2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步测试第五章 5.1.1任意角（解析版）

第五章　三角函数
5.1　任意角和弧度制
5．1.1　任意角
一、单项选择题
1．下列说法中，正确的是(　　)
A．第二象限的角都是钝角
B．第二象限角大于第一象限的角
C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
2．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α(　　)
A．是第三象限角
B．是第四象限角
C．既是第三象限角，又是第四象限角
D．不是任何象限的角
3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝(　　)
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
4．若α是第四象限的角，则270°－α是(　　)
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
5．角α＝45°＋k·180°，k∈Z的终边落在(　　)
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
6．若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　)
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C．α＋β＝2k·180°，k∈Z
D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
7. 如图，α，β分别是终边落在射线OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°，则终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为(　　)
A．{γ|k·360°－45°<γB．{γ|k·360°－135°<γC．{γ|k·180°－45°<γD．{γ|k·180°＋45°<γ8．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是(　　)
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角
二、多项选择题
9．关于角度，下列说法正确的是(　　)
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则角α与角β终边相同
10．已知α是第三象限角，则可能是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
11．下列四个选项正确的是(　　)
A．－75°角是第四象限角 B．225°角是第三象限角
C．475°角是第二象限角 D．－315°角是第一象限角
12．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)
A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
B.
C.
D.
三、填空题
13．－378°是第________象限角．
14．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．
15．若角θ的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角为________．
16．已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α四、解答题
17．在一昼夜中，钟表的时针和分针有几次重合？几次形成直角？时针、分针和秒针何时重合？请写出理由．
18．写出如图所示阴影部分的角α的范围．
19．分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来：
(1)－35°；(2)42°13′；(3)30°.
20．(1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；
(2)若α为第四象限角，试判断的终边所在的象限．
第五章　三角函数
5.1　任意角和弧度制
5．1.1　任意角
一、单项选择题
1．下列说法中，正确的是(　　)
A．第二象限的角都是钝角
B．第二象限角大于第一象限的角
C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
答案　D
解析　A错误，495°＝135°＋360°是第二象限的角，但不是钝角；B错误，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限的角，但α<β；C错误，α＝360°，β＝720°，α≠β，但二者终边重合；D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z)．
2．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α(　　)
A．是第三象限角
B．是第四象限角
C．既是第三象限角，又是第四象限角
D．不是任何象限的角
答案　D
解析　因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．
3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝(　　)
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
答案　C
解析　令k＝－1,0,1,2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.
4．若α是第四象限的角，则270°－α是(　　)
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
答案　D
解析　∵α是第四象限的角，∴－90°＋k·360°<α5．角α＝45°＋k·180°，k∈Z的终边落在(　　)
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
答案　A
解析　当k为偶数时，α的终边在第一象限；当k为奇数时，α的终边在第三象限，故选A.
6．若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　)
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C．α＋β＝2k·180°，k∈Z
D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
答案　C
解析　∵α与β的终边关于x轴对称，∴β＝2k·180°－α，k∈Z.∴α＋β＝2k·180°，k∈Z.故选C.
7. 如图，α，β分别是终边落在射线OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°，则终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为(　　)
A．{γ|k·360°－45°<γB．{γ|k·360°－135°<γC．{γ|k·180°－45°<γD．{γ|k·180°＋45°<γ答案　A
解析　因为－45°角是与β终边相同的一个角，所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为{γ|k·360°－45°<γ8．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是(　　)
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角
答案　C
解析　因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α二、多项选择题
9．关于角度，下列说法正确的是(　　)
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则角α与角β终边相同
答案　BD
解析　对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误；对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C，若三角形的内角为90°，是终边在y轴正半轴上的角，故错误；对于D，两个角的终边相同，则两个角相差360°的整数倍，故正确，故选BD.
10．已知α是第三象限角，则可能是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　BD
解析　因为α是第三象限角，所以k·360°＋180°<α11．下列四个选项正确的是(　　)
A．－75°角是第四象限角 B．225°角是第三象限角
C．475°角是第二象限角 D．－315°角是第一象限角
答案　ABCD
解析　对于A，如图1所示，－75°角是第四象限角；对于B，如图2所示，225°角是第三象限角；
对于C，如图3所示，475°角是第二象限角；对于D，如图4所示，－315°角是第一象限角．故选ABCD.
12．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)
A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
B.
C.
D.
答案　CD
解析　直线y＝－x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：135°，315°.因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}．或者表示为S＝{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}．故选CD.
三、填空题
13．－378°是第________象限角．
答案　四
解析　－378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角．
14．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．
答案　－1030°
解析　顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1080°，又50°＋(－1080°)＝－1030°，故所得的角为－1030°.
15．若角θ的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角为________．
答案　20°，140°，260°
解析　由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，则＝20°＋k·120°(k∈Z)，则当k＝0,1,2时，＝20°，140°，260°.
16．已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α答案　{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°，k∈Z}　{γ|k·360°－45°<γ解析　集合A，集合B表示的角的区域如图所示，则A∩B＝{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°，k∈Z}，A∪B＝{γ|k·360°－45°<γ四、解答题
17．在一昼夜中，钟表的时针和分针有几次重合？几次形成直角？时针、分针和秒针何时重合？请写出理由．
解　时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°，秒针每分钟走360°，本题为追及问题．
(1)一昼夜有24×60＝1440(分钟)，时针和分针每重合一次间隔的时间为分钟，所以一昼夜时针和分针重合的次数为＝22.
(2)假设时针不动，分针转一圈与时针两次形成直角，但一昼夜时针转了两圈，则少了4次垂直，于是一昼夜时针和分针形成直角的次数为24×2－4＝44.
(3)秒针与分针每重合一次间隔的时间为分钟，由于与的“最小公倍数”为720，而720分钟＝12小时，所以一昼夜只有0：00与12：00这两个时刻三针重合．
18．写出如图所示阴影部分的角α的范围．
解　(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为
{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)同理可表示图(2)中角α的范围为
{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
19．分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来：
(1)－35°；(2)42°13′；(3)30°.
解　(1)S＝{β|β＝－35°＋k·360°，k∈Z}，S中满足－360°≤β<720°的元素是－35°，325°，685°.
(2)S＝{β|β＝42°13′＋k·360°，k∈Z}，S中满足－360°≤β<720°的元素是－317°47′，42°13′，402°13′.
(3)S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}，S中满足－360°≤β<720°的元素是－330°，30°，390°.
20．(1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；
(2)若α为第四象限角，试判断的终边所在的象限．
解　(1)因为α为第三象限角，
所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，
则－180°－k·360°<90°－α<－90°－k·360°，k∈Z，
所以90°－α的终边在第三象限．
(2)由于α为第四象限角，
即α∈(k·360°－90°，k·360°)(k∈Z)，
所以∈(k·180°－45°，k·180°)(k∈Z)．
当k＝2n，n∈Z时，∈(n·360°－45°，n·360°)(n∈Z)，是第四象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，∈(n·360°＋135°，n·360°＋180°)(n∈Z)，是第二象限角．
综上，可知的终边所在的象限是第二或第四象限．