(x)在区间上的值域．
解　(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0因此log4(4 x1－1)故f(x)在(0，＋∞)上递增．
(3)因为f(x)在区间上递增，
又f＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在上的值域为[0，log415]．
20．设a>0，且a≠1，函数y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x)的单调区间．
解　设t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.
当x∈R时，t有最小值2，无最大值．
所以lg (x2－2x＋3)的最小值为lg 2，无最大值．
又因为y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，所以0由f(x)＝loga(3－2x)，得其定义域为.
设u(x)＝3－2x，x∈，
则f(x)＝logau(x)．
因为u(x)＝3－2x在上是减函数，
所以f(x)＝logau(x)在上是增函数．
所以f(x)＝loga(3－2x)的单调增区间为.