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（总课时21）§3.2用频率估计概率
【学习目标】能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．
【学习重难点】能估计一些复杂的随机事件发生的概率．
【导学过程】
一.知识回顾：1．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是（ A ） A． B． C． D．
2．某商场在“五一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸奖一次，得奖的概率是______．
3．一个口袋中有4个白球，5个红球，6个黄球，每个球除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是___．
二.探究新知：
1．（1）400个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？300个同学呢？
（2）50个同学中，2个同学的生日相同的概率是多大呢？很有可能？有可能？还是可能性很小？猜想一下．
（3）每个同学课外调查10个人的生日，从全班的调查结果中随机选取50个被调查人，看看他们中有没有2个人的生日相同．将全班同学的调查数据集中起来，估计50个人中有2个人生日相同的概率．
答：（1）一定；不一定；（2）可能性很大；（3）0.97.
2.任意6个人中，有2个人生肖相同的概率有多大？
方法一：在全市分组展开调查，然后将数据汇总，再随机地从这些数据中抽取6人的数据，用多次重复的试验估计事件的概率。这样做的缺点是：费时费力。能否通过模拟试验替代这一试验呢
方法二：用12个编有号码且大小相同的球代替12个不同的生肖，每个人的生肖都对应着1个小球，事件：“6个人中有2个人生肖相同”，就是6个球中有2个球的号码相同。口袋里装有12个这样的球，从中摸出一个球，记下它的号码，放回去，再从中摸一个球，放回去....直至摸出第6个球，记下6个号码，为一次试验；重复多次试验，即可估计事件的概率。
小结：1.通过大量重复实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
2.尽管随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但只要保持实验条件不变，那么这一事件出现的频率就会随着实验次数的增大而趋于稳定，这个稳定值就可以作为该事件发生概率的估计值。
三.典例与练习：例1.一个口袋中有8个黑球和若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，怎样估计出其中白球数？小亮的作法是：从口袋里随机摸出来一个球，记下顔色再把它放回；不断地重复这一试验，共摸了200次，其中有57个黑球，这时可估计口袋里大约有20个白球。其中理由是：8÷(57÷200)-8≈20。
小颖的作法是：随机地从口袋里一次摸出10个球，求出其中黑球数与10的比，再把球放回口袋中，摇匀；不断地重复上述试验，共摸出了20次，黑球数与10的比的平均数为0.25，这时可估计口袋里大约有24个白球。其中理由是：8÷0.25-8=24。
小结：小颖的作法是用样本频率的平均数替代整体的频率，进一步替代整体的概率。
练习：1.一位保险推销员对人们说：“人有可能得病，也有可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占
50﹪”他的说法（ B ）A．正确 B．不正确 C．有时正确，有时不正确 D．应由气候条件确定
2.某位同学一次掷出三个骰子全是“6”的事件是（ D ）
A．不可能事件 B．必然事件 C．不确定事件可能性较大 D． 不确定事件可能性较小
四.课堂小结：1.用试验的方法估计随机事件的概率是常用的方法；
2.对于试验次数过大或试验具有破坏性，可以用样本的概率替代整体的概率。
五.分层过关：1.从一个不透明的口袋中摸到红球的概率是0.2，已知袋中的红球有3个，则袋中原有球的个数是（ D ）A．5个 B．8个 C．10个 D．15个
2．下列说法正确的是（ A ）A．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天．
B．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖．C．抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大．
D．天气预报说明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半的时间在下雨．
3．把一个球任意投入A，B，C，D，四个盆子中，则A号盆无球的概率是（ B ）
A．1 B． C． D．
4．三个苹果放到甲、乙两个抽屉中，甲抽屉中有两个苹果的概率为__
5．有五条线段，长度分别是2、4、6、8、10，从中任抽三条线段．
（1）一定能构成三角形的三边吗？（2）猜想：能构成三角形三边的概率有多大？
答：（1）不一定能构成三角形的三边.（2）P（构成三角形三边）=
思考题：一个不透明的盒子里装有四个分别标有数字-1、-2、-3、-4的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．（1）用列表法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在一次函数y=x-1的图像上的概率？
（3）求小明、小华各取一次小球所确定的数x，y满足y>x-1的概率？
-1 -2 -3 -4
-1 (-1,-1) (-1,-2) (-1,-3) (-1,-4)
-2 (-2,-1) (-2,-2) (-2,-3) (-2,-4)
-3 (-3,-1) (-3,-2) (-3,-3) (-3,-4)
-4 (-4,-1) (-4,-2) (-4,-3) (-4,-4)
(2)p(y=x-1)=
(3)P(y>x-1)=
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（总课时21）§3.2用频率估计概率
一.选择题：
1．连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是( B )
A. B. C. D.
2．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ C ）A.20 B.300 C.500 D.800
3．箱子内装有53颗白球及2颗红球，小芬打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球再放回的方式抽53次球．若箱子内每颗球被抽到的机会相等，且前52次中抽到白球51次及红球1次，则第次抽球时，小芬抽到红球的机率为何？（ D ）A． B． C． D．
4．如图1，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（ C ）A． B． C． D．
5．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是（ D ）
A.频率就是概率， B.频率与试验次数无关， C.在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各实验小组所得频率的值也会相同， D.随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率数值附近
二.填空题：
6．如图2，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于．
7．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个兵乓球，摸到黄色兵乓球的概率为，那么盒子内白色兵乓球的个数为4_.
8．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为它是黄球的概率的0.5，则n＝_4__．
9．如图3四张扑克牌的牌面如图①，将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上如图②，随机同时抽取两张扑克牌，牌面数字是2和4的概率为___.
10．有六张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该数字加1记为b．则数字a，b使得关于x的方程ax2+bx+＝0有解的概率为_____．
三.解答题：11．一个袋子中装有3个红球和两个黄球，它们除颜色外，其他都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）将n个绿球（与红.黄球除颜色外，其他都相同）放入袋中摇均匀，从袋中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程，共摸了500次，其中60次摸到红球．请通过计算估计n的值．
解（1）从袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）根据题意，得，解得n=20.经检验，n=20是分式方程的根，且符合题意，所以n的值为20．
12．一个不透明袋子中有1个红球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到红球的频率稳定于0.25，求n的值．
（2）在（1）的条件下，从袋中随机摸出两个球，求两个球颜色不同的概率．
解：（1）利用频率估计概率得到摸到红球的概率为0.25，则=0.25，解得n=3；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球的颜色不同的结果共有6种，
所以两次摸出的球颜色不同的概率==．
四.提高题：13．小明和小丽做游戏，袋中装有两个完全相同的球，分别标有数字“1”和“2”，每次先从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回袋中，然后自由转动图中的转盘（转盘被分成相等的三个扇形）.游戏规则是：如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为4，那么小丽获胜，得4分，否则小明胜，得3分.这个游戏对双方公平吗？说明理由.
解：不公平.理由：根据题意，列表如下：
∴P（和为4），P（和不是4），平均每次小丽得分为（分），
小明得分（分）.，不公平.
图3
图2
图1
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（总课时21）§3.2用频率估计概率 作业本
一.选择题：
1．连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是 ( )
A. B. C. D.
2．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）A.20 B.300 C.500 D.800
3．箱子内装有53颗白球及2颗红球，小芬打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球再放回的方式抽53次球．若箱子内每颗球被抽到的机会相等，且前52次中抽到白球51次及红球1次，则第次抽球时，小芬抽到红球的机率为何？（ ）A． B． C． D．
4．如图1，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（ ）A． B． C． D．
5．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是（ ）
A.频率就是概率， B.频率与试验次数无关， C.在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各实验小组所得频率的值也会相同， D.随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率数值附近
二.填空题：
6．如图2，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率等于_____．
7．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个兵乓球，摸到黄色兵乓球的概率为，那么盒子内白色兵乓球的个数为________.
8．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为它是黄球的概率的0.5，则n＝____．
9．如图3四张扑克牌的牌面如图①，将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上如图②，随机同时抽取两张扑克牌，牌面数字是2和4的概率为___.
10．有六张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2，3的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该数字加1记为b．则数字a，b使得关于x的方程ax2+bx+＝0有解的概率为_____．
三.解答题：11．一个袋子中装有3个红球和两个黄球，它们除颜色外，其他都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）将n个绿球（与红.黄球除颜色外，其他都相同）放入袋中摇均匀，从袋中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程，共摸了500次，其中60次摸到红球．请通过计算估计n的值．
12．一个不透明袋子中有1个红球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到红球的频率稳定于0.25，求n的值．
（2）在（1）的条件下，从袋中随机摸出两个球，求两个球颜色不同的概率．
四.提高题：13．小明和小丽做游戏，袋中装有两个完全相同的球，分别标有数字“1”和“2”，每次先从袋中随机摸出一个球，记下数字后放回袋中，然后自由转动图中的转盘（转盘被分成相等的三个扇形）.游戏规则是：如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为4，那么小丽获胜，得4分，否则小明胜，得3分.这个游戏对双方公平吗？说明理由.
图3
图2
图1
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（总课时21）§3.2用频率估计概率
【学习目标】能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．
【学习重难点】能估计一些复杂的随机事件发生的概率．
【导学过程】
一.知识回顾：
1．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．某商场在“五一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸奖一次，得奖的概率是____________．
3．一个口袋中有4个白球，5个红球，6个黄球，每个球除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是____________．
二.探究新知
1．（1）400个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？300个同学呢？
（2）50个同学中，2个同学的生日相同的概率是多大呢？很有可能？有可能？还是可能性很小？猜想一下．
（3）每个同学课外调查10个人的生日，从全班的调查结果中随机选取50个被调查人，看看他们中有没有2个人的生日相同．将全班同学的调查数据集中起来，估计50个人中有2个人生日相同的概率．
答：_________________________________________________.
2.任意6个人中，有2个人生肖相同的概率有多大？
方法一：在全市分组展开调查，然后将数据汇总，再随机地从这些数据中抽取6人的数据，用多次重复的试验估计事件的概率。
这样做的缺点是：费时费力。能否通过模拟试验替代这一试验呢
方法二：用12个编有号码且大小相同的球代替12个不同的生肖，每个人的生肖都对应着1个小球，事件：“6个人中有2个人生肖相同”，就是6个球中有2个球的号码相同。口袋里装有12个这样的球，从中摸出一个球，记下它的号码，放回去，再从中摸一个球，放回去....直至摸出第6个球，记下6个号码，为一次试验；重复多次试验，即可估计事件的概率。
小结：1.通过大量重复实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
2.尽管随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但只要保持实验条件不变，那么这一事件出现的频率就会随着实验次数的增大而趋于稳定，这个稳定值就可以作为该事件发生概率的估计值。
三.典例与练习：
例1.一个口袋中有8个黑球和若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，怎样估计出其中白球数？
小亮的作法是：从口袋里随机摸出来一个球，记下顔色再把它放回；不断地重复这一试验，共摸了200次，其中有57个黑球，这时可估计口袋里大约有20个白球。其中理由是：_______________。
小颖的作法是：随机地从口袋里一次摸出10个球，求出其中黑球数与10的比，再把球放回口袋中，摇匀；不断地重复上述试验，共摸出了20次，黑球数与10的比的平均数为0.25，这时可估计口袋里大约有24个白球。其中理由是：_________________。
小结：小颖的作法是用样本频率的平均数替代整体的频率，进一步替代整体的概率。
练习：1.一位保险推销员对人们说：“人有可能得病，也有可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占
50﹪”他的说法（ ）A．正确 B．不正确 C．有时正确，有时不正确 D．应由气候条件确定
2.某位同学一次掷出三个骰子全是“6”的事件是（ ）
A．不可能事件 B．必然事件 C．不确定事件可能性较大 D． 不确定事件可能性较小
四.课堂小结：1.用试验的方法估计随机事件的概率是常用的方法；
2.对于试验次数过大或试验具有破坏性，可以用样本的概率替代整体的概率。
五.分层过关：1.从一个不透明的口袋中摸到红球的概率是0.2，已知袋中的红球有3个，则袋中原有球的个数是（ ）A．5个 B．8个 C．10个 D．15个
2．下列说法正确的是（ ）A．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天．
B．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖．C．抛一枚图钉，钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大．
D．天气预报说明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半的时间在下雨．
3．把一个球任意投入A，B，C，D，四个盆子中，则A号盆无球的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
4．三个苹果放到甲、乙两个抽屉中，甲抽屉中有两个苹果的概率为_________
5．有五条线段，长度分别是2、4、6、8、10，从中任抽三条线段．
（1）一定能构成三角形的三边吗？（2）猜想：能构成三角形三边的概率有多大？
思考题：一个不透明的盒子里装有四个分别标有数字-1、-2、-3、-4的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．（1）用列表法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在一次函数y=x-1的图像上的概率？
（3）求小明、小华各取一次小球所确定的数x，y满足y>x-1的概率？
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