苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性 学案（无答案）

2.5等腰三角形的轴对称性
(压轴题型提优练习)
【学习目标】
掌握等腰（边）三角形的综合求边长关系
2．掌握等腰三角形的动点问题
3. 掌握等腰三角形的新定义题型
【典型例题】
类型一、等腰（边）三角形的综合求边长关系
【例1】【观察发现】
如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，猜想线段BD与AE的数量关系，以及BD与AE相交构成角的度数．请说明理由．
【深入探究】
如图2，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC．试探究线段CQ与BE的关系，并加以证明．
举一反三：
【变式1】如图1，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，AD与CE相交于O．
（1）求证：OA＝2DO；
（2）如图2，若点G是线段AD上一点，CG平分∠BCE，GF交CE所在直线于点F．求证：GB＝GF．
（3）如图3，若点G是线段OA上一点（不与点O重合），连接BG，边GF交CE所在直线于点F．猜想：OG，OF、OA三条线段之间的数量关系
【变式2】在等边△ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=CD．
（1）如图1，点M,N在边AB,AC上，BM=CN=2，求MN的长；
（2）如图2，点M,N在边AB,AC上，BM不等于CN，试猜想BM,CN,MN之间的数量关系，并加以证明；
（3）当点M,N在AB,CA的延长线上时，若等边△ABC的周长为L，AN的长为n，则△AMN的周长为______（用含有L，n的代数式表示）．
【变式3】如图1，已知H是的边的中点，，过点H作交的角平分线于点E，交于点D，交于点N．
（1）求证：；
（2）若，求度数；
（3）求证：；
（4）如图2，将沿翻折得到，若，求证：．
【变式4】某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究：
（1）如图1，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形△ACD，∠EAB＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，若AB＝8，BC＝4，∠ABC＝45°，求BD的长．
（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，CD＝BC，∠BCD＝60°，∠BAD＝30°，AB＝15，AC＝25，求AD的长 　 　（画出图形，做必要标记，不必写过程）．
类型二、等腰三角形的动点问题
【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝1s时，求△ACP的面积．
（2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？
（3）请利用备用图2继续探索：当△ACP是等腰三角形时，求t的值．
举一反三：
【变式1】 如图1，中，于D，且，
（1）试说明是等腰三角形；
（2）已知，如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若的边与平行，求t的值；
②若点E是边的中点，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理
【变式2】如图，在中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止．设点的运动时间为秒（）．
（1）求斜边上高．
（2）①当点在上时，长为_______．（用含的代数式表示）
②若点在的角平分线上，则的值为_______．
（3）在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时的值．
【变式3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP=______（用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发__________________秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边等腰三角形？
【变式4】如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
类型三、等腰三角形的新定义题型
【例1】如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在 中，，点 D 在边上，且，则_____度；
（2）在 中，和是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E 在 边上，且，，则的度数为____________．
举一反三：
【变式1】定义：如果两条线段将一个三角形分成 3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．例如：如图①，线段、把一个顶角为的等腰分成了 3个等腰三角形，则线段、就是等腰的“三分线”．
（1）图②是一个顶角为 45°的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数．
（2）如图③，在边上取一点，令可以分割出第一个等腰，接着又需要考虑如何将分成2个等腰三角形，即可画出所需要的“三分线”，类比该方法，在图④中画出的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数；
【变式2】数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：
（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；
（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．
（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．
【变式3】若和△ADE均为等腰三角形，且，当和互余时，称与△ADE互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做△ADE的“余高”如图，与△ADE互为“底余等腰三角形”．
(1)若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；
(2)当时，若△ADE的“余高”，则______；
(3)当时，判断与之间的数量关系，并说明理由．