2023-2024学年人教版（五四制）八年级数学上册 20.1—22.1 阶段性综合练习题（含解析）

2023-2024学年人教版（五四学制）八年级数学上册《20.1—22.1》
阶段性综合练习题
一、选择题（共30分）
1．下列运算中，正确的是（　　）
A．a a2＝a3 B．（ab2）2＝a2b2 C．3a6÷a3＝3a2 D．4a﹣3a＝1
2．下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列四个式子：，x2+x，m，，其中分式的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则AC的长为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
6．下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（　　）
A．a2+（﹣b）2 B．﹣x2﹣y2 C．﹣m2+9 D．3x2y﹣27xy2
7．计算（﹣2）2022×（）2022的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．2
8．直接依据图中图形面积之间的关系，通过计算可以表示的等式是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝30°，AD是△ABC的高，AE平分∠BAD，过点D作DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．下列命题：①有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；②等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个等腰三角形的周长为17或22；③两个单项式的积仍是单项式；④形如的式子是分式；⑤三角形两边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等．其中正确的命题有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共18分）
11．当x　 　时，分式有意义．
12．分解因式：ma2﹣4mb2＝　 　．
13．计算：（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝　 　．
14．在△ABC中，AB＝AC，∠C＝80°，则∠A＝　 　．
15．如果多项式x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是 　 　．
16．如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点D作DP⊥BC，连接CP并延长交边AB于点F，连接BP并延长交边AC于点E，∠A＝∠CPE＝60°，，则S△PBF+S△PCE的值为 　 　．
三、解答题（满分72分）
17．因式分解：
（1）p（a2+b2）﹣q（a2+b2）；
（2）（a+b）2﹣12（a+b）+36．
18．计算：
（1）（﹣a2）5 （b4）2÷（ab）3；
（2）982+98×4+4（用简便算法计算）．
19．先化简，再求值：
x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝20220﹣．
20．如图，在正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；
（2）连接CC'，直线l与线段CC'的位置关系是 　 　；
（3）在直线l上确定一点P，使得PB+PC最短（不写作法，保留作图痕迹）．
21．如图，CD是△ABC的中线，将△ABC沿CD折叠，使点A落在点E处，连接BE．若∠ADC＝60°，AB＝8，求BE的长．
22．求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差（2n+1）2﹣（2n﹣1）2是8的倍数．
23．如图，△ABC为等腰三角形，AC＝BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF交AB于点G，求证：G为AB的中点．
24．在学习《因式分解》时，邹老师给同学们发了很多硬纸片（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C）．
（1）在探究中，小明用1张A和1张C组成如图1所示的长方形可以说明b2+ab可以分解为 　 　；
（2）继续探究中，小明用1张A，2张B和3张C再次拼得一个长方形，请在框1中画出示意图，并将长方形面积表达式的因式分解结果写在横线上；
（3）尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用1张A，4张B和若干张C拼成一个长方形或者正方形，请你设计两种不同的拼法，在框2和框3中分别画出示意图，并在相应的横线上写出所拼长方形的面积表达式及因式分解的结果．
25．如图1，等边△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，BE交于点F，CD＝AE．
（1）求∠BFD的度数；
（2）如图2，连接CF，若CF⊥BE，求证：BF＝2AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，将AD沿CF翻折交AC于点G，过点C作CF的垂线交直线FG于点H，若BF＝4，求GH的长．
参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：A、原式＝a3，符合题意；
B、原式＝a2b4，不符合题意；
C、原式＝3a3，不符合题意；
D、原式＝a，不符合题意．
故选：A．
2．解：A、是轴对称图形，故选项错误；
B、不是轴对称图形，故选项正确；
C、是轴对称图形，故选项错误；
D、是轴对称图形，故选项错误．
故选：B．
3．解：分母上含有字母的式子是分式，题目中所给的式子中只有，两个分母中都含有字母，所以这两个是分式，
故选：B．
4．解：∵2的相反数是﹣2，
∴点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为 （1，﹣2）．
故选：D．
5．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，
AC＝AB＝×8＝4（cm）．
故选：C．
6．解：A：a2+（﹣b）2＝a2+b2是两数的平方和，故A错；
B：﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2）是两数平方和的相反数，故B错；
C：﹣m2+9＝32﹣m2平方差，故C正确；
D：3x2y﹣27xy2＝3xy（x﹣9y），没有平方差，故D错，
故选：C．
7．解：（﹣2）2022×（）2022
＝（﹣2×）2022
＝（﹣1）2022
＝1．
故选：B．
8．解：从整体上看是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，
从各个部分看，整个图形由是边长为a的正方形，边长为b的正方形以及两个长为a、宽为b的长方形拼成，因此面积为a2+2ab+b2，
所以（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故选：B．
9．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
AD＝AB＝4（根据直角三角形30度角的性质），
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAF，
∴∠F＝∠DAF，
∴DF＝AD＝4．
故选：B．
10．解：有一个外角等于120°，即有一个内角等于60°，这样的等腰三角形是等边三角形，故①正确；
等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则第三边只能为9，这个等腰三角形的周长为22，故②错误；
两个单项式的积仍是单项式，故③正确；
形如的式子，当B中不含有字母时，不是分式，故④错误；
三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故⑤错误；
∴正确的命题有①③，共2个，
故选：B．
二、填空题（共18分）
11．解：∵分式有意义的条件是分母不等于0，
∴x﹣1≠0，解得x≠1，
故答案为：x≠1．
12．解：ma2﹣4mb2
＝m（a2﹣4b2）
＝m（a+2b）（a﹣2b），
故答案为：m（a+2b）（a﹣2b）．
13．解：原式＝4a2﹣2a+1．
故答案为：4a2﹣2a+1．
14．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝20°，
故答案为：20°．
15．解：∵x2+mx+9
＝x2+mx+（±3）2
＝（x±3）2，
∴m＝2×1×（±#）＝±6，
故答案为：±6．
16．解：作BM⊥CF于点M，CN⊥BN于点N，
∴∠BMF＝∠CNE＝90°，
∵点D为BC边的中点，DP⊥BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵BP＝CP，∠BMP＝∠CNP，且∠BPM＝∠CPN，
∴△BPM≌△CPN（AAS），
∴BM＝CN，PM＝PN，S△BPM＝S△CPN，
∵∠A＝∠BPF＝60°，
∴∠BFP＝∠BEA，
∵∠BEA＝∠CEN，
∴∠CEN＝∠BFP，
在△BFM和△CEN中，
，
∴△BFM≌△CEN（AAS），
∴FM＝NE，S△BFM＝S△CEN，
∴S△PBF+S△PCE＝2S△BPM，
∵∠BPF＝60°，BP＝CP，
∴∠PBD＝∠PCD＝30°，
∴∠MBP＝∠PBD＝30°，且BP＝BP，∠BMP＝∠BDP＝90°，
∴△BMP≌△BDP（AAS），
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（满分72分）
17．解：（1）p（a2+b2）﹣q（a2+b2）
＝（a2+b2）（p﹣q）；
（2）（a+b）2﹣12（a+b）+36
＝（a+b﹣6）2．
18．解：（1）原式＝﹣a10b8÷a3b3
＝﹣a7b5；
（2）原式＝982+2×98×2+22
＝（98+2）2
＝1002
＝10000．
19．解：原式＝x3﹣x2﹣x3﹣x2+x
＝﹣2x2+x，
∵x＝20220﹣＝1﹣＝，
∴原式＝﹣2×（）2+＝0．
20．解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；
（2）线段CC′被直线l垂直平分．
故答案为：垂直平分；
（3）连接BC′交直线l于点P，则点P即为所求点．
21．解：∵CD是△ABC的中线，AB＝8，
∴AD＝BD＝AB＝×8＝4，
∵△ABC沿CD折叠，使点A落在点E处，
∴AD＝DE，∠ADC＝∠EDC＝60°，
∴DE＝DB，
∵∠BDE＝180°﹣∠ADC﹣∠EDC＝60°，
∴△EDB是等边三角形，
∴BE＝BD＝4．
22．解：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝4n×2
＝8n，
∴当n是整数时，两个连续奇数的平方差（2n+1）2﹣（2n﹣1）2是8的倍数．
23．证明：∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵△AEC和△BCD为等边三角形，
∴∠CAE＝∠CBD，∠FAG＝∠FBG，
∴AF＝BF．
在△AFC和△BFC中，
，
∴△AFC≌△BFC（SSS），
∴∠ACF＝∠BCF，
即CF平分∠ACB，
又∵AC＝BC，
∴AG＝BG，
即G为AB的中点．
24．解：（1）b2+ab＝b（b+a），
故答案为：b（b+a）；
（2）a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b），
故答案为：（a+b）（a+2b）；
（3）a2+4b2+4ab＝（a+2b）2，
a2+4b2+5ab＝（a+b）（a+4b），
25．（1）解：∵等边△ABC，
∴AB＝CA，∠BAE＝∠ACD＝60°，
在△ACD与△BAE中，
，
∴△ACD≌△BAE（SAS），
∴∠DAC＝∠EBA，
∵∠BFD＝∠BAF+∠ABF，
∴∠BFD＝∠BAF+∠CAD＝∠BAC＝60°．
（2）证明：在BF上截取BQ＝AF，连接AQ，
在△QBA与△FAC中，
，
∴△QBA≌△FAC（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACF，
∴∠QBA+∠BAQ＝∠DAC+∠BAQ＝∠DAC+∠ACF，
∵∠AQF＝∠QBA+∠BAQ，∠DFC＝∠DAC+∠ACF，
∴∠AQF＝∠DFC＝∠BAQ+∠DAC．
∵CF⊥BE，∠BFD＝60°，
∴∠AQF＝∠DFC＝∠BAQ+∠DAC＝30°，
∴∠AQF＝∠DFC＝∠QAF＝30°，
∴AF＝FQ，
∴AF＝FQ＝BQ，
∵BF＝FQ+BQ＝2FQ，
∴BF＝2AF．
（3）解：如图，延长BE到点N，使得AF＝FN，连接AN，连接CN，交FH于点M，
∵∠BFD＝∠AFN＝60°，
∴△AFN是等边三角形，
∴AF＝AN＝FN，∠FAN＝∠FNA＝∠AFN＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣∠FAE＝∠CAN，
在△BAF与△CAN中，
，
∴△BAF≌△CAN（SAS），
∴BF＝CN，∠ABF＝∠ACN，
∵∠DAC＝∠EBA，
∴∠DAC＝∠ACN，
∴CN∥AD，
∴∠AFN＝∠FNM＝60°，
∵CF⊥BE，
∴∠FCN＝30°，
∵∠DFC＝30°，AD沿CF翻折交AC于点G，CF⊥CH，
∴∠DFC＝∠MFC＝∠MCF＝30°，∠MFN＝∠MCH＝∠MHC＝60°，
∴MF＝MC，∠CMH＝∠FMN＝60°，
∴△MCF是等腰三角形，△CMH，△MFN是等边三角形，
∴AF＝AN＝CM＝HM＝MF＝MN＝FN，
∵BF＝4，BF＝2AF，
∴AF＝2＝AN＝CM＝HM＝MF＝MN＝FN；
在△AGF与△CGM中，
，
∴△AGF≌△CGM（SAS），
∴，
∴GH＝HM+MG＝2+1＝3．