21.1 一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·黑龙江黑河·九年级统考期末）如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
3．（2022秋·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
4．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．3，；9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5，
5．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如果2是方程的一个根，则常数的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）若方程的一个根为，则的值是（ ）
A．7 B． C．4 D．
7．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如果2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
8．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）若是方程的一个根，则的值为( )
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
9．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）若关于的一元二次方程为有一个根为，那么的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
二、填空题
10．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）方程的一次项系数是 ．
11．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）关于的方程是一元二次方程，则 ．
12．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）若关于x的方程（a+3）x|a|-1﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为 ．
13．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）若方程ax2+2x-1=2x2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是 ．
14．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）关于x的方程（m-1） x2+2x－3=0是一元二次方程，则m的取值是 ．
15．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）以－2为一根且二次项次数是1的一元二次方程可写为 （写一个即可）．
16．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 ．
17．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末）设，是方程的两个根，则 ．
18．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ．
19．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）已知2是一元二次方程的一个解，则k的值是 ．
20．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）若关于x的方程有一个根是1，则 ．
21．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2 017－a－b的值是 ．
22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）关于的一元二次方程有一个解是，则 ．
三、解答题
23．（2022秋·黑龙江黑河·九年级期末）关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，试求b，c的值．
参考答案：
1．D
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
A．是二元一次方程，与题意不符；
B．是二元二次方程，与题意不符；
C．是分式方程，与题意不符；
D．是一元二次方程，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的判断，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
2．C
【分析】利用一元二次方程定义可得m2-7=2，且m-3≠0，再解出m的值即可．
【详解】解：由题意得：m2-7=2，且m-3≠0，
解得：m=-3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3．B
【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】若关于x的一元二次方程的常数项为0，
则，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．B
【分析】先把一元二次方程化成一般形式得到，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解．
【详解】解：去括号得，
移项得，
所以二次项系数为3，一次项系数为，常数项为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式：一元二次方程的一般形式为（a、b、c为常数且）；要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
5．D
【分析】直接把代入到方程中求出c的值即可．
【详解】解：∵2是方程的一个根，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
6．D
【分析】将代入方程求解即可．
【详解】解：将代入可得：
，
解得：，
故选：D．
【点睛】题目主要考查方程与根的关系，将根代入方程求解是解题关键．
7．A
【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
【详解】解：∵2是一元二次方程x2-3x+k=0的一个根，
∴22-3×2+k=0，
解得，k=2．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
8．C
【分析】根据是方程的一个根可得，得出，代入即可得到答案.
【详解】解：∵是方程的一个根
∴，即，
将代入中，
=1+2020=2021，
故答案选：C.
【点睛】本题考查一元二次方程的解和整体代入思想的应用.
9．B
【分析】把代入方程即可求得答案
【详解】把代入方程
-5=0 即=5
故答案为B
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代入法是解题的关键
10．-1
【分析】根据方程左边的二次多项式即可确定一次项系数．
【详解】方程左边的一次项为 x，其系数为 1
故答案为： 1
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，其一般形式为：，且a、b、c常数，其中分别是一元二次方程的二次项、一次项和常数项，掌握一元二次方程的概念是关键．
11．-2
【分析】根据一元二次方程的定义知，m2-2=2，且m-2≠0，据此可以求得m的值．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m2 2=2，且m 2≠0，
解得m= 2；
故答案为： 2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义．
12．3
【详解】由题意得：|a|﹣1=2，且a+3≠0，
解得：a=3，
故答案为3．
点睛：本题考查了一元二次方程的定义，是一元二次方程必须同时满足三个条件：①时整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.
13．a≠2
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的定义得出a-2≠0，求出即可．
【详解】解：ax2+2x-1=2x2，
（a-2）x2+2x-1=0，
∵关于x的方程ax2+2x-1=2x2是一元二次方程，
∴a-2≠0，
即a≠2，
故答案为：a≠2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
14．m≠1
【分析】根据一元二次方程的概念即可解答．
【详解】∵关于x的方程（m-1） x2+2x－3=0是一元二次方程
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，其一般式为：，且a、b、c为常数，关键是把握a≠0这个条件．
15．x2+4x+4=0
【分析】根据要求二次项系数为1，有一个因式（x+2），另一因式不定，方程是开放型，另一个根任选即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数为1，，
有一根为-2，有一个因式为（x+2），
，
要求为具体的一元二次方程，
∴，m可以是任何数，不妨m=2，
∴一元二次方程为即．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的特征，掌握一元二次方程的特征是解题关关键．
16．/-2x+x2=0
【分析】直接利用已知要求得出符合题意的方程．
【详解】解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2-2x=0．
故答案为：x2-2x=0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键．
17．4
【分析】首先根据题意得到，，然后代入求解即可．
【详解】∵，是方程的两个根，
∴，
∴，，
∴
故答案为：4．
【点睛】此题考查了一元二次方程解的意义，解题的关键是掌握一元二次方程解的意义．
18．1
【分析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
19．1
【分析】2是方程的根，把2代入方程就可求出k值．
【详解】解：2是一元二次方程的一个解，
，
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
20．1
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程得1+a-2=0，
解得a=1．
故答案是：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
21．2 022
【分析】将x＝1代入原方程得5=-a-b,整体代入代数式即可求值.
【详解】解：将x＝1代入ax2＋bx＋5＝0得,a+b+5=0,即5=-a-b,
∴2017－a－b=2017+5=2022.
【点睛】本题考查了代数式的求值,一元二次方程的根,属于简单题,熟悉整体代入思想是解题关键..
22．-3
【详解】∵方程的一个解为，
∴将代入原方程，
得：，则，
∵是关于的一元二次方程．
∴，即，
∴．
23．b＝1，c＝﹣2．
【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到一般式为2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，于是得到b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，然后解方程得到b、c的值．
【详解】解：2（x2﹣2x+1）+bx﹣b+c＝0，
2x2+（b﹣4）x+2﹣b+c＝0，
所以b﹣4＝﹣3，2﹣b+c＝﹣1，
解得b＝1，c＝﹣2．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的一般式，解题的关键是熟知乘方公式的运用．21.2 解一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）用配方法解方程，时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）将方程x2 4x＋1＝0化成（x＋m）2＝n的形式是（ ）
A．（x 1）2＝12 B．（2x 1）2＝12
C．（x 1）2＝0 D．（x 2）2＝3
3．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值分别是
A．4，25 B．-4，25 C．-2，5 D．-8，73
4．（2022秋·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）方程x2﹣4＝0的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x＝4
5．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m≥1且m≠2 C．m≤3且m≠2 D．m≥1
6．（2022秋·黑龙江大庆·九年级期末）小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根
7．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）下列一元二次方程中没有实数根的方程是（ ）
A．（x﹣1）2＝1 B．x2+2x﹣10＝0 C．x2+4＝7 D．x2+x+1＝0
9．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程（k-1）x2﹣2kx+ k-3=0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k> B．k>且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1
二、填空题
10．（2022秋·黑龙江鹤岗·九年级统考期末）如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ．
11．（2022秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第 象限．
12．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
13．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）菱形的一条对角线长为6，边的长是关于的方程的一个根，则菱形的面积为 .
14．（2022秋·黑龙江黑河·九年级统考期末）若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是 ．
15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝AC，CD＝2，连接AD，若，则AC的长为 ．
16．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为： .
17．（2022秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）已知，则的值等于 ．
18．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）若菱形的两条对角线的长分别是方程的两个根，则菱形的面积是 ．
19．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）若是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
20．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）设方程的两个根为α，β，那么的值为 ．
三、解答题
21．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
22．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）解下列方程
(1)；
(2)．
23．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）用适当的方法解方程：
(1)
(2)．
24．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）（1）用适当方法解一元二次方程：．
（2）已知一元二次方程有两个不相等的实数根．
①求的取值范围；
②如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值．
25．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）已知关于的方程的一个根为3，求该方程的另一个根．
26．（2022秋·黑龙江黑河·九年级统考期末）解下列方程：
(1) (用配方法)
(2)
27．（2022秋·黑龙江七台河·九年级统考期末）解方程
(1)；
(2)．
28．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不等的实根．
(1)求a的取值范围；
(2)当a取最大整数值时，△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0，求△ABC的周长．
29．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，OC、OA是x2﹣12x+32＝0的两根，OC＞OA．
(1)求B点的坐标．
(2)把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，线段AB′与x轴交于点D，使D、C、B、P四点形成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标，请说明理由．
30．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）已知关于的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为，，若求的值．
参考答案：
1．B
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．D
【分析】移项，再配方，即可得出选项．
【详解】解：x2-4x+1=0，
x2-4x=-1，
配方，得x2-4x+4=-1+4，
即（x-2）2=3，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
3．B
【分析】先把常数项移到等式右边，两边同时加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式．
【详解】方程移项得：，
配方得：，
即，
则，
故选B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．C
【分析】先移项，然后利用数的开方解答．
【详解】解：移项得x2＝4，开方得x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
故选C．
【点睛】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0），ax2＝b（a，b同号且a≠0），（x+a）2＝b（b≥0），a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
5．B
【分析】根据一元二次方程的判别式，有实根，则，由此即可求解．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，且，，，
∴，解不等式得，，
∵关于的一元二次方程，
∴，即，
∴且．
【点睛】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握根的判别式是解题的关键．
6．A
【分析】直接把已知数据代入，进而得出的值，再根据根的判别式判别即可．
【详解】解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，
代入得：，
解得：，
∵核对时发现所抄的比原方程的值小1，
故原方程中，
原方程为，
∴
∴原方程的根的情况是不存在实数根，
故选：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，正确得出的值是解题关键．
7．B
【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．
【详解】∵，，，
∴，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．
8．D
【分析】根据平方根的意义和根的判别式△=b2-4ac的意义判断即可.
【详解】根据平方根的意义，可知(x－1)2＝1有两个实数根，故不正确；
由方程可知a=1，b=2，c=-10，可得△=b2-4ac=4+40=44＞0，可知有两个不相等的实数根，故不正确；
方程可化为x2＝3，根据平方根的意义，可知x2+4＝7有两个实数根，故不正确；
由方程可知a=1，b=1，c=1，可得△=b2-4ac=1-40=-4＞0，可知没有实数根，故正确.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.
当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.
9．D
【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k-1≠0且Δ=（-2k）2-4（k-1）（k-3）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得k-1≠0且Δ=（-2k）2-4（k-1）（k-3）≥0，
解得k≥且k≠1．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
10．
【分析】根据方程有两个相等的实数根得到△=b2-4ac=0，求出k的值即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=32-4×1×k=0，
∴9-4k=0，
∴k=，
故答案为：．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数；（3）△＜0 方程没有实数根．
11．三
【分析】若一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则b2﹣4ac＜0，求得n的取值范围，确定函数图象的情况．
【详解】解：∵a＝n，b＝﹣2，c＝﹣1，方程无实数根，
∴b2﹣4ac＜0
∴（﹣2）2﹣4×（﹣1）×n＜0
∴n＜﹣1
∴n+1＜0，﹣n＞0
∴一次函数y＝（n+1）x﹣n中，一次项的系数小于0，常数项大于0，其图象不经过第三象限．
故答案为：三．
【点睛】本题考查了一次函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，解题的关键是首先根据方程根的情况判定实数n的取值范围．
12．或24/24或
【分析】已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形的面积即可．
【详解】解：方程，
分解因式得：，
解得：或，
当时，三角形为等腰三角形，腰长为6，底边长为8，
则底边上的高，
∴三角形的面积为：；
当时，
∵，
∴三角形为直角三角形，两条直角边的长分别为8和6，
∴三角形的面积为：；
综上：三角形的面积为：或24；
故答案为：或24．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
13．或24/24或
【分析】求出已知方程的解，确定出的长，再利用勾股定理求出对角线的长，即可求出面积．
【详解】解：方程，
分解因式得：，
可得或，
解得：或，
当时，另一条对角线为：，
则菱形的面积为；
当时，另一条对角线为：，
则菱形的面积为；
故答案为：或24．
【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及菱形的性质，解题的关键是熟练掌握方程的解法．
14．16
【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形的三边关系得出底和腰，然后计算三角形的周长即可．
【详解】解：，
，
，
或，
∴，，
∵等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，
又∵，不符合三角形的三边关系，
∴等腰三角形的底为2，腰是7，
则等腰三角形的周长为：．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的解法，等腰三角形的性质和三角形三边的关系，解得关键是利用因式分解法求出方程的两个根，．
15．4
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”性质，想到过点A作AE⊥BC，垂足为E，设AB=AC=BD=x，然后在Rt△AED和Rt△AEC中，分别利用勾股定理表示出AE2，建立等量关系即可解答．
【详解】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵AB=AC，BD=AC，
∴设AB=AC=BD=x，
∵CD=2，
∴BC=BD+CD=x+2，
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=1+x，
∴DE=BD-BE=x-1，
在Rt△AED中，AE2=AD2-DE2=（2）2-（x-1）2= x2+x+7，
在Rt△AEC中，AE2=AC2-EC2=x2-（1+x）2=x2-x-1，
∴ x2+x+7=x2-x-1，
解得：x1=4，x2=-2（不符合题意，舍去），
∴AC=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两次利用勾股定理建立等量关系，列出方程是解题的关键．
16．
【分析】根据换元法，设，代入原方程即可求解．
【详解】解：设，则原方程可化为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，整体代入是解题的关键．
17．4
【分析】首先把x2+y2当作一个整体，设x2+y2=k，方程即可变形为关于k的一元二次方程，解方程即可求得k即x2+y2的值．
【详解】设x2+y2 =k，
∴（k+1）（k-3）=5，
∴k 2-2k-3=5，即k 2 -2k-8=0，
∴k=4，或k=-2，
又∵x 2 +y 2的值一定是非负数，
∴x 2+y 2的值是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程, 解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是整体代换求解．
18．28
【分析】设菱形的两条对角线的长分别是a、b，利用一元二次方程根与系数关系得到，再根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求解即可．
【详解】解：设菱形的两条对角线的长分别是a、b，
根据题意，得，
∴菱形的面积为，
故答案为：28．
【点睛】本题考查菱形的性质、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．
19．3
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关系．
20．6
【分析】根据一元二次方程根的概念以及根与系数的关系，求解即可．
【详解】解：∵方程的两个根为α，β，
∴，，
∴，
故答案为：6
【点睛】此题考查一元二次方程根的概念以及根与系数的关系，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
21．（1），；（2），．
【分析】（1）两边同除以3，然后直接开平方法进行求解即可；
（2）根据公式法可直接进行求解．
【详解】解：（1）
，
∴，
∴，；
（2）
∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
22．(1)，
(2)，
【分析】(1)利用公式法解此方程，即可求解；
(2)利用直接开平方法解此方程，即可求解．
【详解】（1）解：方程中，，，，
，
，
，，
所以，原方程的解为，；
（2）解：由原方程得，
，
解得，，
所以，原方程的解为，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．
23．(1)，
(2)，
【分析】（1）变形后，利用因式分解法求解即可；
（2）变形后，利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：，；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
24．（1），；（2）①且；②或
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）①利用一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式进行求解即可；②根据①可得，进而求出方程的两根，再分别讨论方程的两根是方程的解即可求出m的值．
【详解】解：（1）∵，
∴
∴，
∴，即，
∴，
解得，；
（2）解：①一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
②结合①可知，
方程变形为，即，
解得：，．
当时，有，解得：；
当时，有，解得：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
25．
【分析】将代入方程求得的值和原方程，解方程即可求解．
【详解】解：将代入，得，
解得，
∴原方程为，
∴，
解得：，．
∴该方程的另一个根为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，解题的关键是正确解一元二次方程．
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据配方法即可得到答案；
（2）根据因式分解法即可得到答案．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴或者，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法和因式分解法．
27．(1)
(2)，
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程求解即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
28．(1)a＜且a≠3
(2)3或9或7
【分析】（1）关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，可知二次项系数不为0且判别式大于0．
（2）在此范围内找出最大的整数，然后分四种情况讨论，求得三角形周长即可．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得a＜且a≠3．
（2）由（1）得a的最大整数值为4；
∴x2﹣4x+3＝0
解得：x1＝1，x2＝3．
∵△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝7，
∴①三边都为1，则△ABC的周长为3；
②三边都为3，则△ABC的周长为9；
③三边为1，1，3，因为1+1＜3；
④三边为1，3，3，则△ABC的周长为7．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根；也考查了三角形三边关系．
29．(1)点B（8，4）；
(2)使D、C、B、P四点形成的四边形为平行四边形的点P坐标为（13，4）或（3，4）或（3，-4），
【分析】（1）先解一元二次方程x2﹣12x+32＝0，得出，根据OB、OA是x2﹣12x+32＝0的两根，OB＞OA．求出OA=4，OB=8即可；
（2）先根据勾股定理求出OD长，求出点D（3，0），点C（8，0），点B（8，4），设点P（x，y）分三种情况，DO为对角线，四边形DCPB为平行四边形，得出BP=CD，BP∥DC，列等式x-8=8-3，解得：x=13，y=4,当CP为对角线，四边形DCBP为平行四边形，PB=DC，PB∥DC，列等式8-x=8-3，解得：x=3，y=4，当BP为对角线，四边形DCBP为平行四边形，PD=CB，PD∥CB，列等式x=3， 0-y=4-0,解得：y=-4即可求解．
（1）
解：∵x2﹣12x+32＝0，
∴，
∴，
∴，
∵OC、OA是x2﹣12x+32＝0的两根，OC＞OA．
∴OA=4，OC=8，
∵四边形ABCD为矩形，AB=OC=8，BC=OA=4，
∴点B（8，4）；
（2）
解：∵四边形ABCO为矩形，
∴AB∥OC，
∴∠BAC=∠ACO，
∵把△ABC沿AC对折，点B落在点B′处，
∴AB′=AB=OC=8，∠CAD=∠CAB=∠ACD，
∴AD=CD，
设OD=x，
∴AD=CD=8-x，
在Rt△AOD中，根据勾股定理即，
解得，
∴点D（3，0），点C（8，0），点B（8，4），
设点P（x，y）分三种情况，
DO为对角线，四边形DCPB为平行四边形，
∴BP=CD，BP∥DC，
∴x-8=8-3，解得：x=13，y=4,
点P（13，4），
当CP为对角线，四边形DCBP为平行四边形，
∴PB=DC，PB∥DC，
∴8-x=8-3，解得：x=3，y=4，
∴点P（3，4），
当BP为对角线，四边形DCBP为平行四边形，
∴PD=CB，PD∥CB，
∴x=3， 0-y=4-0,解得：y=-4
∴点P（3，-4），
∴使D、C、B、P四点形成的四边形为平行四边形的点P坐标为（13，4）或（3，4）或（3，-4），
【点睛】本题考查一元二方程的解法，矩形的矩形，图形与坐标，折叠性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，一元一次方程，平行四边形的性质，分类讨论思想的应用，使问题得以全面解决是解题关键．
30．(1)见解析
(2)
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式大于零即可得证．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，由建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两个根分别为，，
∴，
∵，
∴，
即，
，
解得．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现，在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了（ ）
A．10人 B．11人 C．12人 D．13人
2．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
3．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）2021年七月份某地有牲猪感染猪瘟100头，后来八、九月份感染猪瘟的共有231头，设八，九月份平均每月猪瘟的感染增长率为x，依题意列出的方程是（）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·黑龙江绥化·九年级统考期末）某商品原价200元，连续两次降价的百分率为a后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，正方形被分割成四部分，其中I、II为正方形，III、IV为长方形，I、II的面积之和等于III、IV面积之和的2倍，若II的边长为2，且I的面积小于II的面积，则I的边长为（ ）
A．4 B．3 C． D．
6．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（ ）
A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s
7．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）2021年虎林市教育局组织开展了全市中学生篮球联赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行一场比赛），共进行了66场比赛，则参加比赛的队伍数量是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
9．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
10．（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）一个群里共有个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
11．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）已知点A(m2-2,5m+4)在第一象限角平分线上,则m的值为（ ）
A．6 B．-1 C．2或3 D．-1或6
二、填空题
12．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建团队参加，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片，这个团队共有 人．
13．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）某企业年盈利万元，年盈利万元，该企业盈利的年平均增长率不变．设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程 ．
14．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）某公司2016年缴税60万元，2018年缴税80万元，设该公司这两年缴税的年平均增长率为x．则得到方程 ．
15．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了15次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得 ．
三、解答题
16．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）国土资源部提出“保经济增长、保耕地红线”行动，坚持实行最严格的耕地保护制度，某村响应国家号召，年有耕地亩，经过改造后，年有耕地亩．
(1)求该村耕地两年平均增长率；
(2)按照(1)中平均增长率，求年该村耕地拥有量．
17．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）如下图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路应为多宽？
18．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．
（1）求点D的坐标．
（2）求直线BC的解析式．
（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
19．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）某商场有A、B两种商品，一件B商品的售价比一件A商品的售价多5元，若用1500元购进A种商品的数量恰好是用900元购进B种商品的数量的2倍.
(1)求A、B两种商品每件售价各多少元；
(2)B商品每件的进价为20元，按原售价销售，该商场每天可销售B种商品100件，假设销售单价每上涨一元，B种商品每天的销售量就减少5件，设一件B商品售价a元，B种商品每天的销售利润为W元，求B种商品销售单价a为多少元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大利润是多少元？
20．（2022春·黑龙江大庆·九年级统考期末）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱． 某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为买件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨2元，月销售量就减少20件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元．
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，则销售定价应为多少元？
21．（2022秋·黑龙江绥化·九年级期末）山西转型综合改革示范区的一工厂里，生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将减少4件．设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为，请解答下列问题．
（1）用含的代数式表示：一天生产的产品件数为_______件，每件产品的利润为________元；
（2）若该产品一天的总利润为1080元，求这天生产产品的档次的值．
22．（2022秋·黑龙江双鸭山·九年级统考期末）棱长为的正方体小铁块，经过熔融重铸成一个高为，长比宽多的细长方体铁零件（体积质量均无损失），求铁零件的长和宽．
参考答案：
1．B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可解答．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
根据题意，得：1+x+x(1+x)=144，即x2+2x－143=0，
解得：x1=11，x2=－13（舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染了11人，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答的关键．
2．A
【分析】根据一元二次方程传播问题的公式列出方程计算即可；
【详解】设1人平均感染x人，
已题意可得：，
解得：，（不符合题意）；
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确方程计算是解题的关键．
3．B
【分析】根据八、九月份感染猪瘟的共有231头，列一元二次方程即可．
【详解】解：根据题意，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用：增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
4．B
【分析】平均每次降价的百分率为a，根据某商品原价为200元，连续两次降价后售价为148元，可列出方程．
【详解】解：平均每次降价的百分率为a，根据题意得
．
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，降价两次，关键知道降价前和降价后的价格，列出方程即可求解．
5．C
【分析】设I的边长为x，根据“I、II的面积之和等于III、IV面积之和的2倍”列出方程并解方程即可．
【详解】设I的边长为x
根据题意有
解得或（舍去）
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键．
6．D
【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，
根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，
解得：x1=2，x2=，
答：当P、Q两点从出发开始到2s或s时，点P和点Q的距离是10cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
7．D
【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为：聚会人数（聚会人数）总握手次数，把相关数值代入即可．
【详解】解：设参加这次聚会的同学共有x人，
由题意得：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
8．C
【分析】设参加比赛的队伍数量为x队，根据比赛场次列方程得=66，然后解方程即可．
【详解】解：设参加比赛的队伍数量为x队，
每队与其它队进行一次比赛，共有（x-1）场，
一共比赛场数为，
根据题意得=66，
整理得，
解得（舍去）．
故选C．
【点睛】本题考查列一元二次方程解应用题，掌握列方程的方法与步骤，抓住等量关系比赛场次列方程是解题关键．
9．D
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
【详解】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键．
10．B
【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发(x-1)条消息，则发消息共有x（x-1）条,再根据共发信息1980条，列出方程x（x-1）=1980.
【详解】解：设有x个好友，依题意，得：
x（x-1）=1980.
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意设出合适的未知数，再根据等量关系式列出方程是解题的关键.
11．A
【分析】根据第一象限角平分线上点的横坐标与纵坐标相等列方程求解，再根据第一象限点的横坐标与纵坐标都是正数作出判断．
【详解】∵点A（m2-2，5m+4）在第一象限角平分线上，
∴m2-2=5m+4，
∴m2-5m-6=0，
解得m1=-1，m2=6，
当m=-1时，m2-2=-1，
点A（-1，-1）在第三象限，不符合题意，
所以，m的值为6，
故选A．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记第一象限平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键，注意要进行讨论，避免出错.
12．10
【分析】设这个团队有x人，则每人需送出（x-1）张名片，根据在参加会议前该团队共送出90张名片，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这个团队有x人，则每人需送出（x-1）张名片，
依题意得：x（x-1）=90，
整理得：x2-x-90=0，
解得：x1=10，x2=-9（不合题意，舍去），
∴这个团队有10人．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．
【分析】直接利用增长率公式代入解答即可．
【详解】解：∵年平均增长率为x，
∴根据题意可得，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
14．
【分析】设该公司这两年缴税的年平均增长率为x．则2017年缴税万元，2018年缴税万元，由此列出方程即可．
【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率为x．
由题意得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
15．
【分析】此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 解决问题即可．
【详解】解：由题意列方程得，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要由x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 ，利用这一基本数量关系类比运用解决问题．
16．(1)该村耕地两年平均增长率为10%
(2)2022年该村拥有耕地9583.2亩
【分析】（1）设该村耕地两年平均增长率为x,根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）2021年该村耕地拥有量=2019年该村耕地拥有量×（1+年平均增长率），即可求出结论．
【详解】（1）解：设该村耕地两年平均增长率为x,
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该村耕地两年平均增长率为10%．
（2）（亩）．
答：2022年该村拥有耕地9583.2亩．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．1米
【分析】设道路宽为x米，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设道路的宽为米，由题意得
整理得，
即，
解得或（舍去）
所以道路的宽应为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
18．（1）；（2）y=；（3）见解析
【分析】（1）解一元二次方程求出、的长度，过点作于点，根据正方形的性质可得，，然后求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标即可；
（2）过点作轴于点，同理求出点的坐标，设直线的解析式为，、为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据正方形的性质，点与点重合时，为等腰三角形；点为点关于点的对称点时，为等腰三角形，然后求解即可．
【详解】解：（1）解方程得，，
，
，，
过作于点，
正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
；
（2）过点作轴于点，
同上可证得，
，，
，
，
设直线的解析式为，、为常数），
代入，得，，
解得，
；
（3）在直线上存在点，使为等腰直角三角形，理由如下：如图，
当点与点重合时，，
当点与点关于点对称时，．
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
19．(1)种商品售价为25元 ;种商品售价为30元；
(2)当B种商品销售单价a为35元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大为1025元；
【分析】（1）根据题意设商品的售价为元，则商品的售价为元，再由题意列出分式方程，解之即可；
（2）根据题意列出等式，化简即可求得答案．
【详解】（1）解：设商品的售价为元，则商品的售价为元，
由题意得：
解得
经经验，符合题意，是分式方程的解，
商品的售价为元，则商品的售价为元．
（2）解：根据题意得
化简得．
当B种商品销售单价a为元时，B种商品每天的销售利润W最大，最大为元
【点睛】本题考查了分式方程及二次函数销售应用题，解题关键是正确列出分式方程和会求二次函数的最值．
20．（1）10元或30元； （2）80元
【分析】（1）设该商品的销售单价应定为x元，则月销售数量为[500﹣10（x﹣50）]件，根据月销售利润＝每件利润×销售数量结合每月销售利润为8000元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再计算涨价的数量即可；
（2）利用月销售成本＝每件成本×月销售数量结合月销售成本不超过10000元，即可确定定价的值．
【详解】（1）设该商品的销售单价应定为x元，则月销售数量为[500﹣10（x﹣50）]件，
根据题意得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
解得：x1＝60，x2＝80．
∴单价上涨：60－50＝10（元）或80－50＝30（元）．
（2）∵销售成本不超过10000元，
当x1＝60时，成本：40×[500﹣10×（60﹣50）]＝16000＞10000，故舍去；
当x2＝80时，成本：40×[500﹣10×（80﹣50）]＝8000＜10000．
∴该商品的销售单价应定为80元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
21．（1）（80-4x），（8+2x）；（2）5
【分析】（1）每件的利润为10+2（x-1），生产件数为76-4（x-1）；
（2）由题意可令y=1080，求出x的实际值即可．
【详解】解（1）一天生产的产品件数为[76-4（x-1）]=（80-4x）件，
每件产品的利润为[10+2（x-1）]=（8+2x）元，
故答案为（80-4x），（8+2x）；
（2）当利润是1080元时，即：[10+2（x-1）][76-4（x-1）]=1080，
整理得：-8x2+128x+640=1080，
解得x1=5，x2=11，
因为x=11＞10，不符合题意，舍去．
因此取x=5，
当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的总利润为1080元．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，难度一般，注意，在市场营销问题中，一件的利润和件数，一个量增加的同时，另一个量会减少，要根据题意，正确使用，先根据总利润=产品总量×单件产品利润确定一元二次方程，再进行求解，同时要根据题目限定条件取舍答案．
22．铁零件的长为，宽为
【分析】根据熔融前后的体积相等即可求解．
【详解】解：设铁零件的宽为，则长为，
根据题意得，
解得，
∴，
答：铁零件的长为，宽为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．
